H. BATEMAN. — Differential equations (Londres

3. H. Barman. — The mathematical analysis of « Electrical and Optical Wave-

motion » on the basis of Maxwell’s equations (Cambridge, 1915). 4. E. T. WniTTAkER AND G. N. Warsox. — À Course of Modern Analysis (Cambridge, 1927).

II. Nores Er Mémorres : Ainsi que nous l’avons indiqué dans l'introduction, nous voulons donner ici un aperçu de l’état de la question dont nous avons traité une partie dans ce Mémoire, celle relative à l'équation de M. P. Humbert, réservant pour des travaux ultérieurs la publication d’autres résultats amorcés dans plusieurs de nos Notes.

Dans les lignes qui suivent nous utiliserons les notations suivantes :

d à à dæ, dx, dx, ; ù ù à AU ae TE | A, U TE PS EEE EE RENE AB,n U — ox, ox, 0%, Ur du du, ou ù ù ù TX, dx, dx

Les nombres entre crochets renverront aux numéros de la bibliographie et les nombres entre parenthèses aux paragraphes du texte. Nous utiliserons les abréviations suivantes :

A. CG. I. M. ... Actes du Congrès International des Mathématiciens de.

A. P.A.S. ... Atti della Poutificae Accademia delle Scienze i Nuovi Lincei. A. S. S. B. ... Annales de la Société Scientifique de Bruxelles.

B.S. M. F. ... Bulletin de la Société Mathématique de France.

B. S. S. L. ... Bulletin de la Société Royale des Sciences de Liège. CRAN Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris.

NÉE Mathematica (Cluj). k

P.E. M. S.... Proceedings of the Edinburgh. Mathematical Society.

LE

he

P. Appezz. — Propositions d'algèbre et de géométrie déduites de la considération des racines cubiques de l'unilé (C. R., 84, 1877, p. 540). Introduction des fonctions P, Q, R, et des trièdres équifaciaux à arêtes également inclinées sur lddiréction æ — y —"z(2, 45; 54).

. — Sur certaines fonctions analogues aux fonclions circulaires (C. R., 84, 1877, p. 1378). Systèmes différentiels définissant les fonctions circulaires et les fonctions P, Q, R. Généralisation à l’ordre n [19, 23].

. Bevax Baker. — On the relalion between Pincherle’s Polynomial and the Hypergeometric Function (P. E. M.S., [, 39, 1920, p. 58). Formation de l’intégrale générale (143) du n° 783 (cf. aussi [31 ]).

N. Bora. — Sur une généralisation d’un théorème de Lord Kelvin (M., 6, 1932, p- 132-139). Étude des équations An AU — 0, énoncé de quelques théo-

rèmes relatifs à des intégrales. Étude des équations

Se S \T d - E(U) — Il (D, L == 6) et de leurs associées.

. — Sur quelques équations aux dérivées partielles (C. R., 195, 1932, p. 992). Rappel de résultats de [4]. Extension à A, de nos résultats [11, 22].

. — Sur quelques équations aux dérivées partielles (C. R., 196, 1933, p. 35). Suite de [5]. Introductions des mineurs de A8,,, notions de fonctions conjuguées [7].

. P. Decexs et J. Devisme. — Sur cerlaines formes différentielles et les métriques associées (C. R., 196, 1933, p. 517-521). Étude d’un espace de Finsler et de la forme angulaire dé Landsberg, introduction d’autres formes différentielles, application à notre ds (67, 68). Remarques sur [6].

O. Devisue (M!) et J. Devise. — Sur une propriété des cosinus d'ordre supérieur (A. C. I. M., Zurich, 1932, Il, p. 67). Généralisation des polynômes (1—2hcos0 + h*) (1—3hP(G, ») + 3h P(—0,—%)—h°); expression des coefficients en fonction de la seule fonction cosinus d'ordre n [2, 19].

9. J. DevisMe. — Sur quelques équations aux dérivées parlielles (C. R., 193, 1931,

p. 825-828). Étude des équations A,U — o et de leurs intégrales ne dépendant que du produit p, = u, ...u,. Généralisation de la formule de Green et d’un résultat de M. Ghemanesco (C. R , 193, 1931, p. 477).

. — Sur quelques équations aux dérivées partielles (G. R., 193, 1931, p. 516-5r9). Équations du prépotentiel pour les équations A,U — o et les surfaces a, — 0, Ia; = 1. Cas particulier de l'équation A,UÙ — o (98, r03).

. — Sur quelques équations aux dérivées partielles (C. R., 193, 1931, p. 1153-1156) Recherches sur les transformations conservant A,Ù et ds' à un facteur près. Généralisation d’un théorème de M. D. V. Jonesco [44]. Comparaison avec certains résultats d’Appell [2] (ro, 25, 26, 27, 62).

. — Sur quelques équations aux dérivées partielles (C. R., 194, 1932, p. 516-519). Introduction des équations A, ,U —o qui généralisent l'équation de Laplace à plusieurs dimensions et comprennent le cas de A,U — o. Énoncés de théorèmes [25, 26].

Lo

Sur quelques équations aux dérivées partielles (C. R., 194, 1932, p. 1550-1552). Introduction du système (2). Fonctions conjuguées au sens de M. N. Cioranesco et au sens de Ch. Riquier. Remarque sur l'équation de M. M. Ghemanesco [27] (28, 56, 36, 37).

Sur certaines familles de polynômes (C. R., 195, 1932, p. 437-439). Extension des polynômes de Legendre, Gegenbauer, Hermite. Quelques propriétés nouvelles des équations A,U — 0, A, ,U — o (cf. [26]) (69, 72. 77).

Sur quelques applications des fonctions hypergéométriques (G. R., 195, 1952, p- 936-938). Nouvelles fonctions génératrices. Remarques sur les équations kA,U = aU/dt, kA,U — “U/dË. Extension d’un résultat de M. Angelesco et introduction de polynômes hypergéométriques à deux variables définis à partir de la fonction F, (81, 83, 91).

Sur un espace quasi-euclidien à trois dimensions attaché à l'équation de M. P. Humbert (C. R., 195, 1932, p. 1059-1061). Introduction de notre notion d'angle. Orthogonalité au sens d’Appell. Interprétation géométrique de l'équation A,UÙ — o (47, 49, 50, 51, 52, 56, 59).

Sur un théorème de M. D. Jonesco (B. S. M. F., 59, 1931, communication du 24 juin 1931, p. 32-35). Remarques sur le Mémoire [44] (9).

Sur une équation se rattachant à l'équation de M. P. Humbert (B.S. M. F., 60, 1932, com. du 27 avril 1932, p. 23-25). Introduction de notre équation (225) du n° 98.

Sur les cosinus d’Appell (B. S. M. F., 6r, 1933, com. du 8 mars 1933). Sur les systèmes différentiels déduits de ceux d'Appell [2] par des permutations convenables des inconnues. Développement de P(A6, k+) en fonction de hk0®, h°0 + ko.

Sur la fonclion génératrice de la fonction P(m, no) d’Appell (Bull. de l’Acad. Roy. de Belgique, classe des Sciences, 5, 18, 1932, p. 505-506). Formation de l'identité (116) du n° 70.

Sur certaines questions relatives à l'opérateur de M. P. Humbert (B. S.S. L., 1, 1932, p. 173-176). Équations aux dérivées partielles satisfaites par l’in-

tégrale U — Us uP(p,) de pour les cas suivants D —p",p"logp,, a—0o I 1 p” log” p,,,,F,(t:mp), [p,] X.F,(r; 1; 252; p,) Extension au cas où le plan a — o est quelconque.

Sur certains résullats de M. M. N. Botea et M. Ghermanesco (B. S.S. L., 1,

1932, p. 242-246). Confrontation des résultats des notes [5, 11, 29, 3o] et énoncés de quelques résultats nouveaux (11).

23. —- Sur les équations aux dérivées partielles de MM. P. Humbert et H. Gherma-

nesco (M. à paraître ). Comparaison des équations mentionnées, introduction de fonctions analogues à celle d’Appell [r9] et énoncé de quelques théorèmes [cf. 27, 36].

24. — Sur quelques propriétés d'équations aux dérivées partielles du type A,U = c(u,...u,)U (Soc. Franç. pour l’avanc. des Sc. Actes Congrès de Bruxelles. 1932, p. 35-36). Formations d'intégrales dans le cas € = &’/p,, GC |20],1(09):

20. — Quelques remarques relatives à une classe d'équations aux dérivées partielles du troisième ordre (A. C. 1. M., Zurich, 1932, p. 76). Formation des équations du prépotentiel pour les opérateurs 4, , [12].

26. — Sur certains opérateurs décomposables en produits de Laplaciens et de dérivées partielles (*) (A. P. A.S., 86, 1932, p. 99-108). Formation d'équations différentielles vérifiées par les intégrales ne dépendant que des polynômes associés. Études de certaines intégrales.

27. M. GHEmanEsco. — Sur une équation aux dérivées partielles du quatrième ordre (B.S. M. F., 59, 1931, com. du 25 navembre 1931, p. 39-42).

28. — Sur une équalion aux derivées partielles du quatrième ordre (Beletinul Facultätii de Stiinte din Cernäuti, 6, 1932, p. 28-35). Ce Mémoire est le développement de [27] et d’une communication faite à la Soc. Roum. des Sc. le 16 nov. 1931. L'auteur considère une équation aux dérivées partielles du quatrième ordre généralisant l'équation de Laplace. Il étend à cette équation certains résultats de M. P. Humbert [36] et nousmême [11].

29. — Sur une généralisation de l'équation de Laplace (B. S. S. L., 1, 1932, p. 134- 137). Extension de nos résultats [11] aux équations déduites de A, U — 0 par une transformation linéaire dont les coefficients dépendent de

ae —"r}).

30. — Sur l'équation de Laplace (Atti dell. R. Accad. Naz. dei Lincei, 6, 15, 1932, p. 932-935). Même étude dans le cas &°— —1.

31. P. HumBerr. — Some extensions of Pincherle’s polynomials (P.E.M.S., 1, 39,

1920, p. 21). Étude des polynômes C(x, 0) (73). Expression au moyen des fonctions elliptiques.

32. — Sur les séries hypergéométriques (A. S.S. B., 43, 1923, p. 795). L'auteur donne entre autres l’expression de Ge o) au moyen des fonctions hyper géométriques.

33. — Remarques sur les fonctions hypergéométriques d'ordre supérieur (Comptes rendus du Congrès des Sociétés savantes Sciences, 1925, p. 81-85). L'auteur

y donne l'expression des cosinus de Villarceau au moyen des fonctions hypergéométriques.

34h. — Remarques bibliographiques sur les sinus d'ordre supérieur (A. P. A.S8., 8, 1929, p. 308-312).

(:) Un résumé de ce Mémoire a été diffusé par Radio-Vatican le 29 déc. 1932 et a paru dans le Scientarum nuncius Radiophonicus publié par l’Académie Pontificale, n° 17.

ho.

Sur une équation aux dérivées partielles du troisième ordre (A. C. 1. M.. Bologne, 1928, t. III, p. 55).

Sur une généralisation de l'équation de Laplace (") (Journal de Mathématiques pures et appliquées, 8, 1929, p. 145-159). Ce Mémoire développe la Note précédente. On y trouve la définition de l'équation A,Ù — o et certaines de ses propriétés, une étude de diverses catégories de polynômes, et un

TRE , ; RE théorème sur l’équation A,Ù = — Ce (23, 93). j C c

Les fonctions de Bessel du troisième ordre (A. P. A. S., 83, 1930, p. 128-146). Introduction de nouvelles fonctions qui se rattachent à la série hypergéométrique triconfluente. Application à l'étude de A,U + U —0o (86).

Sar le potentiel correspondant à une altraction proportionnel à pe D AOMNETS 1929, P. 117-121).

Sur une généralisation de l'équation de la chaleur (A S.S.B., 49, 1929, p. 113-116). Étude de l'équation A,U — dU/àt et introduction de certains polynômes (79, 89).

Sur l'équation AQU — 0 :(A.S.S.B., 51, 1931, p. 91-93). Étude de certains polynômes attachés à cette équation.

On Appel's Function P(6, :) : (P. E. M.S., 2, 3, 1932, p. 53-59). Étude de la fonction génératrice de P(n0, n#). Formules d’addition (70).

Sur une généralisation du potentiel (GC. R., 194, 1932, p. 1549-1550). Extension d’un résultat précédent [38]. Utilisation de l'intégrale Die [1,p,/9]do.

Sur les potentiels du troisième ordre : (A. S. S. B., 52, 1931, p. 293-305). Étude de l'équation æA,U = 3nD,U. Extension de l'équation de Gegenbauer. Étude de l'intégrale citée plus haut [21] dans les cas D = e”: et ,F,[K +1, 1;p,]. Extension et développement de certains résultats antérieurs [38, 42] (98, 100, 105).

. V. Joxesco. — Sur une équation aux dérivées partielles du troisième ordre

(B.S. M. F., 58, 1930, p. 224-229). Extension du théorème de Lord Kelvin à l'équation A,U — o et démonstration de certaines identités [17] (9, 62).

. Pincaerse. — Una nuova extensione delle funzione spheriche (Mem. Ist. Bologna,

Un systema d'integrali ellitici considerati come funzioni dell invariante assolulo : (Rendiconti Lincei, 4, 7, 1871, p. 74) (76).

J. ToucaarD. — Sur les sinus intégraux du troisième ordre (A.S.S. B., 52, 1932,

p. 279-287). Étude des fonctions F,(x), F,(x), F,(x), définies par l'équation OR PAGE A A CAE ET a AC 2

+ , : : "12 sn \ (*) C'est ce Mémoire qui a été l’origine des recherches de MM. Botea, Ghermanesco,

Jonesco el de moi-même,

48. P. Decexs. — La métrique angulaire des espaces de Finsler et la géométrie differenlielle projective (Collection des actualités scientifiques et industrielles, n° 80, Hermann, Paris, 1933). Développement de la note [7] et d’une seconde : Sur cerlains problèmes relatifs aux espaces de Finsler (C. R.,

49. J. Devise. — Sur deux questions relatives à l'équation de M. P. Humbert (C. R., L. 196, 1933, p. 1203-1204). Introduction de la notion d’aire. Sur une interprétation du problème de Dirichlet, d'après M. A. Liénard [51].

90. — Sur certains polynômes (Société Française pour l'avancement des Sciences. Actes du Congrès de Chambéry, 1933, 57° session). Introduction des poly-

}HLauniLaus à

nômes P == UVW — 1 ”,m,p du" dv” dw? | ]

91. À. LrénarD. — Formule de Green pour les potentiels du 3° ordre de M. P. Humbert

(Soc. Math. de France, LXI, 1933. Communication du 22 mars 1933).