pr + +2 —3xyz

La lecture de ces deux travaux m'a donné l’idée de faire une étude systématique de l'équation A,U — 0, en faisant jouer au polynôme p un rôle analogue à celui de la quantité 7° — x° + y* pour l’équation de Laplace à deux dimensions. Le fil conducteur de ces recherches m’ a, du reste, été en partie suggéré par une courte note de P. Appell (parue aux Comptes rendus, en 1877) qui, introduisant trois fonctions nouvelles pour représenter paramétriquement la surface

L+Y + —3xyz 1,

es —signalait qu'une théorie analogue à celle Fe nombres complexes pouvait être éta- L 44 blie à partir de ces nouvelles données. à HE Dans ce Mémoire, je rassemble la plus grande partie des résultats que j'ai acquis sur l'équation de M. P. Humbert. D’autres mises au point de recherches concernant des équations généralisant la précédente seront publiées ultérieurement (*). Au premier chapitre, j'ai groupé tout ce qui concerne les propriétés des inté-

7 grales de l'équation A,U — o ainsi que les formules relatives aux différents chan-

__ gements de variables. .

É 2 = Dans le second chapitre, j'étudie les transformations qui conservent à un facteur # F2 k près la forme différentielle

D: De ds — dx + dy + di — 3dxdydz.

4 ee

0) Une liste détaillée des travaux que j'ai déjà Publiée se trouve à la bibliographie en fin de Mémoire.

Ces transformations qui sont l’analogue des transformations conformes en géométrie euclidienne plane font apparaître des systèmes aux dérivées partielles analogues aux systèmes de Cauchy. Je signale aussi l'existence d’un système d’équations aux dérivées partielles du second ordre intermédiaire entre les systèmes précédents et l'équation de M. P. Humbert.

Le troisième chapitre est un essai d'interprétation des résultats du chapitre précédent au moyen de nouvelles notions d'angle et de distance. En faisant jouer un rôle prépondérant aux trièdres équifaciaux ayant pour axe la droite x = y = 2, trièdres qu'avait incidemment considérés Appell dans la note déjà citée, j'ai été ainsi amené à introduire une orthogonalité au sens d’Appell. Ces nouvelles notions m'ont permis de donner une signification géométrique simple à l'équation A,U—o, et d’esquisser une théorie rapide des courbes et des surfaces dans l’espace ainsi considéré. Dans un dernier paragraphe, je compare les résultats obtenus pour la surface

C+HY+—3xyz =

à mon point de vue ou à celui de Finsler-Cartan.

Le quatrième chapitre est consacré à l'introduction et à l'étude sommaire de familles de polynômes à deux variables, généralisant ceux de Legendre, Gegenbauer, Hermite, ceux considérés plus récemment par M. Pincherle et ensuite M. P. Humbert.

J'ai réuni enfin au dernier chapitre un certain nombre de propriétés nouvelles d'équations dont le premier membre est l'opérateur A,U, le second membre ayant des formes simples, ainsi que d'équations relatives aux questions de prépotentiel, ce qui me procure l’occasion d'utiliser quelques-uns des résultats du précédent chapitre.

A la fin du Mémoire, je donne une liste des travaux se rapportant à l'équation de M. P. Humbert et à ses diverses extensions. Étant donné que ces travaux souvent très courts se trouvent disséminés dans de nombreuses publications, j'ai donné pour chaque titre un résumé succinct; cette liste bibliographique présente donc un aspect assez complet de ce qui a été publié actuellement sur ce sujet.

Ce m'est un devoir particulièrement agréable de remercier ici M. E. Cartan qui a bien voulu s'intéresser à ce travail et M. P. Humbert dont les conseils m'ont été si précieux pendant tout le cours de mes recherches. Je n'aurai garde d'oublier mon excellent collègue du lycée du Havre, M. P. Delens, dont les amicales conversations d’après classe m'ont permis de préciser ma pensée sur bien des points de la partie géométrique de ce travail. Je tiens enfin à remercier tout spécialement M. A. Bubl, qui a bien voulu se charger de faire paraître ce Mémoire dans le recueil des Annales scientifiques de la Facullé de Toulouse.