C EE == G9) d0° der AURE

Le calcul de ces divers polynômes nous donne pour les premières valeurs de nr

x, y; Ca YZ, z + 2x, VO Z TL, X +y +2 + 6xyz, (xZ + zY +7yx) 3(x°2z + 2°*y + y°x),

So mrelelelele sr i<in rs nel ecote

En variables u, v,w, ces polynômes sont égaux, à un facteur numérique près, à

u” 2 v" <i w” ; Ti e sd v” 4 J w” ie 2L ; Dh __ je w”

Ceci nous conduit Lout naturellement à nous poser la même question pour

v" ww" de ww" A 2e ie D" ; v” av" 2e A av" uw” Je J ie v” 3 D” w"! 2 jw” u" e A u" v” :

on obliendrait les polyÿnômes résultant du développement de Lt = 2) + JO — 22) + pr

Revenons maintenant aux relations entre plusieurs intégrales particulières

44. Taéorèue : Si U(æ, y, z) est une intégrale de l'équation AE roitrenrest

de même des fonctions

Ed D d'U )

dU Sr SE QUES d TX” | àyèz

les identités (4), (5), (6) fournissent les relations

Utilisons les variables u, v, w

PDA | à d'U a] j a. du (eu

QU dL dW

à: #2 S: Feu 10 a) RE T1 un du dv dW SO UE Dies

ce qui démontre le théorème.

+9: Tafonème : Si U (x, y, z) eslune intégrale de l'équation A,U — 0, la fonction +igs VE 0:

V(æ, y, 2) = p'U(æ, y, 2) est intégrale de l'équation À,

Raisonnons encore en variables u, v, w; on a facilement

NS AU] = n° TU “e n° pv"! Su dU nes S nee YU ‘5 dead Al la ! KB d0 dW AAA)

du dÙ VW

QU JU AW

js YU VUE

D'après le théorème précédent, le théorème actuel est vérifié pour n = 1; on déduit ensuite de proche en proche par récurrence que le théorème est toujours vrai. Si nous partons de U = c", U = log p ou U — log” p nous retrouvons le théo-

rème du n° "7.