THéoRëME : Soient 0, B,y trois constantes telles que

el f(t) une fonction arbitraire assujettie seulement à posséder une dérivée troisième JA) US L— ax + 8y+7yz,

J(Ù est une intégrale de l'équation A,U — o.

En posant Fe, y, 2) = fax + By +2),

on a en effet AF—= (++ y —Safy)f" (ax + 87 + y2),

ce qui démontre le théorème.

47. Taéorème : Dans les conditions du théorème précédent, la fonction f(t), où

By)x + (B°— ya) y + (y —xB)z,

est une intégrale de l'équation À,U — o.

Avec les mêmes notations et en utilisant l'identité

(0): Br) FE re) + (= Se BNP = ro E8) = (& un eV RTE

on a en effet AFF = (o + f HA — 026 YA CE)

ce qui démontre le théorème.

48. Taéorème : Dans les conditions du théorème du n° 16, la fonction JE, où

LC — By) Ge — y2) + (É° — ya) (y — 20) + (y — ) (2 — x y),

est une intégrale de l'équation A,U — o.

Posons en effet

U—=X+ y +z, mec Vv—=x+jy+jz, b—o+j8+jy.

W= x + y +jz, Hop

Il vient

l = (be + cawu + abur)

avec HG + y — 3aby — abc — 0.

: I Supposons par exemple que la constante nulle soit a alors 4 — 3 bcvw et la

fonction f(t) qui est alors de la forme (24) est intégrale de l’équation de M. P. Humbert.

REMARQUE : On pourrait à partir de ces théorèmes en énoncer bien d’autres ; par exemple on pourrait remarquer qu'avec les notations du n° 42 la fonction f(X, Y, 2) où æ, f, y, a, B', y, a", 6 est encore intégrale de A,U — 0, etc.

y” annulent les 9 déterminants qui figurent à ce n° 12

149. Taéorème : Si U(x, y, z) est une fonction de x, y, z définie par la relation

. Ax+By+Cz=:

où À, B, G sont trois fonctions de U vérifiant l'égalité

G1) A? + B' + C°—3ABC —0o,

U est une intégrale de l'équation A,U — o.

Posons encore

U=X + ÿY +1z, d—=A+B +C,

DDR JV 12; R=A+JIB#E) CG,

w—=x+fy+)z, CE =A+jB+/jC.

Il vient

Aë + By + C2 = [bu + Bo + Cu] = 1 avec

A° + B° + C'—3ABC = LRC — 0.

22 J. DEVNISME.

L'une au moins des trois fonctions .b, @, € est nulle; supposons que ce soit b; on a alors Poe ACUE

d'où A D a) D! rail \ dU — (Bo + Cw) =($ v + Cw)— —=o du du

L'une au moins des fonctions $ ou € étant effectivement fonction de U on en dU te d'U

0 ,1d'où d'fOTUO EEE 0

ou du dv AU

déduit

20. Taéorèue : St U(x, y, 2) est une fonction de x, y, z définie par la relation (A — BC) x + (B°— CA) y + (C— AB) = 1 où A,B,C sont trois fonctions de U vérifiant l'égalité (31), U est intégrale de l'équation A,U — 0.

Prenons encore les variables &, v, w el posons {b—=(A—BC)+ (B—CA)+ (C—AB), 4 GB = (A*— BC) +j(B*— CA) + j (C° — AB), ! C — (A —BC) +j(B—CA) Ej (CAB)

Il vient

(A°— BC) x + (B°—CA) y + (C° — AB)z — 3 Cu + Bv + Cw) — 1, et la démonstration se poursuit comme au n° 49, compte Lenu de l'identité (30).

24. Taéorèue : Si U(&, y, z) est une fonclion de x, y, z définie par lc relation (A — BC) (x — y2) + (B°— CA)(y — 2x) + (C*—AB)(--xy) = 1 où À,B,C sont trois fonctions de U vérifiant l'égalilé (31), U est intégrale de ‘équation À, ÙÜ — o.

Avec le même changement de variables qu'au n° 49 on trouve que

BCvw + CRwu + MBuv—1 avec MRC— 0.

En supposant encore que c’est 4 qui est nul, il reste BCvw — 3, d’où en dérivant par rapport à u

dU (RCE RPCMuwE=— 0, du

dU FI ’ . A Le Si ous écartons la solution banale BC = cte il reste : dU du dD JW

—,0 d’où a forliori

ReMARQUE : Nous avons rencontré en cours de route une hypothèse sapplémen-

taire, ce qui fait qu'ici A, B, C sont liés par les conditions

d 2 22 \2 dU [A + B + (O