Sur l'équation du 5e degré

Introduction. — Des deux méthodes que donne la théorie des fonctions elliptiques

pour la résolution de l'équation du cinquième degré; but de ces recherches. i

1. Définition de la transformée canonique des formes du cinquième degré >

II. Expression des coeflicients de cette transformée au moyen de trois quantités g, h, l< 4

III. Expression de §, h, / par les trois invariants A, B, C du quatrième, du hui-

tième et du douzième ordre; définition de l'invariant K du dix-huitième ordre et valeur de K' en fonction entière de A, B, C 5

IV. Démonstration de cette proposition que tout invariant de la forme du cin-

quième degré est une fonction entière de A, B, C, K

V. Formule générale de substitution relative aux équations de degré égal ou supérieur à 5, et conduisant à une transformée dont les coefficients ^, S, etc., sont des invariants 1 1

VI. Indéterminées mises en évidence dans cette substitution et dans les coefficients

de la transformée. Calcul de l'ordre de divers termes de 21 , îî 1 3

VII. Détermination des quatre covariants cubiques qui servent à composer la formule de substitution propre à l'équation du cinquième degré i5

VIII. Calcul de la forme quadratique à quatre indéterminées 21 et solution de

l'équation 2V^o iq

IX. Extension aux équations de degré quelconque de la formule de substitulioii

employée dans le cas du cinquième degré aS

X. Possibilité d'exprimer par les invariants le nombre des racines réelles et imaginaires de toute équation de degré égal ou supérieur à 5. Application de la méthode à l'equation du cinquième degré 25

XI. D'un système de covariants doubles servant, comme les fonctions de Sturm, à déterminer le nombre des racines réelles comprises entre des limites données acj

XII. Expose de la melhode de M. Kronecker pour la résolution, par les fonctions

elliptiques, de l'équation du cinquième degré 34