I.'idt'utilé qui en résulte, savoir
8aA»/' — SèhW (F*— 3/1/) -r- 8c/iV(F' - ih/y- — 83 (F' — 3 A/)» -t- y A»/» (F'- ih/) = — 8p'A8/« [p (F' — aA/) ^ i]h/].
conduit immédiatement aux résultats annoncés.
» Sans entrer maintenant dans tous les détails du calcul, j'en rapporterai les éléments principaux, qui seront d'abord les expressions suivantes, où l'on n a gardé que la première puissance et le carré de g, en supposant,
( 63 ) pour simplifier, a-\, h = i, /= i, savoir :
X,^ = 8-4-36g -I8^^ >.l .1, = - 2(4 + i6g + i3^^) F^ ^ 8 ^ aog - i4g% ^oV/Â ^- 4g - i6g-, X„A = 2g%
Xo~i>VÂ - (4ê + .4g'j F^ - 4ë - 8g% Jl»A = — ■;>g^ F'' -J- 2g'-, à) = g^ F^ - 4g» F^ + (I + 4ê -T- l2g^) F^ + 2g + 4g%
.i,*V4 = -(4gH-i2g^)F* + (8g H- 12g:») F» - 4g.
• En second lien, si l'on fait
(pf -f^ qf ) (pji - qg') (pb ql)') = LF^ ^ MF' + NF^ ^- P, on aura
M- 8p4~v5g (4-3v5)gv|,
N:. Sr~~ i6p'(2 - V5)g-8[(ii- 3s/-5)p^ - 8p'q 2pq^Jgv
P :.= i6p'"-8p'q h4[i4P'- (9 + W5)P'<1 ■ 2pq-]g
^8[(ii^4v/5)P^ (•i-»ov/5)p^q-(5 -4v5)pq q%».
» Cela posé, on obtient sans peine :
a— 2p'-^p*q, m--:^5(- 2p'-i-5p'q apq")-
c' -= 46p= — i5p^q- lapq' ^- 4q% p — 2 v'5p\ i'— — 4P - 32p-q — 8pq
» La constante p' reste donc seule à déterminer; je considérerai pour l'obtenir le cas particulier de g =- i, A = i, ce qui donnera, en supposant
toujours cr = I , / — r .
û)^4F'^4iF'.
Xo = o;
ou aiiiM d ailleurs
(Pf - qf) (Pfl - 19') fP'' -^ l")') = [- =^P(F' -4 V'S) -T- aq S/5J
et le terme indépendant de F' suffit pour donner immédiatement
p'=v/5(— 44p'' + ii5p'ii — 42|)q'4-4<l')-
» Les éléments de la nouvelle formule de transformation de l'équation du cinquième degré, à laquelle conduit la méthode de résolution de M. Kronecker, sont donc maintenant complètement obtenus, et Ion a mis en évidence le mode d'expression de cette formule comme fonction rationnelle et entière de la racine ^g, ce qui est un des résultats auxquels je désirais surtout parvenir. On observera que les valeurs de a, d, etc., preiment une forme un peu plus simple par le changement de q en q + 2P; on trouve alors en clfet :
a = - p»q, «. =^ — v/5 (3p*q H- apq"),
c' = — i5p'q -i-i2pq' + 4q', pi=2^p',
y = + 28p'— 8pq% p'^ \/5(5op' — 5p'q — i8pq' — 4q'),
cV = 8pS
d'où on conclut ;
[p (f-f- af) + qf] [p(9 -^ 2fl') ^ qfl'J [p(b + ^.b') -^ ql)'] =-p't— 8cD-4-a8.i,A+aji,»s/5^-i- Soy/SÂ^)
— pq'Uo+\/5Â/
— 2pq'(X;s/5Â-6XoA + 4.vA-+- i8v/5Â^) 4-4q'(/„H-V^Â)A,
et c'est en multipliant ce résultat par a'^gAFGH que s'obtient vu résumé
la valeur de z. Or on va voir qu'on est ainsi ramené au type de substitution donné par la formule
t(f,{x, l) + «<r;(x, l) + fyafj, l) + tV(f,(j, l)
que j'ai employée au comn)encement de mon travail.
» XXIII. Effectivement après avoir été précédemment conduit à ex|)rnuer en fonction des racines les invariants des formes du cinquième degré, nous allons d'une manière analogue définir quatre covariants cubiques d'ordre 3, 7, II, i5 qui s'offrent d'eux-mêmes dans la nouvelle formule de transformation à laquelle nous venons de parvenir. N'ayant d'autre but en ce moment que de rattacher à un point de vue commun les deux méthodes de résolution que j'ai étudiées, je ne chercherai pas à étendre au delà de mon objet des considérations qu'il serait peut-être intéressant de généraliser, et je me bornerai aux résultats suivants.
» J'observe que l'expression a'FGHX" étant symétrique par rapport à ?o la, ?3) ?4 » on pourra écrire
a^FGH>;; = aNSâ + A|^ + 3B;g + 3B'|„ + A',
les coefficients N, A, etc., étant des fonctions entières de ceux de la forme proposée J {x, y) = (a, /3, 7, 7', j3', a') [x, /)'. C'est ce qu'on reconnaît par l'égalité
qui a lieu quel que soit ;, et d'où Ion tire pour le coefficient de :* cette valeur
OU, plus simplement.
Or on a déjà remarqué, § XX, que la quantité — "-—^ — ' est, par rapport
aux racines, un invariant comme X.,. Ce coefficient N se distingue donc de tous les autres en ce qu'il est un invariant dont l'ordre est 4 «4- 2, de sorte qu'il s'évanouit en supposant n inférieur à 4-
( 66 ) » Cela étani, je dis que
Ax' -+- 3Bj:-j -4- 3B'x/- -¥- A'j'
est un covariant de la forme du cinquième degré, et je l'établirai en cherchant ce que devi(Mit l'égalité
a'FGHX; = kll +38?^ + 3B'?„ -i- A'
appliquée à la transformée F (X, Y) =f(mX + m'Y, nX ■+- n'Y).
» Faisant à cet effet ^ =: mn' — m' n, et remarquant que les racines de
l'équation F(X, i) = o sont les quantités — '——-, on trouve que le prr-
mier membre devient
Si l'on désigne donc par %, t3, etc., les valeurs de A, B, etc., lorsqu'on y remplace a, /3, etc., paf les coefficients de la transformée F(X, Y), on aura
(m — «Ç»)' " \ m — "?« / \ m — "îc ) '" — "it "
et, par conséquent,
Cette égalité, ayant lieu en substituant à Sq l'une quelconque des racines, est identique par rapport à cette quantité, et l'on voit facilement qu'en faisant
X = wX -4- m'Y, y = nX 4- «'Y,
on en conclut
(Aj:' + 3Bx^j4-3B'j:7=+A'7')c?""'-'=:2lX'4-3JDX=Y+:iî3'XY' + Jl'Y',
de sorte qu'aux valeurs /j = o, i, 2, 3 correspondent bien, comme on l'a annoncé, quatre covarianls cubiques d'ordre 3, 7, 1 1, i5. Gela posé, et en les désignant pour un instant par 90 [x, j), 9, {x, j), '^^[x, j\ ç, [x^j], je reviens à la formule
(I) z = «VgAFGH (L„ 4- Xo L. 4- \l U ^ K U\
(67 ) où l'on a, d'après les valeurs de a, 6, etc.,
Lj= - v5â(3p'qM-2pq-),
L, •=- A(i5p^) -i2pif- - 4if),
Lo = AA(28p' -Hpq^j - 8ffip'
+ V5^[2.i.= p' -h A(5op' - 5p^ii - i8pq= + /jq')].
Or, en mullipliant et divisant par a.1 =Jf (2u, i), elle prend cette forme :
/Â Lo?o(?(„ l) H- Ll ?l (£.1, l) + L, <p, f?„, l) -4- I,3(p3(?», 0
"-^'^ -T^ïï^-T) '
et c'est le type de substitution que je voulais mettre en évidence, les indéterminées t, u, V, IV étant remplacées par Lo, L,, Lo, L3. De plus, on reconnaît que les covariants (p„[jc, j-), (p,(^x,j) sont précisément ceux du troisième et du septième ordre dont j'ai fait usage, et la relation
donne même une démonstration nouvelle de ce fait, établi au § VII, qu'on a (p, (ço, i) = o lorsque S,, est une racine double (*). Mais je remarque surtout cette conséquence que l'équation transformée en z étant (§ XII)
, . 5 5B , 5(qB'— AC) i i —
les valeurs en p et <\ de t, u, v, w, savoir : ^ = L,,, u = h, , etc., font disparaître le coefficient de 2^, propriété bien remarquable de la forme cubique en t, u, v, w qui représente ce coefficient.
)) Un autre point de vue sous lequel ou peut encore envisager la formule (i) résulte de l'équation
" '^^^») - ^;7fgh'
établie au § XX, car elle conduit à cette expression où n'entre plus que la
(*) A regard des formes du troisième et du quatrième degré/(.r, y), le covariant quadratique ou Hessien, quand on y fait ^ = H,,, j = i a pour valeur le carré de /l (?„, i), et le covariant du troisième ordre le cube de la même quantité.
(68) quantité Xo, savoir :
L'équation proposée /(x, i) = o disparaît donc pour faire place à celle-ci : H (X) = o, qui est directement ramenée à l'équation (2). Ce résultat obtenu, il ne reste plus, pour arriver à la résolution par les fonctions elliptiques, qu'à calculer l'expression de la quantité A, afin de déterminer par l'équation A = o le rapport -•
» XXIV. J'ai indiqué au § XII par quelle voie M. Brioschi avait été conduit à l'équation en z, et je rappelle succinctement qu'en désignant par lu une fonction cyclique des racines de l'équation générale du cinquième degré f{B, i) = o, qui change de signe par la substitution 'i' U
et nommant «, ce que devient u^ j)ar la substitution !" j> l'expression
TSv Vl ,
suivante, où s est numérique, savoir :
z = Ê [Mct + Uo -+■ W («2 + M3)]
X [u, -f- «4 4- « (m«c — Uo)]
satisfait à l'équation
, 5B 3 3(qB» — AC) I <7r
les quantités A, R, C et II s'exprimant ralionnellement par les coefficients et la racine carrée du déterminant de la proposée. C'est dans le cas particulier de A =: o que cette équation est immédiatement résolue par les fonctions elliptiques, et on a trouvé qu'en faisant
Ao\/5 = «00 s/5 4- «0 -i- II, -^ «2 -+■ "3 -+- i't '
-A, \JS — Uo -+- p"u, -f- p^U2 -f- (J^lti -f-/5«4 ,
-Ajjs/5 = "o + pw. -^- /5'«2 -t-p'^a -i-/5*«4, ou p est une racine cinquième de l'unité, donnant
(69) on avait
Cela posé, voici comment s'obtient cette quantité si importante lorsqu'on prend pour u l'expression dont j'ai fait usage,
u^ pV + pX> -+- 2x''Jghl{qn + q'v).
» On a vu que les quatre indéterminées/?, p\ q, q' se réduisaient, dans la valeur de z, aux deux suivantes :
P = wp+P', C[ = q + rj)q\ de sorte qu'on peut supposer p = o, q' = o, ce qui donne plus simplement
u = p\'' + 2ixy'ghlna, ou encore, en changeant i^ en q + 2p, comme au § XXII,
u = p'<> + lu^ghl {m + 2v)n.
Or, on a pour les six valeurs de t? et u ces expressions :
t?^ = a" I -JghF' + (/- 2h) g'flY - hH-R], au, = 4- a}h (F + H),
\\ = c<^\-JghF'+ (/ 2h)g'flF + h' in], 21,0= + «V^(F - H),
\\ = a'I^/ghW -{h- 2g)phlYi - g" /G], au, = - oâg{W - G),
\\ = u'[-^fgliW -[h- 2g)phlW + g'IG], 2iu = - u'g (H 4- G),
^>, = a'[-JghG' + [g~ 2/) }rglG + ^ VF], 2u, = - «y (F - G),
■^3 = c'i^fëhG^ -{g- ^J)h'glG +/VFJ, 2U3 = - ay (F - G).
Elles montrent qu'en supposant G = o on a
et, par conséquent, u, = «4, u^ = «3, de sorte que les quantités A, et A., étant égales, l'équation A = o devient alors une somme de deux carrés, savoir :
ou encore, en faisant toujours 's) =
(!l=±Ji' ^ 0)^,) + [u, + "-^ a.)' = o.
Mais l'Inpothesc G = o revient à supposer nul l'invariant du dix-huitienuordre, ou bien a établir entre les invariants fondamentaux de la forme du cinquième degré une relation du trente-sixième ordre, et comme la quantité qu'il s'agit d'obtenir est seulement du douzième, cette relation ne pourra la modifier en rien, et c'est en nie plaçant dans ce cas [)articulier que je vais en faire le calcul.
u J'observe d'abord que les égalités
Ci» -11^ = 4//, H=-F='=4/S, F'-G= = 4M
donnant pour G = o : IV = — Itlf, F* = 4///, il suffit, pour obtenu- les invariants d'employer cette valeur de F= dans les expressions du § XVII. Mais on peut éviter ce calcul, car les invariants, fonctions symétriques des racines, ne changent pas de valeur en effectuant la substitution suivante : :' qui change F, G, H, y, g, // en G, -H. - F. ^, //, /; ainsi l'on a, par exemple,
'^ = '^ = -^{ë' + gh-^h^)F^-{g-h)i2g^ + gh^ 2fr)t
^ 2(/,= + h/-^J ^)G"- - {h -J){2h' + hj-^ 2/ ' ) l.
Cil-, celte dernière expression donne immédiatement
et l'on aurait de même
± = - ihf[h -/) (// -h 3hy-h8h*J ^ + , , /,7 » -H 8^7 * -^ 3/// » ^J •>/».
ce *
» Cela posé, en faisant m' = — "*"'■' on trouve pour G = o, apre^ quelques réductions faciles,
■1^ + ,,u,= c<^[<.r {/- g<.rv -^fgh{h - j\.)(i](v,
u, + ^^^^ w = ce' [i.y'h^{f- g^YV -Jgh [g - Aco)q]/H.
( 71 ) et il vient, pour la somme [des carrés, après avoir remplacé F" et W par 4 Ifi et -1,1/,
Soit donc, en me bornant au coefficient de p^,
l^ac'- (/- gw)* (/'w^" — h^fji'-)Jhl^ =■■ a-A' + aM,A +a"tD + G Jl»=s/Â + 6'\/A^.
On trouvera" d'abord a = o, en supposanty = o, et^ après avoir supprimé le facteuryZf, il suffira de faire/ = h,f= — /(,y=o, et enfin de comparer dans les deux membres les termes en/"/?, pour obtenir bien facilement
» Le calcul des deux autres coefficients est plus facile encore, et on obtient en définitive l'équation
» Ce résultat complète l'étude que je me suis proposé défaire de la méthode de M. Kronecker, en prenant jjour point de départ les quantités u, u, o, ■»?, et je serais au terme de mes recherches si la marche que j'ai suivie ne conduisait encore à une autre fonction cyclique dont je vais dire quelques mots. Aux expressions TJ„ = a^F F, F, F, F, et V„ = a°H H, Hj H, H,, composées avec les facteurs F et H de l'invariant du dix-huitième ordre,
on peut joindre celle-ci : W„c = a* G G, Go G3 G^, que la substitution ] ^^ J
laisse invariable, de sorte qu'on en déduit, en la multipliant parii„ oupar i)„, une fonction du huitième ordre, changeant de signe par cette même substiluliou, et qu'on peut par conséquent prendre pour u. Soit donc ainsi u = pu^V -+- cja, on aura, à l'égard de l'équation A = o, cette conséquence remarquable que les coefficients dep^ pq, q- étant du seizième, du dixième et du second ordre, cette équation ne contient pas le terme en pq. Mais j'ajourne l'étude de cette nouvelle espèce de fonctions, et je vais terminer en reprenant sous un autre point de vue la question déjà traitée des conditions de réalité des racines de l'équation du cinquième degré.
M \XV. En désigiiaiii par A, B, C les invariants fondamentaux et posant
I),= 25AB H- i(iC,
N =bî- loABD,^ f)IλD,
j'ai donné, an (^ \, pour les conditions de réalité des cinq racines, ces trois critéria :
D>o, HI), <(), N<o,
qui sont du huitième, du vingtième et du vingt-quatrième ordre, et on a vu que les conditions n>o, 1), <o ne pouvant jamais avoir lieu simullanément, le second critérium donne à la fois B < o, D, > o. Or il est bien remarquable que le tliéorème de Sturni, appliqué à l'équation en À, reproduise exactement les mêmes résultats, et c'est ce que je vais établir avant de donner le procédé qui conduira à des critéria d'un ordre moins élevé. Voici d'abord, en posant avec M. Sylvester
9A = A'- 2"(AB-+-C), cette équation en X, qui a été calculée par le P. Jonbeit :
(èy-5A(i)V.oD(i)'-.o(:Ul)-.A)(|y
^ 5D(5D - 4A=)^ - D(io8A - 9AD- looA') = 0.
Cela posé, on Iroiivf, p:ir le calcul direct du |)temiei' leiine des Inijctions intermédiaires et en supprimant un facteur numérique,
V, = B).' -h . . . , ^ 3 = - NX= + . . . .
Mais pour la quatrième fonction, les expressions des différences des quantités X, données § XX, montrent qu'elle contient en facteur le carré de l'invariant du dix-huitième ordre, et l'on trouve ainsi, pour le coclficient de son premier lerme, l'expression
QiKiiit H V5, 011 obtient K*D, d'où M résulte qu'en supprimant les facteurs
( 73 ) K' et K* on retombe bien sur les critéria déduits de la forme quadratique
D,<^-6BD/t'-D(D, -ioAB)i'=-4-D[-BM^+2D,mv+(9BD-ioAD,)w=].
» Je remarque encore que l'équation en X, donne un système simple des covariants doubles en x et x' définis au § XI, et servant à déterminer par leurs signes le nombre des racines réelles de l'équation proposée y(jcr, i) = o qui sont comprises entre les limites données. En effet, on peut prendre, en désignant toujours ces racines par Xq, .r,, etc., et posant V=y^(.r, i),
Quant à <',, on supprimera le facteur R', amené par les symboles Ç qui contiennent quatre des racines X, et enfin on prendra '^i=/ [x , ij.D. On voit qu'ainsi ■T', sera du premier ordre, \'.> du neuvième, ^''3 du vingtcinquième, <>!, du treizième, et 'Ç.^ du neuvième. Mais j'arrive, sans m'arréter plus longtemps sur ce sujet, à la méthode élémentaire, et qui donne pour les conditions de réalité les criléria du quatrième, du huitième et du douzième ordre, et au nombre de trois seulement. Elle se fonde sur ce que les quantités iix, Uo , etc., satisfont à l'équation suivante :
n'= ^ (.1. + 3 s Â) n'" + 1^^ (.1. - V If - a] u^ - uôu' + 1} (a, -^ vÂ)' + A I Au'' + U - ^^s^) A-ir -^ A^' = o,
qu'on forme très-facilement, et dont les coefficients seront tous réels si nous supposons le discriminant A positif, ce qui est, dans la question préserUe, le seul cas à examiner. Or, en revenant à l'expression d'une des racines, par exemple
«X — a'' ^ro — a-,) [x, — x^) ' .i:., — .r, ' (.r, — .r,''. (x, — x^),
on reco;rinait immédiatement que x„ étant réel, .* ., et x^ imaginaires conjugués, ainsi que x, et 0:4, on obtient pour u^ une quantité de la forme m S — I , dont le carré est essentiellement négatif. En établissant donc que H. 10
( 74 ) Irquation en u n'a que des racines positives, c'est-à-dire que son premier membre n Ollre que îles v;(riatioiis, on aura les conditions à la fois nécessaires et suffisantes pour que les racines de l'équation du cinquième degré soient toutes réelles. Si l'on convient de prendre positivement \A. on parvient ainsi à ces résultats fort simples :
les coefficients de u* ei u* étant essentiellement positifs, et il est visible que le cas des quatre racines imaginaires sera caractérisé par un changement de signe des deux derniers critéria, en conservant la condition A > o. »
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