a^(|,-?3)v?3-=,)(?.-l2 i£.-|„) (£„-£,)= 2Ta=£(i-y

Cela posé, et au moyen des formes canoniques, ou vérifiera immédiatement les relations suivantes, dont on verra bientôt l'importance, savoir- :

2U, = -h a=AfF + H), 2i), = — a^/(F — H), l 2U„ = + aV?fF - H), 2i)„ = -a-/(F +H),

! 211, = — a'g (H — G), 2U, =-t- «•■'// fH -H G), j 2U, = - «-g^fH-f- G), IV, =+ a.-h{\\- G),

I ixu = - v.y (¥ - G), IV, = a=g (F + Gj, au, = - or/iF -+- G), 21)3 = - a- g (F - G).

J'en déduirai d'abord l'expression des invariants du quatrième, du huitième et du douzième ordre, de la forme du ciucjuième degré, en fonction H. 7

( 5o ) (le F, G, H et /, g, h. On trouve aisément, en effet,

«i-t- «'-+-",' + "! + »! + K = — a5 (aSA + 3v^5D;, oi^u: + u:-(-u;4-i):-ho: = — a5(25A — 3v/5Dj,

et par conséquent

a'[h^ (F- -4- H=) -\-g^{W + G») +f'{G^ -h V j] = - .So(a5A ■+- SVSDl. a«[/ï(F--t-H^) + AMH- + G^)+^MG=' +F^)] =- 5o (c»5A - 3v'5D).

d'où

a*[y»(2F='-i-G^ + H')+gV2G=-l-H«-i-F^)+/j^2H = + F»-f-G^)] = -25ooA, a*[/3(H= G=) +g*(F»-H=') + //VG= - F-)] = 3oo vSÔ.

Considérons ensuite la somme des produite trois à trois, qu'on peut écrire de cette manière :

(u4 -H K) (uî + u;) (n; + u;) -+- ul=u', (uj + u) + ul+nl)

+ a]vi',{al+ttl + n\ + nl) 4-ir,u', (ui+u; + u| + un-

FJle est la même pour les deux groupes de quantités u et u, et a pour

valeur 4 . t° (— 1), -H AD ) • C'est donc un des invariants du douzième

ordre qui s'évanouissent comme D, , lorsque la forme proposée admet deux couples de racines doubles; je l'introduirai en le désignant par CD, de sorte que l'on aura

-l^eD = ^/=g^AMG'^-hH=')(H^-hF»)(F^ + G^)

+ J/*(F= - H»f [g>{F^- 4-G-^j + Ir{G' + H^)] -h^g' (G' - F" Y \h^ (G^ 4- H* ■ ■4-/-(H=' -+- F^^] ^. J^*(H=-G='f [/=(H*+ F- +g2(F'''-i-G=)].

Mais ces diverses expressions ne sont pas sous leur forme définitive: observant en effet que F, G, H n'v entrant que par leurs carrés, on pourra, au

moyen des relations

anxquelles je joimlrai

les faire uniquement dépendre des quatre quantités F^, g, h et /. On trouveia ainsi :

- 2gh'g~h 'g»+3g-V, + .SgV/-'-Hiig'/?'+8g=/?*+ '.§/;'+/?'' /'

et la valeur de lO montre bien effectivement qu'il s'évanouit pour / == o et g = o, c'est-à-dire lorsque deux couples de racines deviennent égales entre elles.

o Les équations [i) peuvent aussi servir à démontrer immédiatement ces identités ren)arquables données par M. Brioschi, savoir :

Uo -+- Ut + Us + «3 H- lu = U^-t- a Ux- Ucc — H, -1- U2 + U3 — Ui = Uo + 2 Oo lioc — Uo — Us -I- Us -t- lU = Ui 4- ■■>- Ui- Ux + Uo — Ui — Ua + U4 = Ua + 2 Uj. U^ -I- Uo -t- U, — lu — U. = Us H- '^ 03- Ux — Uo -+- U] -H Us — Ua = «1 -I- 2 V,.

Mais nous les empk)yons principalement à l'étude des nouvelles fonctions cycliques ilu sixième ordre formées en élevant u et t) au cube, et que nous allons joindre à U et V.

« XVIIl. Je montrerai en premier lieu que ces deux groupes de quantitésUet u', de nalure si différente au premier abord, peuvent être compris danshi même forme a|o;ébrique. Pour cela, je lemplace les carrés F^ et H*. dans réqu.itioi)

8u^ = «'//'' F' H- "^F^H -h'^FM^-i-H'),

par H* — \lg et F' -+- ^Ig, après avoir divisé par 4 il viendra ainsi . 2U^ = «»(//^F'-i-A^H'H-3g//VF- 3gA'/H).

J'opère de même dans la relation

U,= '>;''[A'FH- + (//» + /g/,)F^H + ^/,= -h/^j- /F], ce qui doiuie

l]„ = «»[A'F' + (//- -//; -J-)hH' + J'* +■?./' h -J' h' - 6Jh' - Mi*]lV

» On voit donc que les rleiix fonctions cycliques du sixiémi' urdi-e sont comprises dans cette forme :

?) (y, A) F' + ^ (/, //) H' + (p, (7, h) ZF + ^, ( /, A) / H,

f et '^ étant deux polynômes homogènes du troisième degré, (p, et i|/, du ipiatrième, cl il y aurait lieu sans doute d'en faire l'étude en recherchant l'expression la plus générale de ces polynômes qui permette d'obtenir ainsi des fonctions cycliques. Mais jiour ne pas Irop m'étendre, je me borne aux (ju.uitiiés U et u', et observant que l'expression

où fghl est proportionnel à la racine carrée du déterminant, est aussi du sixième ordre, j'envisagerai seulement les expressions de cette forme :

m U + /Ml' +ygA/ (fxu -I- V u),

où ///, n, [i, V sont des constantes. Cela étant, je me suis arrêté à la combinaison suivante :

U— 2u' +Jghl{6n-+- 4o) = 11),

( 53 d'où l'on tire

j o^ = 5,» [ + /uUiV + (h - a/ , g^hlH + /VF],

) n„ = .^o f /o^H' - r/^ - 2/) gHm + /VF],

j t), = «'\+ /ghG'+ [g- >.h)pglG - h'IW].

i 10, = a» [ -/ghG> - {^ - 2h)f'glG - AVH], 1:1, = a» r - IghV' - ( / - -2 g) hyi F + gVGJ, «3 = '^^ [ - f^h r -!/-2u) h^fl F „ VG 1 .

■' En opérant ensuite dans tD la substitution \^ [, j'en déduis ce second système, savoir :

<>^= x'I-JghF' 4- , / - 2h)g\fl¥ - AVHJ, ^''o = y' [ -./g/' r-' + [J - 2h]g\flF 4- h' /HJ.

j % = '>:' [ -./g^ti' + {g - 2/j /''g/G + / VF], 1 K\ = a" [ 4- /.'/.G'- - (g - 2: ] h'glG + / VFJ.

» Maintenant je prendrai pour la fonction u cette expression où figurent quatre coi^tantes qui tout à l'heure se réduiront à deux seulement, savoir :

11= C(^[f)t"> + p'\^-\- -îjghliqn-hq'o)].

(l'est dans cette détermination que se trouve le point le plus difficile et le plus important de mon travail, et elle ne pourra être justifiée que par les résultats qui en sont les conséquences, et que je vais exposer.

» XIX. Calculons d'abord les quantités précédemment désignées par R, S, T, et qui figurent dans la formule de transformation propre à la méthode de M. Rronecker, savoir :

R = M„ + ^^„ -+- r^ iu., -+- Uj),

S = u, ■+- U^ -i- « («^ — Mg),

T = «3 — Wo 4- ',i [u, — Ui).

On se rappelle qu'on a posé w = ïl^ faisant d'après cela, pour abréger,

f = -.gh P - (P + H'^O (g - /') / + v5y V. g = - 2)/i(r- [g- + 2Jll){h-J)t+ \og'/, b = - 2/-1P- [h' + 2jg] [f- g) / -(- v5 A' /.

on trouvera immédiatement

Ux -+■ V^o + w (Oa -4- t),) = + ooa'y f l*'' tl, -H C\ -H O) (Ox- t)o) = — ««• AbîK 03 — 132+0) (O, - D,) = — w«' gOG,

■C>x -t- ^''o + co (^^ H- ^P,) = + «V f ".

<^ + •C, + w (-C),- ■»?o) = — a* AI)H.

, V;, V)^, + co (^, - \^) = - «« g 9 (.

Soit en second lieu,

f'={h-s- ^1j)ëhL.

fl' = (/- A-V5g)/A/,

et on aura de même

u. -H uo + w («2 -+-113) = + ««y f F, u, -I- u, -I- f.) (u^ — ii„l = — «"//!)' H, U3 — n, + « (u, - u<) = - K*gg'G,

»« + t'o -<- w ("2 + "3) = + wa'yf F, 0, -4- t), -(- w(Ox — l'o) = — 'x)a'/'l)'H, O3 — Uo -f- oj (0, — U») = — wa'gg'G.

Or il résulte des équations (i) que p et p' n'entreront dans R, S, T que par la combinaison w/j + /j', et des relations (2) que q et 9' se réuniront dans l'expression analogue (/ + «(/'; posant, en conséquence,

■>p-\-p'—Vy (j -^ 'J)(j'= i\,

! 55 ' on trouvera simplement

R = a«/F(pf + qf),

-S =u'hn(p\)-i- ql)').

La formule de trausfoi-matiou z= RST peut donc être présentée comme le produit de ces deux facteurs, qui, l'un et l'autre, sont des invariants, savoir :

«7g//FGH et a<='(pf+qf')(j,j + qg')fpi) + ql,'). Le premier, qu'on peut écrire ainsi :

met immédiatement en évidence une fonction rationnelle de la racine^o", mais il reste encore à donner explicitement au second cette nîème forme, et c'est ce que je vais faire, après avoir ajouté cette remarque, facile à vérifier, que

la substitution ^" | n'a d'autre effet que d'y changer le signe du radical \/5.

» XX. Comme élément essentiel de l'importante transformation qu'il s'agit d'opérer, j'introduirai l'expression suivante :

C'est un invariant, comme on le voit de suite,, et de plus nue fonction rationnelle de la racine cg, car le facteur c/.^(f— g) [g — h) [h —f) représente l'invariant cubiqne de la forme du quatrième degré obtenue en divisant la proposée par S — lo- Désignant donc par Xq, X,, Xa, X3, X, les cinq déterminations qui correspondent ainsi aux racines £01 ?ii ?2i ?3 , H,, on aura ces relations remarquables, savoir :

X„ - X, = -I- ia" (ço — ç,) Hj G3 H4,

^0 — ^3 = — 2a'' (lo — la) F| F2 G4,

X„ — Xj = -h 2aMo — I4) H, F2 G,;

X, -X3 = -2«*(?, -S3)FG,F,, X, -X, = -20-/(5, - ?,)FF, G3, X, -X, = - 2ry/(::, -ï,)GF,F3, X, - X, = -f- 2a' (|, - S3) G H, H„ X, -X, =+ 2««(i3-ï,)HG,H2, X, -X2 = + 2a^(?, -i^)\iW,G,.

( 56, ) Pour les établir il suffit, par exemple, de démontrer celles-ci :

).„ -l,=-h 2a* (lo- z,)l\^C., H,, X„ - lo — — -la* (zo — ?2)G, Fj F,,

les autres s'en déduisant par une simple permutation cyclique des racuies; or elles se vérifient au moyen des formes canoniques en ê el r; des facteurs de l'invariant du dix-huitième ordre et des quantités X elles-mêmes, dont voici le tableau complet :

Xo = (5a)*(i - £){i — v3)(eH--/5)(£ - 2-/-/)(2£ - yj), X, =(r)tt)*£(i — £)(e — ri){i -hn){i — 2>3)(-/î - 2), Xj = (5û)*£ï3(£ + ri — 2) [S - 210 -h i) {y) — 2S -h \], X, = ( 5a)* (£ -I- •'î — 2 Eyj ) ( £ - 9. -/j -I- £ïî ) ( r, - a c -f- ît, ), X, = (5o)*-/3(i -Ï7)(v3-£)(i +£)(l-a£)(£-^).

» Cela posé, et eu se ra|)pelant qu'on a désigné par K. linvarianl du dix-huitieme ordre, on tire des premières multipliées membre à membre

(Xo — X,) (Xo — X2) (Xo — Xj)(Xo — X4) = -TpGH ■ ou bien

en faisant, pour abréger,

n(X) = (X-Xo)(x -x,)(x-x,)(x - i,)[).-K),

et, par suite,

pour les diverses valeurs de l'indice. C'est ce qui va peimettie d'établir la proposition suivante :

» Tout invariant donné sous /orme de fonction entière des racines, s/melnqtn par rapport rtÇ,,?2< ?3> ?* et dont te degré' en Bo ^'^' multiple de f\, s'exprime par

L„ + X„L, + X^L, + X;;L, -+- Xf,K,.

( 57 ) les coefficients L^, L,, etc., étant des fonctions entières des invariants fondamentaux A, B, C.

» Soient en effet, pour un instant, @^, 0,, etc., les cinq valeurs de cette fonction, j'observe que le polynôme du quatrième degré en X

qui se réduit à ©q, 0,, etc., pour X= Xq, X = X,, etc., peut, d'après la valeur de n'(Xv), s'écrire ainsi :

» Or al, étant la dérivée du premier membre de l'équation proposée pour S = £ , on sait par un théorème élémentaire que i6K0 s'exprimera en fonction entière des coefficients de cette équation. D'ailleurs les quanti-

tés 0, et ; sont des invariants, donc il en est de même des coefficients

des puissances de X. Or, d'après la supposition faite sur le degré de 0„, leur ordre sera ^ 2, mod. l\ ; ainsi ils seront tous le produit de K par une fonction entière de A, B, C, et l'invariant du dix-huitième ordre disparaissant ainsi comme facteur commun, on en conclut relativement à 0 la proposition annoncée.

» Je vais l'appliquer à l'expression

«•'(pf+qf')(pg-hq9')(pl) + ql)'), préalablement mise sous la forme

Q^a'fghlsjlQ',

(i ) où 0 et 0' restent invariables quand on fait la substitution | > ; mais, avant

de commencer le calcul, j'ajouterai quelques remarques sur le système des quantités X.

» XXT. Je considère à cet effet la combinaison suivante :

(Ux»»-^"!»'* — OsOa) — (itxUo -1- UiUi — Us Us);

( 58 ) en employant les relations (i) du § XVII, on trouvera qu'elle rievient

'[p{F' - H^)-l-^*(G» - F^) -H A'{H^ - G»)] - -APi^^" - f') -»- g^H» - G») + A^(F» - H»)], ou epcoro

et, par suite, que sa valeur est X,,. En partant de là et effectuant sur les racines So» ?i' ^^^i ""^ permutation cyclique, on en conclut cet ensemble de relations, savoir :

Xo — (OxOo -i- f.U» -tl.Oj) — (U^Uo-t-U, U. — U.Us), X, --. (o,U, -+- OjOo - tJaOi) — (Hx«i + Hsll" - UnUi). X, -- (DxUî -h UjD, — DiUo) — (U^cUj -t- II, II, lUUo). Xs - (OxOs + inOs - Ool'i) — (llxlls -t- lUU, lloUi), X» -: (Oxfv -♦- «oOs — Oi»!) — (Ux«i -<- «olU 11,11.).

» Or, en employant de nouveau des relations (i), on voit qu'on pourra exprimer les seconds membres au moyen de F, G, H ety, g, h. Ainsi, nous avons déjà

4>o = «*[/'(2F=-(i-- TP)-i-g^{aG^-F^-H*)-l-*^(2H^- F^-G^)]. puis en faisant, comme au § XVI,

f'=r+ëi>^ g'==8'+jf'^ h=h-+jg,

tt posant, piHir abréger,

4>(x,^, z) = — f^x"^ — g*>'^ —h'^z* + "^f'y^ + ig'xz -+- ih' xy,

on obtiendra ces expressions fort simples :

( 59) On en tire ensuite les relations suivantes :

>.,-X,= «*F(g'H- h' G), )i3-X, =- a'F(g'H-^'G), X2-X, - Oi'G{h'¥ -/'H), >., -X, ^. a*G(^'F -/'H),

X, - X, =- îf'H(/'G -, g'F ), X, - X3 - a*H(y'G - g'F ),

et par conséquent, en employant les expressions précédemment obtenues pour les différences des quantités X,

» Ces dernières équations multipliées entre elles conduisent à cette valeur de l'invariant du dix-huitième ordre, savoir :

64yg/îK = «'»FGH{g'*H» - h'-G^){h'-V- - /'2H'-=)(/"'G2 - g'='F*).

» Nous parviendrons à l'égard de la même quantité à un autre résultat en considérant les différences X^ — X,, Xq — \«, etc., et employant l'équation

(X„- X.) (Xo- X,) (X„ - X3) (Xo - X,) = ~^^:

on trouve, en effet, après quelques réductions faciles, qu'en faisant pour un instant

$, (a:, j, z)=/'(jr-2- jz) +g'[f'- zx)^ h' [z" - xj),

on a

2(Xo-X.).: «»$, ( F, G, -H),

On en conclut par conséquent, en multipliant membre à membre,

/R = a'»FGH[/'(F-^ GH) ^ g' (G' - FH) -+- A' (H= - FG)]

x[/'(F'- GH) -T^g'(G= - FH)- -^'(H= - FG)]

X[/'(F'- GH) -g'(G=-FH)-^ A'(H= - FG)]

X [/'(F= - GH) -h g' (G* -- FH) -f- k' (H= - FG)].

(6o) Eiifîii, nous déduirons de la valeur trouvée pour /ghK, l'expression de R lui-même, en écrivant

g'2H^ h'^'G' = {g" - A'^)H' - 4 h'-fL et observant qu'on a

g'^ - A'^ =. 4/gMg - ^)'

y"-g'' = 4/gA(/-g),

ce qui donne immédiatement

R= x''FGll[fh{h -y) F' -/"/] x[g/(/-g)G'^-g-/] X [hg\S-h)]V--h'U].

» J'indique ces résultats, bien que je n'aie pas à en faire usage plus tard, pour montrer dans la théorie algébrique des formes du cinquième degré le rôle des deux groupes de quantités F, G, H ety', g, A, qui servent de base au calcul suivant.

» XXII. Un premier point à établir avant de mettre sous forme d'un polynôme entier en Xq l'expression ,

(pf+qf')(P9+ 'lil')U'l) ^qi)')

est de montrer que la partie multipliée par le radical ^5. **' tji'' seule,

comme on l'a remarqué plus haut, change de signe par la substitution | ^' ,

contient dans tous ses termes le (acieur Jghl. Or en faisant, par exemple, f= o, et par suite g — — h, on trouvera

pf^(^f' = 2p//'(F'— iiii) — ii\fiH,

d'où

(Pf + mD (Pô + qfl') (Pl) + il)') = - 8P'/'' /' Lp (F' - -^l'I) - ^f^l]>

et 1 oi) verrait que le radical \J5 disparait pareillement lorsqu'on suppose g = o, h = o et Z^o. On peut donc écrire

«'' (Pf -^ qf ) (P9 + qfl') (Pl) + ql)') = » + ^'fghl^'i',

ou 0 et 0' seront invariables par la substitution " \i qui change de signe

le produil fghl, et par suite symétriques par rapport aux quatre racines S,, la, la, S^. Ces quantités, qui sont des invariants, réunissent donc les conditions du théorème donné § XX, et conune elles sont du douzième et du huitième ordre, on est assuré de pouvoir les mettre sous la forme de polynômes en "ko du troisième et du second degré. Faisant ainsi

(i) 0 4- oi'fghl& = Lo + ^0 L, + llU-h l\ L, ,

les coefficients Lq, L,, Lj, L3 seront respectivement d'ordre 12, H, [\ i!\ o, et s'exprimeront au moyen des nivariants fondamentaux et de la racine carrée du discriminant par ces formules, où je pose

»i(» = 5'A, A = 5'D, a6n de simplifier tpielques ex|)ressions, savou' :

Ls = 6^l> -l-m \/^,

L, = cX"- -+- c' A -h II -.1. \fE~,

Lo = 3 oAo' ^ y A. A -H y cD + p --1-- \/Â -f- p' y/Â*.

a, e, etc., étant des constantes numériques qu'il s'agit maintenant de déterminer.

» A cet effet, j'observe que le jiremier membre de l'équation (i) peut être mis sous la forme d'une fonction homogène de F^ et /, dont les coefficients contiendront seulement g et h, car il suffira d'y remplacer G- et H^ par F^ — ^Ih, F^-H4'g, pu's d'éliminer / au moyen de la relation /+ g -h h — o. D'ailleurs le second membre est immédiateriient de cette même forme, en vertu des expressions des invariants fondamentaux obtenus au § XVII, et de la valeur

Xo = a'(/-g)(g- h [h -J)l = -x*[:tg-^li){g - h),ctlt +g)/.

Cel;i étant. |e dis que clans les deux membres les coefficients des diverses

iniissanti-s de F* sont ideiiliqnement les mêmes; car autrement on aurait

F' entre I"- et / une équation homogène qui pourrait donner — exprime en

g el h, c'esi-a-dire une fonction delà racine Ho, et par conséquent cette racine elle-même exprimée au moyen des quatre autres, puisque g et h ne contiennent pas Ho- O" ^^^^ donc qu'il suffira de calculer ces coefficients des diverses puissances de F pour arriver par l'identification aux valeurs des constantes a, 6, etc. En supposant h—t, et n'ayant pas égard aux puissances de g supérieures a la seconde, ce qui rend les opérations faciles, on pourra ainsi les obtenu- toutes, à l'exception de p', facteur d'un polynôme en g, commençant par le terme g^. Mais afin de simplifier encore, je vais, en considérant le cas particulier de f= o, établir à priori qu'on a c = o, i-» = o. Cette supposition donne, en effet,

X^ - 2aV/*(F» - 3^/), A o,

(0 =r «•= /l* P (F' - /i/ll],

Xo-- 2a' //^ /.

et tout à l'heure on a obtenu

(pf + qf) (pg + qg') (pi) + ql)') . 8p'A«/» [p (P - - 2/./) - q/*/].