PREMIÈRE PARTIE

[pRÈsUiTÈF. A L'ACADCmi. DES S>Clfc>CB» UAXS SA siANCE DO tO NO«EU0flK l845.}(*)

1. Les travaux des ingénieurs et des géomètres sur la lliéorie de l'équilibre des voiltes ont eu principalement pour objet, depuis Coulomb, l’examen de la staliilité des voûtes construites ou projetées. Malgré les savantes recherches auxquelles ils se sont livrés, les solutions proposées sont encore loin de satisfaire aux exigences de l’art de l’ingénieur : elles n'oHrent à celui-ci que des moyens peu directs et assez incertains pour modiiier les constructions à l’état de projet, dont elles ont fait connaître le défaut plus ou moins prononcé de stabilité; et le plus souvent ce n’est qu’aprés une suite de tâtonneinenis qu’on parvient à satisfaire aux conditions d’équilibre indiquées par les niétbodes en usage.

Les solutions dont nous parlons seraient donc principalemeni

{*) Pourïe Rapport, voir Jes Comptes rendus des sétmcesde t Académie des Sciences, loiTU! XXIII, séance du 9 novembre i846.

i Slin L'KTABLISSEMENT

utiles dans lo cas où les cléments de la construction auraient été fixés d'une manière irrévocable; elles serviraient à faire connaître si le projet doit être admis ou rejeté. Mais aussitôt «jue l’on consent à apporter quelques modifications dans la courbure, soit de fintrados, sort de roxtiadü.s, ou dans les épais-seiii-s des voossoirs, on peut envisager la question sous un autre point de vue, et .se proposer de déterminer complètement la forme de la voûte, de telle sorte qu’il en résulte une construction jouissant de la plus grande .stabilité possible, et assujettie d'ailleur.s à des conditions particulières (|ui sont relatives aux dimensions de l’arche en largeur et hauteur, à la charge ipii doit s’élever au-dessus du plan horizontal tangent à fextrados et à la résistance des matériaux employés. Le problème ainsi posé est celui qui se présente ordinairement dans la pratù|ue.

Hans une série non encore terminée d'articles publiés dans la lievuc de l’Archileelure et des Travaux pahiies de .M. César Daly, nous avons présenté la théorie de l’équilibre des voûtes en bercotuix cylindriques sous le point de vue qui vient d’être indiqué. Parvenu à l’examen du cas particulier des ponts, la nécessité d’avoir égard à l’action du massif qui charge la voûte nous a pré- .senté quelques difficultés. Nous n’avons pu lever ces difficultés qu’en assujettissant fextrados à une discontinuité théorique, p-ésentant, il est vrai, peu d’inconvénients dans la pratique, mais laissant à l’esprit une impression peu favorable. La solution que nous avons donnée dans la Hevue de { Architecture résulte d’une condition arbitraire, celle de f égalité de pession par unité de surface dans tous les joints de la voûte : on peut conserver cette .solution comme se rattachant à la classification que nous avons donnée des ipestions relatives à l’équilibre des voûtes. Mais rien n'oblige absolument à satisfaire en toute rigueur à la condition de funiformité des pressions dans les joints, et l’on peut maintenir la continuité de la surface extrados, sans ipi’il en rêsidte une variation de pression trop considérable. Ajoutons que notre précédente solution n’est pas complète, analytiquement parlant : nous n'avons

DES ARCHES UE PONT, cfleclué que l’une seule des deux intégrations qui doivent conduire à l’équation de la courbe intrados, de sorte que le résiütat final dépend de tracés on de quadratiues. Abandonnant la condition qui avait eu pour conséquence la discontinuité de l’extrados, nous avons obtenu, depuis ce premier essai, une solution analytique complète, indépendamment de la solution graphique. Nous pensons que le Mérrioirc actuel, qui renferme l’exposé de nos recherches, ne sera point indigne de fixer l’attention de T.^cadémie des sciences, et offrira d'utiles renseignements aux ingénieurs.

Nous nous bornons dans ce Mémoije à l’examen du cas le plus important des arches de pont en bercetux terminés par des plans de tète perpendiculaires à l’axe, celui d’une arche chargée d’un massif terminé supérieurement par un plan horizontal.

Les équations finales que nous obtenons ne peuvent être résolues directement. En laissant de côté le moyen (pic présenterait la construction de tables spéciales pour tirer à vue la valeur des inconnues, nous sommes obligé d’avoir recours aux méthodes de tâtonnements, telles que celles des fausses positions ou des courbes d’erreurs; mais les tâtonnements se distinguent ici de ceux que nous avons signalés plus haut, en ce cpie, soit qu'on les elfectue graphicpicment ou numériipiement, ils correspondent à des constructions stables, ce cpii n’a pas lieu dans l’autre cas. Cette circonstance permet même de réduire le nombre des essais, attendu (pie si l’un d’eux ne s’éloigne pas trop de satisfaire aux données de la question, on peut adopter l’hypothèse sur laquelle il est basé, et modifier l’une des données, la demi-ouverture, qui n’est jamais déterminée avec une rigoureuse précision, en l’altérant de quelques centimètres, de manière que les équations de condition .soient satisfaites.

La solution (pie nous proposons conduit à des fonnes de l'intrados différentes des formes généralement usitées, mais dont le tracé peut néanmoins s’effectuer par les procédés (pi’on emploie lorsqu’il s’agit d’anses de panier. En cela nous nous conformons aux habitudes des ingénieurs : seulement, il arrive à ceux-d de

détermiDer les rayons de courbure de manière à donner à l'intrados une forme qui diifère le moins possible de celle d'une demi-ellipse, ou de n'employer qu'un seul arc de cercle, sans qu'aucime raison les porte à préférer ces courbes à d'autres, sinon la simpbeité de leur construction; tandis que, d'après notre théorie , les rayons de courbure varient suivant une loi dilTércnte de celle qui a lieu dans l'ellipse, et dans le cerdc où les rayons de courbure sont constants.

Le tracé de l’ilUrados, au moyen de scs rayons de courbure que nous pouvons construire géométriquement, nous olTre une solution du problème. L’exactitude de cette solution ne dépend que de celle du tracé, et se trouve sulbsante dans la plupart des cas.

2. Nous avons cru devoir faire précéder l’exposé de notre théorie d'une discussion sur l’indétermination du problème des voûtes en berceau, indétermination qui ne peut être levée qu’en ayant égard à la compressibUité du la matière des voussoirs; mais la théorie de la déformation des corps solides d'une structiu-c analogue 4 celle des pierres à bâtir nous a paru trop peu avancée pour tenter utilement d'en faire la base d’une théorie do l’équilibre des voûtes. Nous avons donc dû diriger nos rccbcrcbcs d'un autre côté, en nous proposant d'obtenir des résultats indépen- ' dants, autant que possible, de la compressibilité des matériaux. Nous croyons avoir atteint notre but en substituant à la voûte en berceau une construction purement idéale, dont on peut soumettre toutes les circonstances au calciJ, sans craindre d’y rencontrer rindétermination dont nous venons de parler, et telle, néanmoins, qu’en la comparant à la voûte proposée, on puisse afQrmer évidemment que si la première est en équilibre , il en sera de même a fortiori de la seconde. Les conditions que l’on fixe en envisageant le problème de cette manière sont confirmées a posteriori piar une discussion relative aux effets produits par les surcharges accidentelles.

I.A considération des différents modes d'action des matériaux

DES.ABCHES DB PONT, qui composent le massif, sur les voussoirs, met en évidence une autre indétermination qui se présente à un haut degré près des plans de tète , dans les arches dont les parement&extérieurs sont extradossés en gradins. Pour éviter la dÜTiculté que présente cette nouvelle indétermination, nous ‘sommes obligé de substituer i l’arrangement plus ou moins fortuit des matériaux du massif, une autre disposition idéale présentant quelque analogie avec les constructions usitées, et qui jouit de la propriété de tlonoer lieu à des pressions normales à l’extrados et déterminées. L’action des matériaux du massif sur les reins de la voiite provenant de cette disposition idéale est la même que si la voûte était chargée d'uii fluide avant la densité et la fonne du massif. Nous aurions pti. comme plusieurs auteurs, partir immédiatement de l'hypothèse <le la fluidité; mais il nous a paru bon d'indiquer à quel mode de disposition répond cette hypothèse que nous adoptons, d'accor^ en cela avec de savants ingénieurs.

L’application des équations de féquilibre au système idéal dont nous nous occupons ne peut se faire sans restrictions : on sait que ces équations ne sont satisfaites que lorsque les corps, après avoir été comprimés ou distendus, sont parvenus à un état permanent, sous l'influence des forces extérieures. Les résidtats que nous déduisons de ces équations sont donc uniquement relatifs i l'état normal de la voûte après le décintrement, et la question de Finjlexion reste, entière : on observera toutefois que nous fournissons les moyens de l’aborder, en déterminant la forme finale de la voûte. Quoique nous ne ti'aitions point cette question in extenso , nous indiquons cependant les causes qui peuvent produire l’inftexion, et les moyens d’en éviter les principales. Nous sommes porté à croire que si les pieds^roits sont inébranlables et les Joints de la voûte très-fins, une construction réalisée suivant nos principes ne donnera lieu qu’à une diminution de flèche si petite , qu’on pourra presque ne pas s’en préoccuper.

Sous les restrictions qui précèdent, nous avons mis le problème en équation, et ramené les principales difficultés analytiques à l'in-

Slin L’ÉTABLISSEMENT tégration de l’équation diflereatielle de la courbe intrados. Cette équation contient un radical recouvrant un polynôme du quatrième degré; et son intégration, qui dépend des fonctions elliptiques, exige, cÆmme on le sait, la décomposition du polynôme en ses facteurs du premier degré, ou la résolution d'une équation du quatrième. L’expression algébrique des racines est ici nécessaire fK)ur conserver à la question toute sa généralité; nous avons pu l’obtenir.par la réduction de ces racines en séries ordonnées suivant les ptii.ssancc$ des épai.ssetirs, en bornant là, comme dans tous nos calculs, l’approximation aux termes du second ordre, ce (|ui suffit parfaitement. A l’aide de développements analogues, nous avons réussi à éviter l’emploi des fonctions elliptiques de troisième espèce, et obtenu une intégrale qui se simplilie notablement dans le cas assez ordinaire où la voûte et le massif peuvent être considérés comme ayant la même densité. La faible charge des voûtes de pont au-dessus de la clef rend le module peu différent de l’unité, de sorte que l’on peut suppléer aisément aux Tables de fonctions elliptiques. Enfin, nous présentons deux vérifications analytiques qui, jointes à des confirmations d’une autre nature, ne nous pdhnettent pas d’avoir le moindre doute sur l’exactitude de nos développements.

Nous limitons l’usage de l’équation de courbe intrados à la détermination de l’inconnue principale, regardant le calcul des différences finies comme plus praticable lorsqu’il s’agit de calculer une stiitc de coordonnées de divers points d’tme courbe : la méthode que nous indiquons à ce sujet, fait tout dépendre de l’expression du rayon de courbure, et nous affranchit du besoin de recourir aiLX fonctions elliptiques pour effectuer ces calculs.

Les constantes introduites par l’intégrâtion sont au nombre de trois. Ce sont : i" la hauteur de la charge qui s’élève au-dessus de la clef; a® l’épaisseur à la clef; 3® une ligne égale à la hauteur d’une colonne de la matière des voussoirs dont le poids produirait sur tme base horizontale la pression qui a lieu dans le voussoir de clef. En supposant donnée la première de ces constantes.

i'iine des deux autres reste arbitraire dans les arches du genre du celles en arc de cercle, où la direction du joint des naissances n'est point Gxée. Si l’on prend pour la troisième constante une valeur indiquée par la résistance des matériaux, l’épaisseur à la clef en résulte. Dans les arches en anse de panier, où le joint inférieur e.st sensiblement horizontal, les deux dernières constantes sont néce.ssairement déterminées; mais il peut se faire que leurs valeurs données par le calcul répondent à des pressions auxquelles les voussoirs soient incapables de résister, ou tellement faibles, qu’il en résulterait un emploi peu économique des matériaux : il devient alors nécessaire de modifier les données dans un sens que nous indiquons suivant le cas. Il est d'ailleurs convenable de se ménager la possibilité de faire varier les données dans de certaines limites, afin de pouvoir, au besoin, tenir compte de l’clfet des surcliarges accidentelles.

L’épaisseur à la clef est f inconnue à la détermination de laquelle se ramène la solution du problème des arches de pont, et, en l’absence de tables, on n’en peut obtenir la valeur que par des approximations successives. Nous donnons, dans chaque cas, des valeurs approchées qui diOèrent assez peu des valeurs exactes de l’inconnue dont il s’agit, pour servir utilement de point de départ dans les calculs d’approximations successives.

L’importante question de la poussée contre les culées, dont la solution sert de base aux calcub relatifs à l’établissement de ces dernières, est résolue au moyen de nos formules, dès que la détermination de l’épaisseur à la clef est effectuée.

Nous terminons la première partie de notre Mémoire en présentant le résultat de comparaisons entre des arches établies suivant nos principes et des arches en arc de cercle ayant même épaisseur aux naissances. Ces dernières offrent moins de convexité vers les reins; et la différence des deux intrados parait assez petite pour qu’on soit tenté d’adopter l’arc de cercle , à cause de la facilité qu’il offre dans la construction. On tomberait néanmoins dans une grave erreur en admettant cette conséquence : en effet, nous

faisons voir, dans ie cas de l’arc de cercle, qu'à l'endroit où celuici s'écarte le plus de l’intrados construit suivant notre théorie, la résultante des pressions dans les joints peut se rapprocher de l'extrados, jusqu'à n'en être plus distante que d'une quantité égale au tiers de l'épaisseur des voussoirs : cela donne lieu, vers l’extrados, à des pressions par unité de surface, doubles de celles qui ont lieu dans l'autre arche , tandis que la pression vers l'intrados décroît jusqu'à devenir nulle. 11 est facile d’en conclure que les voussoirs devront, dans ce cas, présenter une résistance double de celle qu'exigerait l’application de notre théorie. Les intrados des arches en anse de panier différent aussi de nos coiu-bcs par une moindre convexité vers les reins, et donnent lieu à des remarques analogues aux précédentes.

La convexité vers les reins dans les arches de pont présente clés avanUtges dont il est bon de profiter : car, outre la plus grande facilité qui en résulte pour l'écoulement des eaux, elle oU're un aspect agréable et un caractère de hardiesse que l’on aime à rencontrer dans les constructions de ce genre.

INOXTKBIUMÀTIOK DV FSOBLIMB DE L'BQDn.lBHE DES VoOtSS ES BEflCEAC.

<'l. On est dans l'habitude , lorsqu'il s'agit d'appliquer les principes de la statiqüe, de considérer les corps comme absolument durs et incompressibles, et il est exact de dire, comme l'a fait remarquer M. Poncelet, que lorsque les corps compressibles ou extensibles sont parvenus à un état permanent, sous l'inBuence de forces extérieures, l'action de ces forces est la même que si ces coi-ps étaient vraiment invariables de forme. Nous raisonnerons dans cette hypothèse, aGn de n’employer que le» principes les plus simples de la statique.

Considérons donc une portion de voûte comprise entre deux plans de joint quelconques, et supposons connue l’action, sur cette voûte, de la portion du massif de maçonnerie qui agit sur elle, ainsi que le poids même de cette portion de voûte; nous dési-

' gncrons par R la résultante de ces deux forces, qui en général ne

se réduiront point à un couple. Les autres forces extérieures qui sollicitent la voûte sont les pressions ou réaction.s qui s’exercent sur chacun des plans de joint extrêmes; soient T et T les résultantes de ces forces. La voûte étant en berceau, et les plans de tète perpendiculaires à l'axe, l'action des forces reste la même dans deux tranches d'égale épaisseur, déterminées par des sections parallèles aux plans do tète; nous pouvons dés lors considérer l’cquillbre d'une tranche infiniment petite, ou simplement appliquer le principe relatif à l'équilibre d'un corps sollicité par trois forces situées dans un même plan, principe qui consiste en ce que la résultante de deux des forces est égale et opposée à la troisième. Prenons donc un point quelconque r, sur la direction de R; puis, par ce point, menons deux droites qui rencontrent les surfaces des joints extrêmes en deux points t et i, et décomposons R suivant ces directions : les composantes de R pourront théoriquement être regardées comme égales et opposées aux réactions inconnues 1' et T', d’après le principe énoncé. Si l’on réduit, en effet, les surfaces de contact aux seuls points i et t', et que l’on ait égard à l'hypothèse relative k la dureté parfaite, en supposant d’ailleurs les points f et susceptibles de réagir dans tous les sens, les réactions T et T' deviendront cfTectivement égales et opposées aux composantes de R obtenues ci-dessus.

En réalité, pour que les forces égales et opposées à ces composantes puissent être regardées comme donnant l'expression dos réactions T et T', il faudra, i° que leur point de concours r, situé sur R, soit tellement choisi qu’elles ne deviennent point des forces de traction, à moins qu'on ne veuille avoir égard é l'adhésion des mortiers (le maximum de leur intensité dépendrait alors de cette adhésion); 3 ° les directions des composantes devront faire, avec les normales aux surfaces de joint, des angles inférieurs à l’angle du frottement, et dans le cas où l'on aurait égard à la cohésion des mortiers, ces angles devront rester plus petits que le plus grand des deux angles de frottement et de cohéaion; 3“ enfin, les |)oinls

SUR L'ÉTABLISSEMENT f et t'-ne devront point être aaeez voisins de l'intrados ou de l'exr trados, eu égard à l’intensité de T et T', pour qiie les voussoirs se brisent vers ces parties. Les intensités T et se trouveront limitées par la considération de l'étendue hvpotbétique des surfaces de contact et de la position des points t et l'; il faudra que T et T' rentrent dans les limites qui en résulteront.

Malgré ces restrictions, qui limitent l’étendue dans laquelle les points r, l et t' peuvent être pris arbitrairement sur la direction de R et les surfaces extrêmes, le problème qui consiste à déterminer T et T' reste susceptible d’une infinité de solutions. (On a coutume de limiter encore les solutions en partageant la voûte en dciuL parties symétriques au moyen d'un plan, vertical mené par l’axe et le sommet; et par motif de symétrie on admet que la réaction T qui a lieu au sommet est horizontale.) Toutefois, quel que soit le système de valeurs que l’on admette pour T et T', ces valeurs une fois fixées, les résultantes des réactions dans tous les plans de joints compris entre les extrêmes se trouvent déterminées; on les construit graphiquement avec la plus grande facilité. En effet, considérant le premier voussoir à'partir du sommet, on compose l’action de la charge qui le sollicite, avec son propre poids, puis la réaction T qui a lieu au sommet de la voûte, avec la résultante des premières forces; la résultante des trois forces est égale et opposée à la i-éaction du deuxième vou.ssoir sur le premier, et par conséquent égale à la réaction do premier sur le deuxième , et de même sens que cette réaction résultante. On obtient ainsi de proche en proche toutes les réactions intermédiaires, et la dernière, obtenue par le même procédé, doit, si l’on of>ère bien, coïncider avec celle T faisant partie du sptèine de valeurs T et T' d’où l'on est parti. Les réactions intermédiaires sont assujetties, quant é leurs intensités, directions et points d’application, aux mêmes conditions que ci-dessus, pour que l’équilibre puisse avoir lieu; et ce n’est que lorsqu'on a trouvé un système de valeurs de T et T tel que toutes les autres réactions qui en résultent satisfassent à ces conditions,, que l’on est

DES AnCHES DE PONT. 11

fondé à regarder l’équilibre de la voûte comme pouvant être stable. Ordinairement, quand on a trouvé une solution, il est rare qu’on n’en trouve jvas une infinité d’autres comprises entre des limites plus ou moins resserrées, mais il est impossible de prévoir laquelle de ces solutions se réabsera, ou même si l’équilibre aura L'eu, sans introduire dans le calcul la considération de la compressibilité de la matière des voussoirs. Or, avons-nous dit, la théorie de la déformation des corps solides tels que les pierres à b4tir, est trop peu avancée pour que l'on puisse en faire la base d'une théorie de l’équilibre des voûtes. C’est ce qui nous a mis dans la nécessité de substituer à une voûte proposée la construction idéale dont il a été question au n° 2, et qui va être décrite dans un instant. Rappelons cependant que le mode d’action sur les voussoirs, du massif qui charge la voûte, doit olTrir un nouveau genre d’indétermination dont nous aurons à nous débarrasser en procédant d’une manière analogue; mais pour ne point compiicpier inutilement les discussions, nous supposerons d’abord que l’action de la chaire s’exerce normalement à l’extrados des voussoirs, sauf à ramener ensuite à ce cas celui dont nous nous, occupons actuellement.

ÉQUSTIOSS DE L'ÉQCILIBnE D'USE ToCtE ES DKECEAC SOUMISE À L'ACTIOS UE rOECKS AGISSAST SOBUALEMENT À L'EITBAOOS.

A. Considérons une portion de voûte comprise, d’une part, entre t •': < • • ■

deux plans parallèles aux plans,^ •' ’-i t. / des têtes, et distants d’une quan- ' ' litè quelconque A, qu’on pourra, .

ai l’on veut, supposer égale à l’unité linéaire ou même infiniment petite i et, d’autre part, ter- ' minée par deux plans perpendi- ' < culaires à l’extradcts. ■ . |

SUR L’ÉTABLISSKMENT

Supposons ia voiUe divisée en voussoirs inPiniinent petits, par des plans de joint normaux à l’extrados. De cette division résnltera la possibilité d’assigner la position du centre de gravité de chaque voussoir élén>entairc : nous nommerons courbe des cenlrcf de gravité la courbe passant par tous ces centres.

Prenons sur chacune des noimales un point voisin de l’intrados situé à une distance du centre de gravité correspondant , égale à celle qui sépare l’extrados de ce même centre; noos obtiendrons une nouvelle courbe que nous appellerons, pour abréger, intrados .

Imaginons maintenant que, sans altérer en rien le poids des voussoirs élémentaires, la position de leur centre de g^ravité et l’action des forces normales à l’extrados , on les déforme de manière à réduire la surface de contact de deux voussoirs voisins , à l’étendue .de l’élément superficiel correspondant aux arêtes ou génératrices qui ont leurs pieds sur la courbe des centres de gravité. Faisons, de plus, abstraction du frottement des voussoii's et de la résistance qu’oppose l’adbé^on des mortiers à leur glissement les uns sur les autres.

Il est évident que si l'équilibre peut exister dans un système établi suivant ces hypothèses, il existera a fortiori dans un système où des séries de voussoirs inCmiment petits seront changées en voussoirs de dimensions finies, et lorsqu’on remplacera le contact de deux arêtes par celui des surfaces, de joint comprises enti-e l’extrados et l’intrados fictif, c’est-à-dire lorsque la presque totalité de la surface de chaque joint sera rétablie , de manière à donner lieu aux frottements, et à pouvoir mettre en jeu l’adhésion des mortiers, suivant le besoin; le rôle de ces forces étant de s’opposer au glissement quand il tend à se produire. Nous dirons plus; c’est que ces dernières forces ne se développeront pas, tant du moins

DES ARCHES DE PONT, que la voûte restera soumise aux seules forces qu'on aura fait entrer dans les équations de son équilibre : en effet, puisque l’équilibre est supposé devoir exister sans l’intervention des frottements et adhésions, il n’y aura aucune tendance au mouvement dans un sens déterminé pour quelque' voussoir que ce soit, et comme le frottement ne prend naissance que par suite de cette tendance, il est clair qu’il ne se produira aucun frottement; il en sera de même des effets de Fadhésion des mortiers. Ces forces ne se développant point dans notre voûte à son état normal, il est inutile, comme on le voit d'ailleurs assez clairement, de les faire entrer dans les équations de son équilibre.

Pour compléter la transformation do la construction idéale en la construction réelle proposée, il eût fallu rétablir le contact des voussoirs dans toute fétendue comprise entre l’extrados et l'intrados, tandis que nous l'avons étendu seulement à l'espace compris entre la première de ces courbes et l'intrados fictif, comme cela aurait lieu si l’on pratiquait dans les joints un refouillement d’une profondeur égale à la très-petite distance qui sépare l'intrados fictif de l'intrados réel, distance qui natteindia jamais qu’un pietit nombre de centiraëtres. Nous allons donner la raison do la nécessité qu’il en soit ainsi, du moins théoriquement. Dans la construction idéale, la résultante des pressions dans les joints passe par Farète de contact située sur la courbe du centrer de gravité, ou bien par le milieu du joint limité, comme nous venons de le dire dans la construction réelle ; et l’on peut admettre qu’après le rétablissement du contact des surfaces planes de joint, la pression se distribuera uniformément sur ces surfaces, de même qu’on admet en pratique que les pressions se distribuent imiforinément sur les surfaces quand les résultantes passent par leurs centres de gravité-. C’est sur cette hypothèse que l'on s'appuie pour déduire des expériences connues les coefficients de résistance é l’écrasement. On sera d’autant mieux fondé à admettre l'égalité de la répartition des pressions, qu’on pourra la faciliter par l’introduction dans les joints d'une mince couche de ciment très-fin.

la SUR L’ÉTABLISSEMENT

Si nous avions étendu la surface de joint jusqu'à l'intrados réel, la compressibilité de la matière des voussoirs eût pu avoir pour eflet de déplacer la résultante des pressions, en tendant à la ramener vers le mibeu du nouveau joint, et nous eussions en à considérer le lieu géométrique de son point d'application aux divers voussoirs ; l'introduction des coordonnées de cette courbe dans les équations du problème les compliquerait beaucoup plus que ne le fera la considération de Tintrados fictif qui, dans tous les calculs, exclura l'intrados réel. Pour nous, moyennant les conventions précédentes, les courbes des centres de gravité et des résultantes des pressions se confondront en une seide et même courbe. Quant à la condition relative au refouillement des joints, pour que CCS courbes se confondent tliéoriquement, on pourra juger, d'après le faible intervalle qui sépare les “intrados réel et fictif, du peu d'importance qu’il y aurait à s'y conformer pratiquement, dans le plus grand nombre des cas. Si l’on s’abstient d'effccluor ce refouillement, il n'en pourra résulter qu’une faible variation de la pression par unité de surface dans l’étendue de chaque joint.

Enfin, disons que la résultante des pressions étant assujettie à passer par les centres de gravité, c’est-à-dire très-près du milieu de l'épaisseur des voussoirs, et à être nonnalo aux plans de joint, la voûte acquerra par cela même un grand degré de stabilité. En effet, quand la voûte sera soumise accidenCeileinent à des charges auxquelles on n’aura point eu égard en fixant les conditions de son établissement, l'action de celles-ci sera, tant que l'équilibre pourra subsister, de déplacer le point d'application et la direction de la résultante des pressions en faisant varier l'intcasité de cette dernière. Or, piour que le point d'application de la résultante puisse se déplacer dans im sens ou dans l'autre, sans trop se rap^ procher de l’intrados ou de l’extrados, il est évident qu’il doit coïncider avec le point milieu de l’épaisseur lorsque les surcharges dont il s’agit n'ont pas lieu, c’est-à-dire lorsque la voûte est soumise à l'action des seules forces qu’on a fait entrer dans le calcul qui a servi de base à sa construction. D'un autre côté, la .direction

de la résultante des pressions devant pouvoir s’écarter de celle qui répond à l’absence des surcharges accidentelles, sans cependant faire avec la normale aux plans de joint un angle qui atteigne le plus grand des deux angles du frottement et de la cohésion, il est également évident que la résultante de» pressions doit être noi^ male aux plans de joint dans l’état ordinaire de la voûte. Or l’équation (d) du 'numéro suivant exprime’ précisément 'la inénii' condition k laquelle il nous sera facile de satisfaire. Il résulte de ces considérations que le système dont nous nous occupons jouira ■l’une très-grande stabilité, oaiii.si que nous l’avons annoncé plus haut. Nous aurions presque pu nous dispenser del les présenter ici , tant elles sont évidentes : nous ferons seulement observer qu^n nous fondant sur ces considérations, il nous eût été fecile d’éviter la substitutioa d’un système idéal é la réalité; mais il nous a semblé bon de présenter nos idées dans l’ordre où elles se sont produites. > ■ ■

Quant i la stabilité au point de vue de l’ellet de surcbaiges accidentelles considérables; pour la constater sûrement , il resterait à s'assurer que, soiu l’influence de cos surcharges, la résultante des pressions ne peut nulle part se rapprocher de l'intrados ou de l’extrados d’une quantité inférieure au tiers de l’épaisseur des voussoirs; que la pression maximum par unité de surface n’excédera pas la chatte que peuvent supporter les matériaux sans inconvénient; enfin, que la direction de la résultante ne s’écartera de la normale aux plans de joint, que de quantités inférieures aux angles de frottement et de cohésion.

5. Ceci posé, avant de former les équations de l’équilibre du système idéal décrit ci-dessu», nous devons rappeler ce que nous avons dit, n* 3, relativement à l’application aux corps compressibles, des équations d’équilibre établies pour des corps de forme invariable, et faire remarquer que les conséquences auxquelles nous pourrOQs être conduit, s’appliqueront seulement k la voûle parvenue à son état permanent. Si nous déterminons la forme que doit conserver la voûte dan^ cet état, nous ne serons pas dispensé

pour cela de rechercher la forme qu’on doit lui donaer pendant qu elle repose sui' ses cintres , forme qui soit telle , qu’après le décintrenient elle se change en celle qui répond à l’état permanent. En un mot, la question de Finjlaûon de la voile restera tout entière; mais nous aurons fourni le moyen de l’aborder en déterminant une donnée indispensable de la question, la forme finale de la voûte : n’ayant point l’intention de la traiter ici , nous nous contenterons d'indiquer les causes qui peuvent contribuer à produire rinfiexion et les moyens d’éviter les principales.

Une des causes de l’inflexion des voûtes est dans la diminution de longueur de l’arc de la voûte, mesuré dans le sens de fextrados ou dans celui de l’intrados, d’où résulte une diminution de la flèche ou un surbaissement : cette diminution de longueur de la voûte provient de la compression qu'éprouvent ses parties, et souvent de celle du mortier dans les joints; il importerait donc de diminuer l’épaisseur de ceu.v-ci, et d'employer, pour les remplir, des mortiers ou ciments qui ,se sobdilient. promptement ou avant <pie les elfels de la compression puissent devenir sensibles. Oisons que les constructeurs habiles se sont rendu compte de ces effets, et qu’ils emploient, pour les prévenir, les moyens dont il est question ici. Mais une autre cause de l’inflexion ou du surbaissement, k laquelle on ne paraît pas avoir beaucoup fait attention, provient de l'habitude où l'on est d'opérer le décintreraent avant d’avoir achevé le massif ou tout au moins chargé les reins: or les formes d’arches généralement adoptées ne s'éloignent pas beaucoup de celles que notre théorie assigne aux voûtes chargées; si donc ces formes conviennent à l'équilibre sous l’influence de la charge, elles ne conviennent plus en l’abscncc de cette charge, et la voûte, abandonnée à elle-même lors du décintrement, doit se déformer en se surbaissant, ce qui arrive effectivement. On éviterait la plus grande paiiie de cet effet, en n'opérant le décintroment qu'aprèsla construction entière du massif.

11 pourrait bien se produire encore une inflexion « mais elle serait générale, et la déformation beaucoup moindre que dans le cas

contraire, où ia clef s’abaisse, tandis .que les reins se relèvent; le surbaissement final se trouverait donc considérablement diminué , il ne proviendrait plus alors que du resserrement des joints et de la compression des vousspirs.

Maintenant, désignons par:

x', J les coordoiiuées d’un point quelconque de l’exti-adus, rapportées à des axes OX «t OY, l'un horizorMal, l’autre vertical, et parallèles aux plans des tètes;

« l’angle de la tangente en ce point avec l'axp des x;

X, J les coordonnées du point de la covie des cesttns de gravité .situé sur la nonnale i l'extrâdos menée par le point

x", y“ les coordonnées du point de l’intrados fiotif situé sur la même normale;

m SUR L’ÉTABLISSEMENT

ds', ds et ds" les éléments de chacune des trois courbes précédentes, compris entre la normale à l'extrados et une autre normale menée par le point infiniment voisin , dont x -4- dx, y -H dy sont les coordonnées;

e l’épaisseur de la voûte au point (a^Vy), c’est-à-dire la partie de la normale comprise entre l’extrados et fintrados réel;

c l’épaisseur fictive , ou la partie de la normale comprise entre l’extrados et l’intrados fictif;

S la distance qui sépare le milieu de fépaisscur réelle du voussoir de la position de son centre de gravité, de sorte qu’on ait la relation - e — 5 = - e;

p\ P et p" les rayons de courbure des trois courbes en leurs points situés sur la meme normale;

dp le poids du voussoir infiniment petit, compris entre les deux normales infiniment voisines;

rs le poids de fiinité de volume de la matière des voussoirs; N' la pression normale exercée sur l’extrados, par unité de surface, au point (•«'./);

T la résultante des pressions exercées perpendicidaircmcnt au premier joint de la partie de voûte considérée, par les parties extérieures de la construction;

T, la résultante des pressions exercées perpendiculairement au dernier plan de joint, par la voûte elle-même, sur les parties de la construction avec lesquelles elle est en contact : à cause de la réaction égale et contraire à faction, T, exprimera en meme temps l’intensité de la réaction reçue par le dernier voussoir; le sens de cette réaction sera contraire à celui de T,;

t et les pressions par unité de surface correspondantes à T et T,; - 1 I

P la hauteur variable d’une colonne prismatique de la matière des voussoirs, dont le poids produirait, sur une base horizontale, la pression t par unité de surface, d’où tBit, = t;

fx, la hauteur de la colonne correspondante à t,, de sorte que l'on ait ® fl, = L;

i le rapport de -la densité des matériaux qui composent la charge de la voûte à celle des voiissoirs, de sorte que le p>oids de Tunité de volume des premiers soit iz3.

Les forces extérieures à l’arc de voûte sont :

I** La pression résultante T qui agit en im point (x, de ta courbe des centres de gravité, perpendiculairement à la normale à l’extrados ou parallèlement à la tangente à cette courbe, c'està-dire en faisant l’angle a avec l’axe de x; scs composantes suivant X et Y, sont respectivement T cosa, et T sina.

a° La pression T, agissant à l’autre extrémité de l’arc de voûte en un point de la courbe des centres de gravité, suivant

luie direction opposée à celle de la tangente à l’extrados, ou faisant avec l’axe des x l’angle 1 8 o® -I- «, ; de telle sorte que ses composantes suivant X et Y, sont — T, cosat^ et — T, sina,.

3° IjCS divers poids dP des voussoirs, dont les points d’application appartiennent à la courbe des centres de gravité : leurs composantes .suivant X et Y, sont zéro et dP.

4" La pression exercée normalement sur chacun des voussoirs élémentaires avec l’intensité N' par unité de surface. Or, la profondeur de la voûte parallèlement à l’axe étant X, la sùrface élémentaire de l’extrados est Xdr', d'où résulte N'Xd/ pour la valeur de l'action exercée sur un voussoir élémentaire. On la supposera dirigée vers le centre de courbure. (S’il en était autrement, comme cela pourrait avoir lieu, dans le cas d’arches complètement submergées ou destinées à recouvrir des conduites souterraines, le signe de N' pourrait être changé.) Les coordonnées des points d’application de cette force sont celles x et y de l’extrados. On obtiendra ses composantes, en observant que la normale fait avec l’axe des x, l’angle 9 , 0 '’ -I- a, et avec l’axe des y l’angle a, dont les cosinus sont respectivement — sina et-l-cosa; les composantes de cette Ibrce sont donc; .

suivant X, — N'X(/r'sina= — KXdy; suivant Y', N'Xds' cosa = -I- N'Xdx'.

Si nous appliquons maintenant à la portion d'arc de voûte les si» équations d’équilibre d’un corps solide qui doivent égalcnieirt être satisfaites dans le cas d’un système de corps solides, nous remarquerons que toutes les forces agissant dans des plans parallèles, la somme des projections de ces forces sur un axe perpendiculaire à CCS plans est nécessairement nulle. L’une des éqtiali'ons dite de translation est ainsi naturellement satisfaite. Si , pour plus de simplicité, on .suppose X inliniment petit, ce qui réduit toutes les forces à être situées dans un môme plan, celui des xy, les directions des forces coupant les deux axes ou bien leur étant parallèles, les moments de rotation autour de ces axes .seront nécessairement nuis, et deux des équations dites de lutation seront également satisfaites : en sorte qu’il suilit d’écrii'e les équations qui expriment que les .sommes des projections des frSrces sur les axes X et Y sont nulles, et celle exprimant que la .somme des moments de ces forces autour d’un troisième axe perpendiculaire au plan des deiix premier», est également nulle.

Ces équations sont

— ■ T, cosa, -t- T cosa — jti'Xdy = o,

— T, sina, T sina -f- J'N'Xdx' — fdP — o,

— y, T, cosa, -H y T cosa — j'N'Xydy'

-f- X, T, sina, — r T sina — fWXxdi' — J xdP

Nous passerons facilement aux écpiations relatives à l’équilibre d’un voussoir élémentaire en réduisant dans les équations (a) les différences a, — a, à la dilTérenticlle di, r, — x, et y, — y à dx et rfy; les intégrales contenues dans les mêmes équations se réduiront à- un de leurs éléments, et les différences de déux termes composés de même en a, x, y, T, et a„ j„ y„ 1 „ se réduiront aux différentielles de ces termes. De cette manière, les équations différentielles du problème seront

— d.T cosa — = o,

— d.T sina -I- N'Xdx' -t- dP = o;

— d.jT cosa-f-d.a:T siu» — N'X (y'dy-f-x'dz') — xdP== o. (c)

Nous allons changer la forme des deux premiers termes de la dernière de ces équations, en. effectuant comme il suit les différentiations indiquées :

d.j' T cosa =^d.T cosa T cosa dj-, d.xT sinaf = xd.T sina-+-T sinadi.

Au moyen de ces relations, et en observant que l’on a cosa = sina = nous pourrons mettre l'équation (c) sous la forme •

— yd.T cosa-t-*d.T sin* — T ^ dxj

— N'X (y'dy x'dx') — xdP = O.

Or nous pouvons simplifier cette équation au moyen des équations [b); multiplions la première de celles-ci par y et la devxième par X, puis retranchons, il viendra

— y d.Tcos® -+- *d.T sina — N'X{ydy' H- xdx') — xdP t= o.

De cette équation et de la précédente on déduit

mais, comme les points (x, y) et (x', y') sont situés siu- la même norfnale à l'extrados, les coordonnées x ety satisfont à l’équation de cette normale, qui peut se mettre sous la forme

(y — y) -I- {•*' — x) dx'= o,

SUR L’ÉTABLISSEMENT et l’équation dont nous nous occupons se réduit à

en supprimant le facteur T, qui ne peut être nul : on en tire

dx iLf

Ainsi l'équation (c) indique qtie la tangente à la courbe des centres de gravité doit être parallèle à la tangente à l’extrados.

Exprimons analytiquement la condition fournie par l'équation (d) : pour cela nous observerons que les différènees des coordonnée.^ des points de l'extrados et de la courbe des centres de gravité situes sur la même normale, ne sont autre chose que les projections sur les directions de ces coordonnées, de la distance e qui sépare le centre de gravité de l’extrados; bous aurons donc les relations

T — X = e sin»,

y — y' = cos»; d’où, en dilTérentiant,

dx = dx' e cos» d» sin» de,

dy = dy — -^e'sin» d» -f-^cos» de.

Mettant ces valeurs de dx et dy dans l'équation (dj, celle-ci devient

e ^cos» — sin» d« j ^cos» ^-|-sin» de = o.

Or le facteur de d» se réduit à zéro, et celui de de à à cause de ^ = sin», et ^ = cos»; il en résulte •

as as

, ■ de — O,

ou, en intégrant,

DES ARCHBS'dE pont.

' c = constante.

Telle est la condition exprimée finalement par l’équation des moments ('); nous en déduirons immédiatement une relation entre l'épaisseur variable s et la quantité S qui sépare le point mibeu de l'épaisseur du voussoir de son centre de gravité; cette relation indiquée plus haut est ‘ .

d’où

équation qui lixera la valeur de e quand celle’ de S aura été déterminée, et dans laquelle il est bien entendu que e désigne désormais une constante.

Les équations du problème se trouvent actuellement réduites au système des équations (6) et (e). Toutefois, dans le but de simplifier l’intégration des premières, nous allons former avec celles-ci un système de deux nouvelles équations propres à les remplacer, et que nous emploierons par la suite avec les équations (6). Écrivons ces équations sous la forme

rf.Tcôsa = — N'Xsinads'’ d.T sina — -q- N X cosa ds' -+- dP.

(*) U eût été faeite d'établir a priori cette condition, en.ofaaervant <{ue let plana de joint (ont normaiu i l'eitradq^, et que la courbe dei centre* 4e gravité e*t per- |>emltculaire aux plans de joint, ce qui établit le parallélisme de cette courbe et de l'extrados, et entraîne comme condition la constance delà quantité | e. De cette manière, le* quatre forces qui sollicitent le voussoir élémentaire passent par un même point, le centre de gravité, et l'équation des moments est naturellement salislaite. L'on eut pu ainsi poser immédiatement les équations (i) tans poster par les équations (a). Abis il nous à paru convenable de suivre, autant que possible, une méthode uniforme.

Multiplions, d’une part, la première par cos*, 'la deuxième par sina, et ajoutons; puis, d’autre part, multiplions la première par sin* et la deuxième par cos*, et retranchons : nous aurons

cos* d.T côs* -I- sin* d.T sina = sin* dP,

'cos* d.T sin* —.sin* d.T cos* == cos* dP -f- N'Ad*';

la dilTérentiation donne d'ailleurs

d.T cos* = cos* dT — Tsinad*, d.T sin* := sin* dT -l- T cos* d*.

Pour former avec ces valeurs celles des premiers membres des équations précédentes, ilsuffit de multiplier la première par cos*, la deuxième par sin*, et d’.ajouter; puis ensuite de multiplier la première par sin*, la deuxième par cos*, et de retrancher; on obtient ainsi immédiatiement

dT = sin* dP,

Td« = cos* dP -H N' Adi'.

Telles sont les combinaisons nous nous propomons. d’obtenir. On pourrait former immédiatement ces équations en égalant à zéro les sommes des projections des forces qui sollicitent un voussolr, sur deux axes, l’un tangent à l'extrados, l'autre normal à cette courbe. Il faudrait seulement faire attention à ce que, si l’on prend pour l’un des axes la normale menée par l’une des extrémités de l’élément ds', la projection de T sur la partie de cet axe dirigée vers le centre de courbure est nulle , et la projection de la force (T -h dT) sur la même partie s'obtient en mul-, tipliant par cos(90" da) ou — sind*; la composante a dès lors pour expression — Td*, en négligeant les iniiniraent petits des ordres supérieurs. Les autres composantes s’obtiendraient sans difficulté.

6. Nous allons niaiiiteDant nous occuper de déterminer la position des centres de gravité et le poids d’im voussoir élémentaire.

Considérons le voussoir compris entre deux plans normaux infiniment voisins, faisant entre eux l'angle da des deux tangentes consécutives : décomposons la surface base du voussoir en tranche.*, infiniment minces au moyen d'arcs de cercle de rayons variables r, décrits du centre de courbure; soit dr la largeur d’une de ces tranches, sa surface sera rdadr, et, -si nous prenons les moments par rapport à une droite située dans le plan de la base,' et pa.ssant par le centre, de courbiu'e,, le moment élénrcptalre de la tranche aura pour expression r'dadr. En se rappelant (|ue p' désigne le rayon de' courbure de l'extrados, on aura, pour expression de la somme des moments élémentaires,

5 [p’ — tP'* — e)’]da,

ou eu réduisant.

Soit d’une autre pari dS la surface, l>a«e du voussoir éléuMutaire, son expression est “ ii.uiii.n , ■ ,n .i.^ ..i, i< ..t

dS = </» rdr=-[p'’ — (p' — - e)*] da = ep' da-.

celle de la distance du centre de gravité au centre de courbure est d’ailleurs p' — ^ - e — ^ il s’ensuit que le moment de la surface est

Egalant maintenant la somme des moments au moment de la somme, on aura, en supprimant les facteurs communs.

on en tirera ensuite, en développant, réduisant et résolvant, la valeur suivante.

(*) Pour ceux des lecteurs' qoi connailraient nos articles sur les voûtes insère» dans U lietiu tU t'Archiioclurê, nous allons montrer que l exprosnioa clé ^ donnée dans le premier article s'accorda exactement avec celle que nous venons de Irouver, malgré la diiTércnce de forme que présentent les deux expressions.

lii valeutr de 9 obtenue dans ce Hecueil a été tirée de réijnatron • ' * '

ir —

qui donne . m - • . *i .» . |

dou

(p— (p— pi— — -«'•

Or la courbe des centres de gravité ta'étaH point assujettie -é être parallèle à l'extrados. Si nous joignons cette condition qui revient à , ,

La quantité ^ étant toujours une petite fraction, on est en droit de développer le deuxième membre de l’équation précédente, .suivant les puisswices de cette quantité^ ce (jui donne

e n P’ \ ■ P if' f.

mais, pai* la suite, nous nous contenterons d'avoir égard aux

termes du premier et du deuxième ordrf de petitesse, en regardartt

le rapport A comme étant du premier, ce qui réduira la valeur

de — à P

IJ p'*’

et nous dirons que cette quantité est du deuxième ordre. Quant au poids du voussoir, son expression sera

dP

— tsXdS = xsXep'

ou bien

dP:

: taXs ^1 — ds'.

Cette expression et la précédente [ÿ) ont lieu indépendamment de toute condition tirée des équations de l’équilibre; nous allons

d'oit

r«xpressiou préc^enie deviendra

Or cette relation ât identique avec celle que nous venons d'obtenir dans le m^oire actuel.

SUR L'ÉTABLISSEMENT les combiner avec l'équation (e), de manière à en déduire de nouvelles valeurs qui satisfassent à cette équation. Substituons dans l'équation [g) la valeur (e) de e bornée à son premier terme, puisque nous négligeons les termes d’ordre supérieof au deuxième; il viendra d'abord

puis ensuite, meltani celte valeur dans l’équation (c), on aura

Pour foniier à\ec aette valeur celle de dP, on peut remplacer par e l’e qui entre dans la parenthèse du deuxième membre, car cette parenthèse étant multipliée par-s en dehors, il n'en résultera qu’une erreur du troisième ordre : on aura ainsi

puis,' en cfl'cctuant le produit des parenthèses, et y négligeant les termes du deuxième ordre, de manière à ne négliger finalement que ceux du troisième,

dP=:x!r>e|i — • U)

dp

Maintenant, les valeurs de e et de — ne se trouvent dépendre i|ue du rayon de courbure.

Il reste à substituer cette valeur de dP dans les équations (b) et [f)\ nous allons le faire, et en même temps y remplacer la résultante T par son expression Aejx®,*dans laquelle Xc est l’étendue de la surface du joint, et g. la hauteur du prisme dont le poids produirait la pression T sur la surface Xe, si elle était horizontale. Disons, en passant, que l’usage de la hauteur fi est ici le même que celui des hauteurs manométriques dans la mécanique

DES AACHBS DE PONT - âV

des fluides; il a, comme ces demièies, l’avaatsi^ de rendre plus saisissable . pour l’esprit l’intensité des pressions, que tel ou tel nond>re de kilogrammes par mètre carré : il sert, d’un autre côté, à ‘mettre en évidence l'iiomogénéité des differents tennes des équations, de telle soite qu'il n'y entre plus que des lignes et des rapports numériques. Ces considérations nous ont décidé à remplacer partodt les pressions par unité de surface, au moyen des hauteurs qui les représentent; les premières, que nous avons désignées par t. sont d’ailleurs liées à celles-ci par la raladon

Nous écrirons donc

T = ■aXefJL, dT = vsXedfi.

Ces valeurs et celle (j) de dP étant portées dans les équations [b) et (/), on aura, en divisant ensuite par isXe,

d.ft cos* = — ^ dy,

d.fü sin* = -4- dx' H- — 5 '^)

dft=^i — sin* di',

fxdec = (• — 3 A j «os* di' -H- ^ ds.

Les deux premières de ces équations ne peuvent être intégrées sans que l’on .se donne l’expression de la variable N' en fonction de Tune des coordonnées; les deux dernières, au contraire, quoiqu’elles n’èn soient que des combinaisons, conduisent facilement aux valeurs de fi et du rayon de courbure p', quel que soit N'.

En effet, à cause d<^ sia*ds' = dy' et — —da, on peut mettre la troisième équation (1) sous la forme

^ ^ dp 5= dy' j e sin* da;

SUR L'ÉTABLISSEMENT or cette équation s'intégre irtunédiatement, et si l’on désigne par ^ et A les valeurs de p. et y qui ont lieu pour a = o . on aura . en intégrant à partir de ces limites,

ft — y — A — 5 ® ( ' — cos«). (;«)

D’autre part, substituons la valeur de fx tirée de ce^te cquatiou, ilans la dernière 'équation [l) divisée i>ar da, et observons que

dt‘ , ^ -

— =r P BOUS aurons

fl, -+-j' — A — ^e(i — cos«) = ^ p' — '-e^ cosa -t- ^ f>'; tirant ensuite la valeur de p', il viendra

y ~ h — - » ( I — » CM*)

p'=e jjp . (n)

— f CO*«

Les équations (m) et (n) sont équivalentes aux deux premières équations (/), et pour pouvoir faire usage des unes et des autres, il devient indispensable de préciser la valeur de N' en fonction des coordonnées ; c’est ce que nous allons essayer de faire en examinant les diverses manières dont les charges que supporte la voûte peuvent agir sur les voussoirs.

' taDETERHIIflTION DE L'ACTIOE DES CHARGES Sl'R LES REINS DES VofTIiS DANS LES ARCHES DE rOKT-

7. Nous ne nous occuperons point dans ce Mémoire des arches dans lesquelles les plans de joint s'étendent Jusqu’au plan horizontal langent à l’extrados. Dans les autres cas, on distinguera l'action exercée sur la voûte par la construction en assises horizontales qui forme les parements extérieui-s, et celle que produit la masse, plus Ou moins irrégulièrement disposée , des matériaux ipii remplissent l'espace intermédiaire. * ■ - ■ •

La disposition irrégulière des matériaux d’un massif formé par un blocage de maçonnerie ou composé de parties semi-fluide.s.

t«i qu’un mw o lf de terre ou de béton, rend tout A fait impossible la détermination de leur action sur la voûte, ^out ce que l'on pourrait faire de mieux à cet- égard serait de recourir au calcul des probabilités pour découvrir le mode d’action le |dus probable de cette partie du massif.

Nous allons voir que la disposition presque régulière de la construction par assises horizontales présente autant de difficultés.

I..a répartition de la charge sur les différents voussoirs dépend , dans ce cas, de la pose des assises horizontales dont les extrémités s’appuient sûr les reins de la voûte, et des tassements qui se produisent pendant la construction et après le décintrement. Les effets qui se produisent pendant la pose, et le tassement, dépendent essentiellement du soin qu’apportent les ouvriers pendant la construction, et de la nature des lûatériaux employés : de lé naît l’impossibilité de tenir compte, dans le calcul, de circonstances si variables et si difficiles à apprécier. C’est à -cette variation que tient d’indétermination des actions exercées par les assi.ses horizontales sur les voussoirs des plans de tète. Pour bien nous rendre compte des efl'ets de la pose des assises horizontales, il nous suilira. d'examiner les cas extrêmes qu’elle peut présenter.

Le plus souvent ,1 dans les coastructions de voûtes cbajgées, ies voussoirs des plans de tète ne .se terminent point vers l'extradôs par ime surface cylindrique ayaiU cette com-be pour directrice , mais bien par deux surlàces planes, l’une horizontale et passant par l'arète supérieure du* voussoir, l'autre verticale et passant par Tarét» inférieure située sur l’extrados. Au moyen de cette dispo- .sition-en gradins, on luel'de niveau les laces horizentales des voussoirs avec celle! de» assises de uia^nnerie qui forment les parements extérieurs de la constnictionv - ti nu *i j

Nous examinerons diverses circonstances de la pose des assises, -dans cette di.sposilion par rapport aux voussoirs. Il est facile de voir qne les face» verticales des assises peuvent être phi.s ou moins serrées, et même que la face verticale de contact d’une assise avec le voussoir peut, ne stqq>orter aucune pression, soit

.52 SUR L'ÉTARLISSEMENT •

pendant la poae, soit après que le tassement a «1^ ptinduit;< ce4a dépendra principalement de la -pose de l’aasise eonsidérée et de celle des assises voisines. 11 pourra donc y avoir un plus ou moins grand. nombre de vouasoirs dont les têtes ne recevront des assises

♦ iwj ^1-; -li.

-, ..a- i.'jjJ LSuqrti; la MiJi * • -‘ü'

fT»*i I»!»* I' 5U>’

■ ji '-Il r f

*’•- Itl* ' lui'

/ f ^ ,1; ^ -Wj *l^“ l^'l' 'il *f

^ » . . ■ r t ■ rr ff • Il . * ••»('•• •• !' -I ^ 1 *. •

. rTTTT P i

»*• . Il» 't iM- 'l'û *

adiaccMes aucune pression borisontale; de même que pour d'autres vouasoirs, ces pressions pourront aussi être plus ou moins' considérables. D'un autre cdté, la pressicm verticale qu’inse pierre appartenant à Une assise exercera sm- la face boricoMale de.la tête du voussoir oorsespottdant 4 l’assise iniérieure , dépendra de plusieurs circonstances, telles «pie l’exécution {dus ou moins parlaitc dés surfaces -de joint, et la longueur de far partie d« la pierre considérée^ engàgée entre les assbes aupérieure et inférieOre, du côté opposé à la tête du voussoir : oui conçoit encore une atéoutien ou une pose asscx imparfaites, pour que quelques-unes des fiices horizontales de joint communes à l'assise- et au voussoir haférieui* ne supportent aucune pression; de mèmè aussi, il pourra arriver qite ces pressions soient très-grandes, comme da!ts le cas où la pierre dont il s’agit aurait une plus grande épaisseur vers' la tète du voussoir que vers le côté opposé (’). il est peitnis encore de se

(*) AjtDt bien aaUi ces ikarlicuUrités, on s’expliquera aisément les rupUires>que présentent prfois les voussoirs dans une direction perpendiculaire à celle des plan.v de Joinl« et vers le tiers ou la moitié de" Itur longueur a partir de Thitnidos Lorsque les résoltantas des presaonsnanr les plans de ’ joioi des voussoir peinent

repré»ent«r un cas dans lequel les pressions horizontale.s et verticales transmises par les assises aux tètes des voussoirs seraient nuUes en même temps : ce serait celui où le système des assises horizontales -se tiendrait de lui-roéme en équilibre, comme dans les «onstruciion.s égyptiaaaes; 1a voûte serait simplement touchée, SMS être pressée par ces assises, et ne serait d’aucune utilité dans la conatniction , de teAe sorte qu^on pourrait la supprimer, et qu’elle devrait -ée tenir en équdibre cTeAc-mcme si l'on voulait la conserver.. • <

Ue ceiqoi précède, il &nt conclure qu’il est impossible d’assigner aucune valeur déterminée aux composantes horizontale el verticale de l’action exercée par les parties du massif sur chaque voussoir; il est donc également impossible de les soumettre à aucun calcul précis. Nous serons obligé, pour lever la difficulté tjui résulte de cette indétemiinalion, de procéder à l'égard du massif comme nous l’avons faippour la vdûte; nous lui suhstitucroDs une disposition idéale donnant lieu à des pressions nomiales ilétemiinées : il y aura ensuite k examiner s’il est convenable de pa.sser, sans modifier le jeu des forces, du système idéal dont il s’agit, à telle disposition des matériaux que l’on se propo.sera de réaliser.

|ire5 de l’inlrados, let joints s*ouvrenl vers l'extrados, d'une quantilé plus ou inoin!> appréciable ii Vieil. Le voussoir est alors dans le cas d'un solide encastré vers Viine de- ses e<tréniflés‘, et soUidté « Vautre p«r une force non dirigée dans le sens de sa luogueMi’. CcUe force eai ici la réaaàtanle ém pression» boriaootolas et vertioalcii exercées par les assises contiguës; il y a possibilité de rupture dès que cette résul Uintc prend une direction oblique par rapport à la longueur du voussoir. La ruplure*V;nd à se pTtiduire le plus prés possible de U section d’encastrement ou de -la courbe dk bi vésultanle des psussions; et elle y est bcsiîlée. non-seulcsncnt perce que le moment de In forc^ qui produit la rupture va ea crousant vers ce point, tandis que le momsut des résistances k la rupture décroît avec la action du vou> soir, mais enedre parce que laeprcssion InUiîe exercée par les voussoirs adjacents se trouve concentrée <Un» le votsirmge \le cette section, el qu'il en résulte en res points une désagréfatinia Ha U inaüéce du TOuaooir, qui a’alt^d pour se naanilbater que le concours d’une nouvelle foreç. Ces considérations indiquent l'importance qu'il peut y avoir è assurer la direction normale de Vaction de la charge sur les vottaéoirx.'* • j • ' ‘ * •

SUR L'ÉTABLiSSEMKRT

MSPO»ITIO«( DE LA CHARGE KlTÉRtBl'RC O'ÜRE ARCHE, DOARAlrr LIEf ** ' • À DBS PRESSIONS NORIIALES DÉTERimiÉES. <> ' '

. • 1 . , 1 8. Dans le but <l'abréger les descriptions, disons comment on pourra passer de la disposition en gradins dont il a été qnesdon dans le numéro précédent, é la disposition idéale que nous nous proposons d’étudier. Supposons d’abord, dans la première, la division de la voûte en voussoirs eOectuée au moyen de pians normaux infiniment rapprochés : les deux faces de la tète de chaque

voussoir qui déterminent les gradins seront inBniment étroites'; imaginons actuellement qu’on sépare le corps £t la tète des voussoirs suivant la surface extrados, c'est-à-dire suivant la surface qui passe par les arêtes extérieures des plans de joint normaux; on aura isolé de chaque voussoir un prisme .triangulaire ayant pour l>ase un triangle rectangle de côtés infiniment petits, et dont l’hypoténuse répond à la face de contact de ce prisme et du voussoir. Substituons enfin aux assises horizontales de la. disposition ci-dessus, une série de prismes verticaux ayant pour hases les faces horizontales, des prismes triangulaires que nous venons de définir, et limités, dans le sens vertical , par un meme plan horizontal dont le niveau ne soit pas inférieur à celui du peint le plus

élevé de l'extrados. On obtiendra de cette manière une disposition dans laquelle chaque voussoir se trouve accompagné d'.iin prisme triangulaire et d’un prisme quadrangulaire, et telle que les actions exercées par le massif sur les voussoirs seront normales à rexU>ados et déterminées. ' •

En elTet, dans le système qtie nous examinons, la force qu'un voussoir reçoit du massif est fa pression normale exercée par la face du prisme triangulaire par laquelle il est en contact avec lui , en taisant toutefois abstraction, du frottement : mais on pourrait dire que cette fore» ne se développe pas, si l'on admettait que la bce hypoténuse et la face verticale du prisme triangulaire fussent en contact parfait au moment de la pose, l’une avec le voussoir, l'autre avec le prisme quadrangulaire adjacent; du moins, il n’aurait lien qu'en vertu de la compressibilité de la matière du prisme, qui lui permettrait de descendre un tant soit peu sous l’influence du poids du prisme superposé et du gUssement occasionné par l'inflexion de la voûte. Nous négligerons donc ici le frottement, cg qui revient à supposer normale l’action du prisme sur le voussoir. Déterminons maintenant l’intensité de cette action; pour cela, nous aurons à considérer l’équilibre du prisme triangulaire.

Afin de simplifier les notations , nous placerons l’axe des x dans le plan horizontal qui limite les prismes quadrangulaires à leur partie supérieure.

Les forces que reçoit le prisme triangulaire sont au nombre de quatre : ce sont les trois pressions exercées perpendiculairement sur ses trois faces longiliidiuales, et le poids de ce prisme; noirs devons faire alistraction de ce poids, qui est une force Infiniment petite du deuxième ordre à Cause des deux dimensions infiniment petites du prisme, et ne doit point, pour cette raison , figurer dans des équations entre les autres forces qui son^ inliniment petites du premier ordre, r-, .

Soit ds le coté hypoténuse de la base du prisme triangulaire, les côtés horizontal et vertical de cette base seront dx’ et t/y'; les étendues superficielles des faces correspondantes seront re^ecti-

vement Xd/, Xdx' et Xdy. N' désignant comme ci-dessus l’intensité de la pression normale par unité de surface , l'intensité de la pression exercée par le voussoir sur le prisme sera N'Xds'.'Ot comme cette force est dirigée du centre de courbure vers l’extrados, scs composantes horizontale et verticale seront N'Xds'sina et — N’Adi' co8«.

Soit H' la pression horizontale par unité de surface exercée par le prisme triangulaire sur la partie adjacente <lu massif, et que , réciproquement, celle-ci exeree sur la face verticale du précédent; la force exercée contre le prisme parla paiti» adjacente du massif sera H'Xdy, et dirigée vers les x négatif, la convexité de l’élément ds' étant supposée du côté des x positifs.

Enfin, la face horizontale du prisme trianguiairc reçoit une force verticale qui n'est autre chose que le poids du prisme quadrangulairc correspondant, ou ixsy'Xdx', en désignant par i le rapport de la densité du massif à celle de la voûte, de sorte que ivs représente le poids de l’unité de volume du massif, ainsi que nous l'avons dit plus haut.

Egalons à zéro les sommes des projections horizontales et verticales des forces qui sollicitent le prisme triangulaire; nous aurons

KXds' sina — IfXdy = o; — NXds' cosa -t - i-ayXdx o,

ou bien

V=ir,

ou encore

La pression normale N', par imité de surface se trouve ainsi déterminée; et de ce que cette pression et la pression 11' ont pouivaleur commune U i[uantité tiay', on en conclut que le mode de disposition des matériaux du massif dont nous nous occupons ici, donne lieu à la même distribution des pressions, que si le massif était un liquide de densité correspondante au poids its de l’unité de volume.

Nous aurions pu, comme plusieurs auteurs, partir immédiatement de riivpothèse de la fluidité; mais il nous a paru bon d’indiquer à quel mode . de disposition répond cette hypotbèec que nous allons adopter dans ce qui va suivre. Nous signalerons à ce sujet la tendance d’un bon -nombre d’ingénieiU'S à remplacer généralement la disposition en gradins des parements extérieurs par celle résultant d’un extradas continu, avec assises horizontales coupées obliquement en leur intersection avec l'extrados. Cette disposition de l’appareil des tètes peut donner lieu à des pression.s normales, mais leurs intensités restent indéterminées; il ne faudrait que séparer les prismes triangulaires, des assises horizontales, pour diminuer not.'iblement l’indétermination et se rapprocher de notre disposition idéale : si l’on avait à redouter la rupture de ces prismes en leurs angles aigus, on pourrait les construire d’une matière plus résistante, et même, dans certains cas, les rattacher aux pierres supérieures, c’est-à-dire les faire alors de la même pièce que celles-ci.

On dira peut-être que , si l’oi^applique aux appareils consistant en assises horizontales et voussoirs en gradins les formules relatives à l’équilibre du système formé de prismes disposés verticalement et reposant sur des prismes Uiangulaires détachés des voussoirs, ou celles relatives à l’hypothèse de la fluidité des matières du massif, on ne courra aucun risque relativement à la stabilité de la construction proposée, puisque celle-ci donne lieu à des liaisons résultant du croisement des pierres des assises horizontales , que ne présente pas la (bsposition du massif en prismes verticaux, et que, d’autre part, le passage de l’état fluide à l’état solide établit des liaisons favorables à la stabilité, et sur lesquelles on n'a pas compté. Nous n'invoquerons point ces raisonnements, qui sont plus spécieux qu’exacts, attendu que les liaisons établies dans la construction ont pour résultat précisément d’empêcher les charges de se répartir sur les reins de voûte, comme elles le feraient si ces baisons manquaient absolument, ou dans le cas de la fluidité.

Nous avons indiqué, dans la note du n° 7, la nécessité d’assu-

SUR L'ii^TABLISSEMENT rcr la direclion normale des pressions exercées par le massii'; nous croyons donc ne pouvoir mieux faire, et sur ce point nous sommes il'accord avec de savants ingénieurs, qu'en adoptant rLypothèse de la fluidité, et en engageant les constructeurs à se confonuer, dans l’apijareillage des parements extérieurs, aux conséquences de cette liypotlicse, par l’adoption de dispositions propres à la réaliser, ou é en choisir qui se rapprochent le plus possible de celle que nous avons décrite, et que nous allons soumettre au calcul.

ArpLlCATIOS DES FOlUtULES DE L'ÉQeiLIBEE AO CAS OC LES PRESSIOIU HOHIIALES EXTBIIIBI'RES MX VOOSSOIBS SOHT FROPORTIONNELLXS k LA HAOTEWa DE LA CUAÉkE QCI S'ELEVE AO-DBSSVS DE CECX-CI.

9. Nous partirons de la valeur de N' obtenue dans fe numéro précédent, et qui donne

En substituant celte valeur dans le!S deux premières équations (/), on a ■

• d.(xcosa = — ^ '

d.fx sina = ^ dx' -I- \ - ’

Quant à l'équation (m), elle reste la même.

et l'écpiatlon (n) devient

A — r e( 1 — cosa).

r. ^-y — * *- - » ( 1 — » co»«) iy * CO» s

ip)

Cette expression du rayon de courbure de l'extrados olire un moyen très-simple de construire cette courfre : nous reviendrons

sy

plus tard sur ce sujet. Nous allons maintensuit nous occuper de l'intégration des équations difTérenliclles ci-ilessus, ou mieux de la première d’entre elles, comme plus simple, ce qui suffira, puisque la valeur de (t résulte d’une Intégration effectuée précédemment.

On obtient immédiatement, en intégrant la première de ces équations, k partir des limites (jl,, i et A relatives à (i, cosa et y,

F. — F cosa = ^ (/• — /(•):

pour éliminer (jl, multipllon.s par cosa l’équation qui donne la valeur de (x — fi,, et ajoutons membre à membre avec celle-ci; il viendra

(i, (i— cosa)=;:(y— A)coso.— ^e(i — cosa)cosa A*), (ç)

Kn exprimant dans celle équation cosa en fonction de tanga dont la valeur est^, on aurait l’équation diiférentielle de la courbe extrados, qui semble présenter, pour l’intégration, plus de facilité que réquatiorndiflerentielle de l'Intrados; naais il convient mieux d'obtenir l'équation de l’intrados ('), et dans ce but nous ne nous laisserons point arrêter par des difficultés qui sont plutôt apparentes que réelles.

* Pour passer de l’équation (c/] k celle relative k l'intrados, il suffit de remplacer y par sa valeur en fonction de en effet, cosa conserve la même valeur pour les points des trois courbes situés sur une même normale à l'extrados, ces courbes étant parallèles en vertu de la constance de j-c. Or les coordonnées y et y’ ne diffèrent que d’une quantité égale à la projection verticale de e; on' a donc - * •

y' = y' — f cosa:

('} Nous voulons parler ici de VmfraJos que nous dêaignerons simplciuenl par la dénoutoslion d"intrado9, à moins que nous ne prévenions du contraire.

nous déduirons de cette équation la valeur initiale de y", en fai-

sant à la fois y = h et a = o ; soit h" cette valeur de y’, il vieüt

équation qui, combinée avec la précédente par voie d’addition et de soustraction, donne

y h = y’ -y- h“ — e (i -|- cosa), y — h =\r* — A" -4- e (i — cosa);

multipliant celles-ci membre à membre, il vient

t’* — A* = y"' — h"' — 2 c (je* cosa — h') — c’ ( i — cos’a) ;

substituant, enfin , cette valeur et la précédente dans l’équation [q), nous aurons

fx, (i — cosa) r= [y' — h") cosa | c (i — cosa) cosa

-4- ^ (j’* — h"') — : i (/ cosa — A') — (i — cos'a).

C’est ici lÿ lieu de remarquer que si l’on considère la quantité e comme étant du premier ordre de petitesse par rapport aux rayons de courbure, ou aux coordonnées que l’on suppose de même ordre, la quantité p, est du premier ordre de grandeur par rapport h ces dernières*: en efTet, le deuxième membre de celle équation ne contient que deux termes ayant e en dénominateur, et qui sont pour cela du premier ordre de grandeim, réunis sous la forme — {y’' — A’’); la différence de ces termes reste en général

d’un ordre de grandeur supérieur à celui des coordonnées , puisque le facteur de cette différence y’ — A' est en général d’un ordre de grandeur plus élevé que e : il faut donc que le deiixiètiie membre, et par suite le premier, soient du premier ordre de grandeur, généralement. On observera que si, vers le sommet de

l’intrados, y' — A’ devient très-petit et même oui, le facteur 1 — cos a devient nul en même temps, et l’ordre de p, reste indéterminé vers le sommet , d’après l’équation précédente ; mais l’e*pression (p) de p' montre que le produit de e par p, est constamment égal au produit de quantités de l'ordre des coordonnées. Nous sommes donc autorisé à regarder p, comme étant du premier ordre de grandeur.

Posons, pour abréger et simplifier les discussions.

la (juantité y sera, d'après ce qui vient d’èhe dit, de l’ordre de grandeur des coordonnées et des rayons de courbure. .Multiplions l’équation ci-dessus par — Ou par sa valeur 4^, il viendra

^(/cos«-A')

cos a) cos a — cos’ a).

(ictie équation est du deuxième degi-é par rapport à cosa; mais observons que cos’a n’affecte que des termes du deuxième ordre, de sorte que si, comme nous sommes convenu de le faire, nous négligeons cem du troisième, il suffira ici d'y substituer A cosa

et à I — cosa, leurs valeurs obtenues en négligeant ceux du pre-

y'*—- fc"*

mier. Or la valeur de i — cosa est aux termes prè.s du

premier ordre, d’après l'équalion précédente; d’où résulte pour

la valeur de cosa, au même degré d’approximation, i — ‘ — ;

nous pourrons donc, en ne uégbgeaut que les termes du troisième ordre, mettre le troisième terme du second membre sous la l'ornïe

îTf

■ — — cosa.

et écrire le dernier terme de ce membre ainsi qu’il suit :

• I — • — ; — ) cosa.

.Vu moyen de ces valeurs, l’équation précédente deviendra

,cosa=-^ H

ir''r''—k‘' «• ,• ^ —

on en déduit

ou bien en ajoutant et retranchant ” h’ dans la parenthèse du premier membre, et tirant la valeur de cosa,

cosa :

ctif— c) j« f* M \y''—k-'

Telle est l’équation dKTérenticlle do l’intrados qu’il reste à intégrer, en y supposant cosa exprimé en fonction de tanga ou de

• 10. .\vanl de procéder h l’intégration de cette équation, nous aurons à exprimer les quantités p et p", puis ensuite e ou S, en fonction des ordonnées de l’intrados.

L’équation (m) donne immédiatement, au moyen de la valeur ci-dessus de y' — h,

(X — (k,=/ — ^ — cos*);

et. si l’on observé que e est du deuxième ordre par rapport à ft.

DES ARCItES DE PONT. 45

on aura une expression de ft exacte justpie dans les ternies du deuxième ordre relativement à cette quantité, en mettant à la place du facteur i — cosa la valeur obtenue plus haut en négligeant les termes du premier ordre; le dernier terme du second

membre de l’équation précédente pourra s'écrire - e - — ; — . ou, en vertu de féquation (s), (y'* — /i'*) : il vient donc

fx — — é' -t- (/■ — A'*). (r)

Quant à l’expression du rayon de courbure, observons qu'en vertu du parallélisme des trois courbes, on a

substituant cette valeur et celle de y' dans l'équation (p) dont nous chasserons les dénominateurs, nous aiurons

(p'-t-e) — i)ecosa] = efi,-f-e{y" — e*(i — cosa)

— j e’ (i — a cosa);

divisant tout par i, et ayant égard à la relation ( 5 ), puis effectuant les réductions qui se présentent, il viendra d’abord

p’ ^y' -f- e cosaj ey’ -+- c'eosa = y -t- ^ (y' — A')

T — (t — cosa) — e' cosa,

puis ensuite

p' (y' H- ^ c cosa) = 1 ç- — «A' -h j y -h ^ e (y* — A')

et enfin

4<i Sl!R L'ÉTABLISSEMENT

Nous reviendrons plus loin sur celle expression du rayon de rourbure, et nous indiquerons le parti qu’on en peut tirer pour substituer à l'eiuploi de i’intégralc de {'équation (u), celui des constinclions graphiques. Actuellement, nous nous bornerons à opérer la vérilication de celle expression, en observant qu’on doit pouvoir la tirer de l'équation (u) par la difl'érenlialiun.

En cflel, diflérenlions cette équation en y faisant préalablement disparaître le dénominateur du deuxième membre, il viendra