cos a

Or, ou a liy' = sina ds = p’ sina da; substituant cette dernière valeur à la place de dy", et supprimant ensuite le facteur commun sina da, on aura

J , r , I — 1 t' fi y ■) tfh' r'

-.P [y -H — ecosa-+-y(--*]'-cosaJ=. -4--

.Nous pouvons mettre dans le dernier terme du second nombre

au lieu de - — - — , la quantité i — cosa, d’après ce qui a été dit ci-dessus; puis, en transposant le dernier terme de la parenthèse du premier membre, et multipliant par q', nous aurons

a p’ j^y' -I- e cosa j = 9 ’ — 2 cA'-+-e’-t- * c (y ’ — A”)

') (i- cosa) --^(5-.)

Or le dernier terme du second membre étant du deuxième

orflri!, on peut mcUre à la place de p", sa valeur obtenue en négligeant IcstcmieSdu premier, et l‘é(juation donne ici -xp’ y' =q\ en négligeant ces tenues; il en résulte que le dernier se réduit 4 — ^ (5 — ') cosa, et, par suite, la soiniiie des deux derniers 4

%■ — ÎL — I j cos a. Mettant ces valeurs, achevant

la réduction des termes en e”, puis tirant la valeur de p', il vient

a* — 1 fh ^ J

valeur identique avec celle obtenue précédemment.

Nous pouvons déjà remarquer. que, dans l’h^'pothèse 1= 1, cette expression devient plus simple que celle (p) du rayon de courbure de l'extrados. On pourra encore observer que, dans la même hypothèse, le second membre de l'équation (o) ne contient que des pui.ssances paires de y", d'où il est facile de conclure que la courbe qu’elle représente devient alors symétrique par rapport à l'axe des x. Le numérateur de la valeur de p’ conserve le même .signe pour des valeurs égales et de signe contraire de y", tandis que le dénominateur change de signe. Le rayon de courbure prend alors des valeurs égales et de signe contraire, comme cela doit être, puisque les courbures en deux points symétriquement placés par rapport à l’axe des x sont néces-sairement de sens contraires.

Actuellement la détermination de la distance S du centre de gravité au milieu de l’épaisseur du voussoir devient très-simple: en effet, nous déduisons de l’équation (A)

on peut substituer ici p' à la place de p', puisque leur différence est égale à e, et qu’il n’on peut résulter qu’une erreur du troisième ordre que nous négligeons; de plus, on peut à p* subsii-

tuer sa valeur, en y négligeant les termes du premier ordre, la-

f|uelle se réduit à — alors il vient simplement

en ayant égai'd à la relation (s).

L’expression (/) de l’épaisseur variable e se change de même en

Dans le système que nous considérons, les épaisseurs croissent donc proportionnellement aux ordonnées de l’intrados, et la constante e est l’épaisseur qui aurait lieu au point où l’intrados couperait l’axe des X si cette intersection était possible.

CETRi.orrKvrsT iik c’Éor.xTios mFFF.ar.NTiF.i.LF. de imstrxdos.

1 1 . Nous avons à former l’expression du coefficient dill'érentiel dont la valeur en fonction de cosa est

(is

àz

on a d’abord, en renversant les deux membres de fé(|ualion (u),

^ ^ a(i — ,), (/ — A') ^ ,n . W'tx'* — *'•)

y * — fc • -I- f (ï A* — f) ’

devant au carré les deux membres de cette équation, retranchant l'imité, et réduisant ensuite au même dénominateur, on aura, en supprimant les termes qui se détruisent, et négligeant ceux du troisième ordre.

i(‘— ■) « (/— n 4tA' (y — r*)

8 8{.-.) <•*•(/-*') . 4(.-i)* «'(/-ATI

Multipliant haut et bas par q' et mettant le facteur commun y* — h’ en évidence, si, de plus, on pose

R’ = (/ — I’) j [ 3 7 ’ —.(.y'* — /i'*) j (j'' -f- II’) -f- 4 ^ cq‘ -4e4'(/-»-A')-+-^e'(y'-+-r)

l'équation précédente deviendra

dy’’ R'

et l'on on tirera

dx =dz î ^ dy. (a)

Telle est l'équation qu’il reste à intégrer.

On sait que l'intégration d'une expression de cette espèce, dans laquelle R’ est un polynôme du quatrième degré en y', consiste dans la réduction aux fonction.! elliptiques. Sous la forme (a'), l'intégration n’est pas même ramenée aux quadratures, à cause de la valeur infinie que prend le coefficient de dy', quand y' est égalé A',, et c’est le cas qui se présente pour le premier élément de l’intégrale. Or la réduction aux fonctions elliptiques exige la décomposition du polynôme R’ en facteurs du premier degré, et cette décomposition nous présentera une - circonstance favorable à'ia

/l8 Süll L'ÉTABLISSF.MENT

réduction de l’intégrale aux quadratures; nous commencerons donc par opérer la décomposition du polynôme R’ en ses facteurs du premier degré.

IIKCOMPOSITION DC POLVKÔNF. H* ES SES EACIECHS l)L’ PREHIEH UEGKE.

UMITF..S DE LA COCRDE ISTEADOS DASS LE SERS DES r. .

12. La question dont il s’agit se résout ordinairement par la détermination des racines du polynôme R* égalé à zéro. Dans le cas actuel, l’un des facteurs y' — h' est déjà connu, et il ne resterait plus qu’à résouilre une équation du troisième degré; mais la forme des racines étant trop compliquée, lorsqu’on fait usage de la formule de Cardan, pour que nous songions à appliquer cette domicrc, et l’exactitude rigoureuse de la valeur des racines n’étant point nécessaire ici, puisque la valeur du polynôme n’e.st exacte que jusqu’aux termes du deuxième ordre inclusivement, nous devrons recourir à un autre procédé, celui de la réduction des racines en séries ordonnées suivant les puissances de e, dans lesquelles nous négligerons les termes d’ordres supérieurs au second.

Nous commencerons par déterminer les parties de chacun des facteurs du polynôme du troisième degré , qui sont indépendantes des tenues du premier et du second ordre : pour cela nous rechercherons les facteius du polynôme en faisant abstraction de ces termes, dont la suppression le réduit à

{y'-i-in [a /,'•)].

L’un des facteurs du premier degré est en évidence; en égalant à zéro l’autre facteur, il vient

Posons

Ii9

on tirera de l'équation précédente.

de sorte que les deux facteurs cherchés seront H y’ et 11 — y“ (nou^ changeons ici le signe de la différence y’ — II à cause du signe — qui affecte y"' dans le facteur du deuxième degré). Le produit des trois facteurs, en négligeant les termes du premier et du deuxième ordre, est donc

Désignons maintenant par ’a.'c, |S'c, y'e les tenues du premier ordre i[ui doivent-entr'er dans la composition des facteius que nous nous proposons de déterminer, de telle, sorte que le produit de ces facteurs soit, à des termes près du deuxième ordre,

il s’agit de déterminer les valeurs de a', et y' de manière que les termes du premier ordre provenant du produit de ces facteurs .soient identiques avec ceux qui font partie du polynôme proposé, quel que soit y". Qnant aux termes de l’ordre de y’, il n’y a point à s’en occuper, puisqu'ils sont nécessairement identiques avec ceux du polynôme , en vertu de la décomposition que nous venons d’effectuer. Fonnons donc l'expression des termes du premier ordre (jue peut fournir le produit des facteurs ci-dessus : on aperçoit immédiatement que ces termes ne peuvent provenir que du produit du terme du premier ordre de chacun des facteurs, par le produit des termes des deux autres facteurs qui sont de l'ordre de y’. On a de la sorte, pour les termes dont il s’agit,

*'« (H-4^') (H — y')-i-^e {y’-hh’] (Il — /) -t-y'e (y'H-é’) (H- i /).

' Or la somme de ces termes devant être égale, pour toute valeur de y’, à la somme des termes du premier ordre qui entrent dans la composition du polynôme du troisième degré, laquelle est

4^ev>- 4eA'(y'-t-A').

nous allons égaler les coefficients des mêmes puissances de y‘ dans ces deux sommes, et en faisant abstraction du facteur commun e, nous aurons les trois équations de condition

a' H* - H (^' H- /) Il A' = 4 Illi 4 h'\

La dernière de ces équations donne

substituant cette valeur dans la première et midtipliant la seconda par A”, il vient

((3' y') HA' ((S- — y') H' = 4 ^ r — 4 A'*.

(^' -h y') HA' — {^' — y') A'- = — 4 A'*; puis en soustrayant,

-((3'-y’)(H'-A-) = 4^9'; mais on a (A')

il en rcsidte

jy — y = a

et, en substituant cette valeur dans la deuxième des équations de condition,

(^'-|-y')H-(-a tl^h’ = —àh\ ou

on en tire

En ayant égard à là valeur ci-des.sus de a en (3' et y', puis se servant des expressions de la différence et de la somme de ces deux dernières quantités que nous venons de trouver, on formera les valeurs suivantes:

Acluellcmenl, désignons les termes du deuxième ordre respectivement par *"c*, ^’e', y'e', de sorte que le produit des trois facteurs soit

(H-4-y'-4-j3' (H — y'-hy'e-f-y'e’); nous aurons simplement à identifier les termes du deuxième ordre fournis par ce produit, avec ceux du polynôme du troisième degré, puisque ceux du premier et ceux de l'ordre de y' se trouvent identiques en vertu des calculs précédents. Remarquons à ce sujet que les termes du deuxieme ordre de ce produit proviendront d’abord du produit de chaque terme de cet ordre faisant partie d'un facteur, par le produit des deux autres facteurs débarrassés de leurs termes du premier et du deuxième ordre; puis ensuite du produit de deux termes du premier ordre contenus dans deux facteurs différents, par l’autre facteur débarrassé de ses termes du premier et du deuxième ordre. Cette remarque nous fwnnettra d’écrire immédiatement les tenues du deuxième ordre dont il .s'agit, et en les égalant à ceux contenus dans le polynôme du troisième degré, on aura l'équation

— y')-f-a'y'e’(ll-l-y')-f-^'y'e’ (y'-l-A")

qui se décompose, en égalant séparément Tes coellicients des

mêmes puissances de y, en les trois équations suivantes :

a'H> -t- ((3' + /) H A* -4- *' (jS' -f- y') H 4 - ^'y'W = ^ A'

— a'— iS'-|-/ = o.

I,a dernière de ces équations donne

substituant cette valeur dans la première, multipliant la deuxième par A', et transposant les tenues connus dans les seconds membres, il viendra

soustrayons la première de la seconde, nous auroas

-/)(H--A'-)=a'[(j3’+ylH+(;3'-y') A'] + 8 AV8 ^ A';

mais nous avons trouve plus haut les valeurs de (jS'.-f- >')l! et fS' — y’; elles donnent immédiatement

(^-+-/)H-H(i3'-/)A' = -iA':

au moyen de cette relation et de la valeur de a, le second membre de l'équation précédente se réduit à

cette même équation donne par suite

Reprenant la deuxième équation de condition, nom aurons, en vertu de jS" — y' z= o et des valeurs déterminées précédemment de a, (S' — /, ^ et y.

■ii ’

d’où , en ayant égard à la même équation ^ — y' = o,

Kii vertu de cette égalité des valeurs de jS* et y', celle de a se réduit à ïéro.

Dans le but de simplifier les calculs qui vont suivre, nous donnerons aux expressions de ^ cl y’ une autre forme. Faisons disparaître le dénominateur H' de la parenthèse ; en tenant compte de la relation [b'), nous aurons

réunissons les termes affectés des facteurs h’' et q', il viendra finalement

Au moyen des valeurs de et, y', a", y" que nous venons de déterminer, les trois facteurs dont nous proposions de former les expressions en négligeant les termes des ordres supérieius au second, deviennent respectivement

Posons pour abréger • « h”

fT »“♦** ^ ‘T/ * *

les deux derniers facteurs deviendront

i*) q' — J ih"‘'^ e\ (c')

et leur produit pourra s’écrire

de sorte que la valeur (z) de F\’ prendra la forme

R> = ^ A')- (/+ h’-^7^e) [e- - (/ - ^ eÿ]. (<f)

13. Les limites de la courbe intrados dans le sens des y, s’obtiendront en posant ^ = o, condition qui sera remplie, d'après l'équation (a'), lorsque l’on aura R = o. Or la décomposition que nous venons d’opérer, de la fonction R’ en facteurs, donne le moven de déterminer les bmites dont il s’agit, en posant chacun des facteurs égal à zéro : il en résulte , pour valeur des ordonnées niaxiina et minima de la courbe, les quantités suivantes, que nous disposons par ordre do grandeur, ^

— ^ B — '—r^ ej , — (h’ -h 2 ej , -I- A', H- ^0 -I- ej .

L’ordre de grandeur de ces quantités ne parait pas évident si l'on ne remonte jioint aux valeurs de 0 et H en fonction de A', et si l’on ne se rappelle pas que A* est positif d’après la nature de la question. D’ailleurs l’ordre que nous venons d’établir est simplement subordonné aux trois conditions suivantes

qui évidemment se réalisent dans le cas de la question qui nous occupe.

Nous allons faire voir maintènant que la courbe se compose de deux branches séparées, l’une située tout entière du côté des y positifs, et comprise entre deux parallèles à l'axe des x menées

aux distances A’ et 6 -f- e, l’autre située du côté des y négatifs, et comprise entre deux autres droites parallèles menées atu distances — ^ A' a e j et — ej.

En'effet, la condition que le radfcal R re.sle réel exige que le polynôme R* soit positif. Or ce polynôme est du quatrième degré en y et le terme aifecté de est négatif : si l’on fait y' = ± oo , la valeur de R' devient infinie et négative; elle ne change de signe que lorsqu’on fait décroitre la valeur absolue de y en 1^ ramenant

aux limites extrêmes — ^0 ■ — -î-r-î- ej , -4- ^0 ej. Donc

la Courbe ne confient'aucun point situé en dehors de ces limites. La valeur de R* commence à devenir positive lorsque y atteint CCS valeurs, puisqu’il n’existe pas de racines égales; et, si l’on continue de faire décroître la valeur absolue de y , on voit que R’ reste positif jusqu’à ce que y atteigne les valeurs ou il change de

signe, ce qui a lieu aux limites — ^A'-|-'9 ej et -f- A'; le

signe de R*" se trouve changé entre ces limites et devient négatif. On doit conclure de cet examen que la courbe est composée de

deux branches, l’une située entre les limites — ^0 — •i-4- e'j et — ^A' H- a , l’autre comprise entre les limites 0 4- e

etA';etqu’enoutrerespacecompriscntreleslimites — ^A'-t-a^^ —

et 4- A' n'en renferme aucun point, non plus que les espaces situés au delà des limites extrêmes.

L’équation (a') fait connaître l’ordonnée du point où la tan-

ds“

gente est parallèle à l’axe des y; en effet, en ce point on a -^ = o.

»G SUn L'ÉTABLISSEMENT

Pi réqiiatioîi (a) fournit, pour satisfaire à cette condition, ia relation ‘

d’où l'on tire

Les limites obtenues et la détermination des points où la tangente est verticale vont nous permettre d’aborder la discussion de la forme de la courbe, et de fixer l’usage que l’on devra faire du double signe du radical R de l’équation [a). Observons qu’en vertu de ce double signe la courbe est symétrique par rapport  un axe parallèle à l’axe des y, dont la position ne dépend que du choix de la constante introduite par l’intégration , de sorte qu’ayant détemiiné’ les circonstances de la forme de la courbe en ne considérant à la fois qu’un seul des déux signes, il suffira d’avoir égard à la symétrie, pour se figurer les parties de la courbe que l’on n’aura point étudiées. •

Occupons-nous en premier lieu de la branche située du côté des y positifs, et partons de y“ = h". Supposons d’abord II positif oti considérons le signe -I- dans l’expression (fl') de dx". Les limites que nous avons reconnues , de la valeur de y”, notis obligent à faire dy’ positif; or le numérateur de dx’ est positif, tant que l’on a y'’ < 9 ’ -f- (A* — e)', la valeur de x’ croît depuis y’ = A' juscju’à y* = V q’ -f- (A* — c)*. A celte valeiu' de y', le numérateur devient nul et change ensuite de signe, ce qui rend dx' négatif audelà de cette valeur; ainsi l’abscisse décroît d’abord depuis le point dont il s’agit, jusqu’à la limite B -f- e, de y* : or celte limite ne pouvant être dépassée, il faut faire décroître y", et afin que la courbe ne s’arrêfe point brusquement, nous devons changer le signe de 11 de sorte que se trouve encore positif. De cette manière le numérateur reste négatif, jus(]u’à ce que y' ait atteint dans sa décroissance la valeur -+- V q’ -f- (A" — e)’; et.

l'abscisse continue de diminuer juscni’en cet endroit : mais au

dy*

•delà, le numérateur reprend sa valeur positive, et le rapport

étant toujours positif, x’ croît de nouveau jusqu’à ce que y" ait atteint la limite h’. Au delà de ce point, il faut faire croître y“, c’est-à-dire prendre dy’ positif et aussi le signe de R; il en résulte de nouveaux accroissements de x" égaux aux précédents, pour les mêmes accroissements dy’ et les mêmes valeurs de y’. La courbe présente dès lors une reproduction périodique des mêmes formes' qui lui donne quelque ressemblance avec les cycloîdes allongées.

Si l’on considère la brandie située du côté des j négatifs, on reconnaîtra sans peine qu’elle présente une forme tout à fait analogue à celle de l’autre branche; et cette brançhe serait exactement symétrique avec la première, par rapport à l’axe des x, si l’on avait i = i . On reconnaîtra de plus que la condition de continuité dans les parties de cette branche exigera que l’on choisisse le signe de R de manière que ^ reste positif comme dans la première. Et l’on conclura de cette convention que le signe de R sera nécessairement contraire dans les parties correspondantes des deux branches.

Nous nous sommes étendu longuement sur la discussion de lu forme des deiLx branches de la courbe, quoique nous ne devions utiliser qu’une faible partie de l’une d’elles; mais nons avions à

dy’

fixer relativement aux signes de et de R des conventions dont l’une nous servira pour l’intégration de l’équation (a'), et l’autre , pour la vérification des coefficients que nous présentera l’intégrale de cette expression.

RÉDUCTION DF. L'INTÉGRALK DE L'EXPRESSION (a'} AUX QUADRATURES.

14. 'Nous avons reconnu, après avoir établi cette expression, l’impo&sibilité de lui appliquer la méthode des quadratures, et nous en avons indiqué la cause , dans la présence du facteim V yr' — h“

au dénominateur' de la valeur de dx". Nous aurons recoiu^ au procédé de l’inlégration- par parties, poiu faire disparaître celle^ difficulté , eu faisant passer le facteur dont il s'agit du dénominateur au numérateur.

Posons

V*= (/-f- A'-+-a la valeur de R deviendra

et l'équation (u') pourra s'écrire

En intégrant et séparant les intégrales, il vient

±x"z={q' — ah’e-hc‘) f—M==— dy.

' Jvv / — *■ J \

Effectuons la première intégration par parties, nous aurons

Or on a

JV «VdV I J.V

D’un autre côté, en appliquant k l’expression de V* la dilférenliation logarithmique, il vient

rf.v

cl, par suite.

— (y— ^-r-^ ') j ’ Vy -t- » -

Au moyen de ces expressions, on aura rmaicment dcx’ = i[q’ — 2 A*e -f- c’) — ; ^

H- (7' — 2 II’ e -+- e

[* Vf— h

On devra remarquer qu’aucun des éléments de ces intégrales ne devieril infini pour des valeurs de y" comprises entre h' et V 9* -f- [h’ — e'/’, les seules dont nous ayons à faire usage , et que , par conséquent , ces intégrales sont propres à recevoir l'application de la métliodc des 'quadratures. Mais nous renoncerons à faire us^e de fexpression précédente de x’, qui serait plus longue à calculer que celle que nous obtiendrons plus loin, dût-on, dans celle-ci, calculer par quadratures les deux fonctions elliptiques de première et deuxième e.spèce qu’elle renferme.

SUR rÉTABLfSSEMENT

HEDLCTION AUX rOXCTIOXS ELLIPTIQUES, DE LTKTÉCHALE DE L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DE LA COURBE INTRADOS ('j.

15. Nous mettrons d’abord la valeiu- de R’ sous la forme d’un Mi-ré parfait, en posant

relation de laquelle J>n tire

et qui donne, en effet , pour la valeur de R’, d'où

■R=[e*-(/-^e)’ls. (/')

Nous supposons ici R susceptible de prendre le double signe; et comme y' né peut recevoir de valeurs qui rendent négatif le facteur de Z, ainsi qu’il résulte des limites fixées précédemment, il suit de là que z a nécessairement le signe de R.

Tirons actuellement de l’équation (e') la valeur de y’ en z; il vienilra d’abord, en développant.

y'* — /i'’H- D — — y' f — 2 — T- fi' e — y** z' -I- l'—r-ey'z’

(‘) Ceux des lecteurs qui, étraugers à U théorie des fonctions elliptiques, craiodcsieiit de ne pouvoir suivre les développements dans lesquels nous allons entrer, |)ourTunt passer immédiatement aiu n" ‘29 et 30, où nous indiquons une solution numérique et une solution graphique fondées sur 1a détermination de l'intrados au nio)rcn de son rayon de courbure

DES ARCI1ES.de PONT. Ül

puis, en ordonnant,

Multiplions tous les termes de cette équation par i i’, et résolvons-la par rapport au produit jr'(i -t- z*) considéré comme étant l'inconnue, il viendra

± Vz'C I 4- (^)’e’( ' -Z')*4- (a ^ A'c+ A'*) ( 1 4-z*).

Désignons par Z’ la quantité comprise- sous le radical, nous aurons, en supposant provisoirement *Z 'susceptible de prendre le double signe,

Or diOcrentions l’équation (e'), nous aurons

^ y'-f- A' -J - a ^ e j dy (j“ — A') a z ^6’ — e j ' j J:

ou, en réimissant les termes affectés des mêmes dilféreniielles et divisant par le facteiu' commun a.

mais le premier membre étant ordonné par rapport à y', et le facteur de dz dans le second étant remplacé par sa valeur tirée de (/'), cette équation devient '

d’un autre côté, le facteur de dy“ est égal à Z, d’après (j') : on a donc

'Zd/ = R(fz.

d'où

diy di

Nous avons établi, dans le n“ 13, que le rapport doit rester positif; il suffira, pour faire usage de l’équation (A'), de donner à Z un signe tel, que le rapport — soit également positif.

Formons actuellement la valeur de Z’ : cette valeur, en ordonnant par rapport A z, et supprimant les termes qui se détruisent, devient v

ou bien

Nous avons encore besoin de décomposer la quantité Z* en scs facteiu-s du second degré; mais, pour cela, nous calculerons préalablement la valeur du coefficient du deuxième terme : formons donc le carré de la valeur do 0 équation (c’); nous aurons, en négligeant les termes du troisième ordre,

0' = H' — a ^ A'e -H ^ i + »’) a 9 ’ — ^iA'*+{i-(-i)'A'*je*.

En ayant égard à l’équation (A'), p\iis opérant les réductions, cette valeur deviendra •

Or les termes qui suivent O’, dans le coeiFicient du deuxième terme de la valeur de Z*, sont

en faisant la somme de ces termes et de 0', le facteur de z' dc' vient "

et la valeur de Z’ se réduit à

mais au lieu de décomposer cette expression en facteurs, il sera plus simple de décomposer en facteurs le produit Z' 0 *.

Posons, pour abréger.

il viendra

Z’-0’ = 0‘ -f- 2 2‘ 0 * ni’ -+- n’ 0* ;

il suffit d'égaler à zéro le second membre de cette équation, et d'en tirer les racines; ces’ racines sont

' 2’ 0' — — in' àz\/ m' — n* 0*.

Posons encore

K’ ni* — n* 0*,

6i ■ SUR fÉTABLISSEMKNT

nous aurons, pour expression du polynôme ci-dessus décomposé

en ses facteurs.

11 reste à calculer les quantités m' - J- K, m' — K, et par suite m*, puis le produit — b’ B’. Effectuons les deux dernières de ces opérations sans réductions d’abord; nous aurons, en écrivant séparément les valeurs des trois termes dont se compose — p' 0’,

in — n-i’

-A'c= J aI^(A'’’-f-a7')A'e

Ajoutons ces équations membre à membre, il viendra, toutes réductions faites, et à cause de K* = m* — n’ B',

,, 4 ,, iq'i' /8 . \ 4*'*»’ , .

K' = q>~rq'h e-h~

Pour extraire la racine, nous mettrons en évidence le facteur q\ ainsi qu’il suit :

Elevant les deux membres de cette équation à la puissance -, nous

et enfin

K =, ,■ - i *•. + 4'-[î , - -i)' If)

Soient maintenant

nous aurons, au moyen de la valeur de

v.^ /-'• -h h’e -h -(- yje', ^ I

et la valeur de Z* 0’ décomposée en ses facteurs pourra s’écrire Z* 0’ = (z’ B- M‘) (r* 0’ -f- N’).

ou bien encore

d’où l’on tire

Soit un 'angle auxiliaire lié à z par la relation

tang^=|2.

le même angle sera donné en fonction de y’ par cette antre équation déduite de (e').

tang^ = ± ? y

66 Srn L'ÉTABLISSEMENT

On aura réciprocpiement , pour la valeur 'de z en fonction de

; = -tang(p; cette équation donne, en diOcrentiant,

0 cm' ^

Subslituoés la valciu' {p) de z dans l'équation {m}, il viendra .

Z = ± \/^i -t- ^ tang*? ) ^ ‘ang**?)-

Divisons meinbre à membre l'équation qui précède par celle-ci; nous aurons

df

ii’ÿ ^ j (l-t-Ung’a)

ou

dt

dp

V CM* a -( sin'p

En remplaçant ici cos’ 9 par sa valeur i — sin'i^, il vient

dt 1 d^ * >

Posons

(*).La Taleor de c* peut ét^e mise nous une autre forme. En effet, les équa* tions {k*) donnent, par soustraction ,

doù ••

M’^N*>^2lC.

et, ensuite.

Digilized by Goo^e

et, de pille,

A' = I ^ — c' sin'i?, .

nous aurons

Ht %'Hp

L’équatron (h') comparée à cette dernière donnera

H» dy’ I d^

en faisant abstraction du double signe; et, si nous voulons que cette fooiiule soit générale, il suffira que nous disposions des valeurs de et A, de. telle sorte que le rapport soit toujours positif, attendu que — doit toujours l’ètre, d’après ce qui a été dit au n° 1 3.

.Voici comment on fixera les signes de ces variables : nous avons vu qu’en vertu de l’équation (/'), z doit avoir le signe de R; il résidte de féquation (n') que tangi^ doit avoir au.ssi le signe du radical R. Or, d’après la variation de signe de ce radical que nous avons reconnue n° '13, il faut que tang^ soit de même signe

que le rapport le sens positif de ds’ étant celui que l’on obtiendrait en suivant le contour de la courbe depuis les x infinis négatifs jusqu’aux x infinis positifs.

.Vinsi, dans la branche inférieure, on fera varier <p de.o" h 90",

pour y compris entre A’ et 0 -f- e, ce qui donne tangi^ positif : en faisant décroître y’ depuis la bmite 0 H j— e jusqu’il

la limite inférieure A", ^ variera de 90“ à 1 80°, et taug sera négatif; il est clair qu’en faisant de nouveau croître et décroître y’, les mêmes valeurs de tang^ se reproduiront périodiquement avec les mêmes signes, et queppourra varier de i8o“à27o“, puisde 270“ à 36o°, et ainsi de suite, à cause de tang (180" -t- i^) = tang^. On aura donc d<p positif dans toute l’étendue de la branche inférieure, et pour que — soit toujours positif, ilsuffira que l’on prenne dans cette branche le radical A avec le signe -H.

68 SliK L’ÉTABLISSEMENT

Dans la branche supérieure ou située du côté des y négatifs, en faisant décroître y" dèpuis — ^ ej jusqu’i —

on pourra faire varier (p de o® à — go”, ce qui rendra tang^ négatif, comme cela doit être; puis, en faisant croîtrey’ depuis la limite

supérieure négative — ^ 9 — ^-r- ej jusqu’à la limite inférieure

négative — (h" -t- a ej , on devra faire varier (p de — 90"

à — 1 8o“, ce qui rendra tang^ positif : en continuant ensuite à faire décroitro, pua croître successivement y', p prendra les valeurs — 270", — 36 o", etc. On'aura donc dp négatif dans toute l’étendue de la branche supérieure, et pour que — reste positif, il

faudra que l’on prenne A négatif dans toute l’étendue de" celle branche.

En résumé, il faudra, pour pouvoir faire ser\'ir l’auxiliaire p à représenter la moitié de l’étendue indéfinie de la courbe intrados, lui altribucr des valeurs croissant indéfiniment à partir de zéro, dans la branche inférieure, en donnant à A le signe -f-; puis lui donner des valeurs négatives de grandeurs absolues indéfiniment croissantes, en faisant A négatif dans la branche supérieure. L’autre moitié résultera de la symétrie avec la première par rapport à un axe vertipal passant par le point correspondant à p =0. On remarquera toutefois que les intégi-ales J'^ etj'sdp que fournira

l'intégration conserveront les valeurs ab.solues qu’elles prendraient si A et l’amplitude p étaient positives, puisque les deux quantités A et dp sont toujours de même signe. Fixons encore le signe de In fonction Z que nous avons laissé arbitraire dans l'équation (9') ;

observons que, d’après l’équation (A'), ^ positif, et que

la dilTérenticile de z tirée de (p'} donne dz de meme signe que dp, c’est-à-dire positif dans la branche inférieure et négatif dans la branche supérieure : il faudra donc que l’on fasse pareillement Z positif dans la première et négatif dans la seconde; mais nous

n’aurons point i avoir égard à cotte circonstance , attendu ((ue Z n’entrera dans tes équations finales que sous la forme Z' et ■Vu moyen de ces conventions, l’usage des doubles signes se trouve fixé, et il deviendra facile de procéder plus loin à la vérification susmentionnée des coefficients de l’équation de la courbe intrados.