PREMIERE PARTIE

[PAÉSENTSE À L'ACADÉMIE DES SOENCBS DANS SA SEANCE DU 10 NOVEMBRE l845.] (*)

1 . Les travaux des ingénieurs et des géomètres sur la théorie de Téquilibre des voûtes ont eu principalement pour objet, depuis Coulomb, Texamen de la stabilité des voûtes construites ou projetées. Malgré les savantes recherches auxquelles ils se sont livrés, les. solutions proposées sont encore loin de satisfaire aux exigences de Tart de Tingénieur : elles n offrent à celui-ci que des moyens peu directs et assez incertains pour modifier les constructions à l'état de projet, dont elles ont fait connaître le défaut plus ou moins prononcé de stabilité ; et le plus souvent ce n est qu'après une suite de tâtonnements qu'on parvient à satisfaire aux conditions d'équilibre indiquées par les méthodes en usage.

Les solutions dont nous parlons seraient donc principalement

(♦) Pour le Rapport» ^oir les Comptes rendtis des séances de V Académie des Sciences, tome XXTll, séance du 9 novembre i846.

utiles dans le cas où les éléments de la construction auraient été fixés d'une manière irrévocable; elles serviraient à faire connaître si le projet doit être admis ou rejeté. Mais aussitôt que Ton consent à apporter quelques modifications dans la courbure, soit de rintrados, soit de Textrados, ou dans les épaisaHeurs des vouss(Mrs, on peut envisager la question sous un autre point de vue, et se proposer de déterminer complètement la forme de la voûte, de telle sorte quil en résulte une construction jouissant de la plus grande stabilité possible;, et assujettie d'ailleurs à des conditions particulières qui sont relatives aux dimensions de l'arche en largeur et hauteur, à la charge qui doit s'élever au-dessus du plan horizontal tangent à l'extrados et à la résistance des matériaux employés. Le problème ainsi posé est celui qui se présente ordinairement dans la pratique.

Dans une série non encore terminée d'articles publiés dans la Revue de f Architecture et des Travaux publics de M. César Daly, nous avons présenté la théorie de l'équilibre des voûtes en berceaux cylindriques sous le point de vue qui vient d'être indiqué. Parvenu à l'examen du cas particulier des ponts, la nécessité d'avoir égard à l'action du massif qui charge la voûte nous a présenté quelques difficultés. Nous n'avons pu lever ces difficultés qu'en assujettissant Textrados à une discontinuité théorique, présentant, il est vrai, peu d'inconvénients dans la pratique, mais laissant à l'esprit une impression peu favorable. La solution que nous avons donnée dans la Revue de l'Architecture résulte d'une condition arbitraire, celle de l'égalité de pression par unité de surface dans tous les joints de la voûte : on peut conserver cette solution comme se rattachant à la classification que nous avons donnée des questions relatives à l'équilibre des voûtes. Mais rien n'oblige absolument à satisfaire en toute rigueur à la condition de l'uniformité des pressions dans les joints, et l'on peut maintenir la continuité de la surface extrados, sans qu'il en résulte une variation de pression trop considérable. Ajoutons que notre précédente solution n'est pas complète , analytiquement parlant : nous n'avons

efiFectué que Tune seule des deux intégrations qui doivent conduire à réquation de la courbe intrados, de sorte que le résultat final dépend de tracés ou de quadratures. Abandonnant la condition qui avait eu pour conséquence la discontinuité de Textrados, nous avons obtenu, depuis ce premier essai, une solution analytique complète, indépendamment de la solution graphique. Nous pensons que le Mémoire actuel, qui renferme Texposé de nos re^ cherches , ne sera point indigne de fixer Inattention de FAcadémie des sciences, et offrira d^utiles renseignements aux ingénieurs.

Nous nous bornons dans ce Mémoire à Fexamen du cas le plus important des arches de pont en berceaux terminés par des plans de tête perpendiculaires à Taxe , celui d'une arche chargée d'un massif terminé supérieuj:*ement par un plan horizontal.

Les équations finales que nous obtenons ne peuvent être résolues directement. En laissant de côté le moyen que présenterait la construction de tables spéciales poiur tirer à vue la valeur des inconnues , nous sommes obligé d'avoir recours aux méthodes de tâtonnements, telles que celles des fausses positions ou des courbes d'erreurs; mais les tâtonnements se distinguent ici de ceux que nous avons signalés plus haut, en ce que, soit qu'on les efiec^ tue graphiquement ou numériquement, ils correspondent à 'des constructions stables, ce qui n'a pas lieu dans l'autre cas. Cette circonstance permet même de réduire le nombre des essais, attendu que si l'un d'eux ne s'éloigne pas trop de satisfaire aux donpées de la question, on peut adopter l'hypothèse sur laquelle il est basé, et modifier l'une des données, la demi-ouverture, qui n'est jamais déterminée avec une rigoiureuse précision, en l'altérant de quelques centimètres, de manière que les équations de condition soient satisfaites.

La solution que nous proposons conduit à des formes de l'intrados différentes des formes généralement usitées, mais dont le tracé peut néanmoins s'effectuer par les procédés qu'on emploie lorsqu'il s'agit d'anses de panier. En cela nous nous conformons aux habitudes des ingénieurs : seulement, il arrive à ceux-ci de

déterminer les rayons de courbure de manière à donner à Tintrados une forme qui diffère le moins possible de celle d we demi*ellipse, ou de n employer qu'un seul arc de cercle^ sans qu'aucune raison les porte à préférer ces courbes à d'autres, sinon la simplicité de leur construction; tandis que, d'après notre tbéo* rie , les rayons de courbure varient suivant une loi différente de celle qui a lieu dans l'ellipse, et dans le cercle où les rayons de courbure sont constants.

Le tracé de l'intrados, au moyen de ses rayons de courbure que nous pouvons construire géométriquement, nous offre une solution du problème. L'exactitude de cette solution ne dépend que de celle du tracé, et se trouve suiEsante dans la plupart des cas.

2. Nous avQns cru devoir faire précéder l'exposé de notre théorie d'une discussion sur l'indétermination du problème des voûtes en berceau, indétermination qui ne peut être levée qu'en ayant égard à la compressibilité de la matière des voussoirs; mais la théorie de la déformation des corps solides d'une structure analogue à ceUe des pierres k bâtir nous a paru trop peu avancée pour tenter utilement d'en faire la base d'une théorie de l'équilibre des voûtes. Nous avons donc dû diriger nos recherches d'un autre côté, en nous proposant d'obtenir des résultats indépendants, autant que possible, de la compressibilité des matériaux. Nous croyons avoir atteint notre but en substituant à la voûte en berceau une construction purement idéale, dont on peut soumettre toutes les circonstances au calcul, sans craindre d'y rencontrer l'indétermination dont nous venons de parler, et telle, néanmoins, qu'en la comparant à la voûte proposée, on puisse affirmer évidemment que si la première est en équilibre, il en sera de même a fortiori de la seconde. Les conditions que l'on fixe en envisageant le problème de cette manière sont confirmées a posteriori par une discussion relative aux effets produits par les surcharges accidentelles.

La considération des différents modes d'action des matériaux

qui composent le massif, sur les voiissoirs, met en évidence une autre indétermination qui se présente à un haut degré près des plans de tête , dans les arches dont les parements extérieurs sont extradossés en gradins. Pour éviter la difficulté que présente cette nouvelle indétermination, nous sommes obligé de substituer à l'arrangement plus ou moins fortuit des matériaux du massif, une autre disposition idéale présentant quelque analogie avec les cons* tructioUs usitées, et qui jouit de la propriété de donner lieu à des pressi(ms normales à Textrados et déterminées. Uaction des matériaux du massif sur les reins de la voûte provenant de cette disposition idéale est la même que si la voûte était chargée d'un' fluide ayant la densité et lai forme du massif. Nous aiu^ions pu, comme plusieurs auteurs, partir immédiatement de Fhypothèse de la fluidité; mais il nous a paru bon d'indiquer à quel mode de disposition répond cette hypothèse que nous adoptons, d'accord en cela avec de savants ingénieurs.

L'application des équations de l'équilibre au système idéal dont nous nous occupons ne peut se faire sans restrictions : on sait que ces équations ne sont satisfaites que lorsque les corps, après avoir été comprimés ou distendus, sont parvenus à im état permanent, sous l'influence des forces extérieures. Les résultats que nous déduisons de ces équations sont donc uniquement relatifs à l'état normal de la voûte après le décintrement, et la question de Tinfiexion reste entière : on observera toutefois que nous fournissons les moyens de l'aborder, en déterminant la forme finale de la voûte. Quoique nous ne traitions point cette question in extenso, nous indiquons cependant les causes qui peuvent produire Ti/iflexion, et les moyens d'en éviter les principales. Nous sommes porté à croire que si les pieds-droits sont inébranlables et les joints de la voûte très-fins, une construction réalisée suivant nos principes ne dînera lieu qu'à ime diminution de flèche si petite, qu'on potUTâ presque ne pas s'en préoccuper.

Sous les restrictions qili précèdent, nous avons mis le problème en équation, et ramené les principales difficultés analytiques à l'in-

tégration de Téquation différentielle de la courbe intrados. Cette équation contient un radical recouvrant un polynôme du quatrième degré; et son intégralion, qui dépend des fonctions elliptiques, exige, comme on le sait, la décomposition du polynôme en ses facteurs du premier degré, ou la résolution d'une équation du quatrième. L'expression algébrique des racines est ici nécessaire pour conserver à la question toute sa généralité; nous avons pu Tobtenir par la réduction de ces racines en séries ordonnées sui* vant les puissances des épaisseiirs, en bornant là, comme dans tous nos calculs, l'approximation aux termes du second ordre» ce qui suffit parfaitement. A l'aide de développements analogues, nous avons réussi à éviter l'emploi des fonctions elliptiques de troisième espèce, et obtenu une intégrale qui se simplifie notablement dans le cas assez ordinaire où la voûte, et le massif peuvent être considérés comme ayant la même densité. La faible charge des voûtes de pont au-dessus de la clef rend le module peu différent de l'unité, de sorte que l'on peut suppléer aisément aux Tables de fonctions elliptiques. Enfin, nous présentons deux vérifications analytiques qui, jointes à des confirmations d'une autre nature, ne nous permettent pas d'avoir le moindre doute sur l'exactitude de nos développements.

Nous limitons l'usage de l'équation de courbe intrados à la détermination de l'inconnue principale, regardant le calcul des différences finies comme plus praticable lorsqu'il s'agit de calculer une suite de coordonnées de divers points d'une courbe : la méthode que nous indiquons à ce sujet, fait tout d^endre de l'expression du rayon de courbure, et nous affranchit du besoin de recourir aux fonctions elliptiques pour effectuer ces calculs.

Les constantes introduites par l'intégration sont au nombre de trois. Ce sont : i® la hauteur de la charge qui s'élève au-dessus de la clef; 2° l'épaisseur à la clef; 3° une ligne égale à la hauteur d'une colonne de la matière des voussoirs dont le poids produirait sur une base horizontale la pression qui a lieu dans le voussoir de clef. En supposant donnée la première de ces constantes.

Tune des deux autres reste arbitraire dans les arches du genre de celles en arc de cercle, où la direction du joint des naissances n est point ûxéet Si Ton prend pour la troisième constante une valeur indiquée par la résistance^ des matériaux, i*épaisseur à la clef en résulte. Dans les arches en anse de panier, où le joint inférieur est sensiblement horizontal, les deux dernières constantes sont nécessairement déterminées; mais il peut se faire que leurs valeurs données par le calcul répondent à des pressions auxquelles les voussoirs soient incapables de résister, ou tellement faibles, qu'il en résulterait un emploi peu économique des matériaux : il devient alers nécessaire de modifier les données dans un sens que nous indiquons suivant le cas. Il est d'ailleurs convenable de se ménager la possibilité de faire varier les données dans de certaines limites, afin de pouvoir, au besoin, tenir compte de Teffet des surchai^es accidentelles.

L'épaisseiu* à la def est Tinconnue à la détermination de laquelle se ramène la solution du problème des arches de pont, et, en l'absence de tables, on n'en peut obtenir la valeur que par des approximations successives. Nous donnons, dans chaque cas, des valeurs approchées «qui diffèrent assez peu des valeurs exactes de l'inconnue dont il s'agit, pour servir utilement de point de départ dans les calculs d'approximations successives.

L'importante question de la poussée contre les culées, dont la solution sert de base aux calcub relatifs à l'établissement de ces dernières, est résolue au moyen de nos formules, dès que la détermination de l'épaisseur à la def est effectuée.

Nous terminons la première partie de notre Mémoire en présentant le résultat de comparaisons entre des arches établies suivant nos principes tt des arches en arc de cercle ayant même épaisseur aux naissances, ^es dernières offrent moins de convexité vers les reins; et la différence des deux intrados paraît assez petite pour qu'on soit tenté tf adopter l'arc de cercle, à cause de la facilité qu'il oflre dans la construction. On tomberait néanmoins dans une grave erreur en admettant cette conséquence : en effet, nous

faisons voir^ dans le cas de Yarc de cerck, qu'à Fendroit où ceini-^ ci s'écarte le {dus de Tintrados construit suivant notre théorie, la résultante des pressions dans les joints peut se rapprocher de Tex* trados, jusqu'à n'en être plus distante que d'une quantité égale au tiers de l'épaisseur des voussoirs : cela donne lieu, vers l'extrados, à des pressions par unité de surface, doubles de celles qm ont lieu dans l'autre arche, tandis que la pression vers l'intrados décroit jusqu'à devenir nulle. Il est facile d'en conclure que les voussoirs devront, dans ce cas, présenter une résistance double de celle qu'exigerait l'application de notre théorie. Les intrados des arches en anse de panier diffèrent aussi de nos courbes par une moindre convexité vers les reins, et donnent lieu à des remarques analogues aux précédentes.

La convexité vers les reins dans les arches de pont présente des avantages dont il est bon de profiter : car, outre la plus grande facilité qui en résulte pour l'écoulement des eaux, elle offre un aspect agréable et un caractère de hardiesse que l'on aime à rencontrer dans les constructions de ce genre.

INDETERMINATION DU FROBlàME DE L'ÉQOILIBRE DES VOAtES EN BERCEAU.

3. On est dans l'habitude, lorsqu'il s'agit d'appliquer les principes de la statique, de considérer les corps comme absolument durs et incompressibles, et il est exact de dire, comme l'a fait remarquer M. Poncelet, que lorsque les corps compressibles ou extensibles sont parvenus à un état permanent, sous l'influence de forces extérieures, l'action de ces forces est la même que si ces corps étaient vraiment invariables de forme. Nous raisonnerons dans cette hypothèse, afin de n'employer que les principes les plus simples dé la statique.

Considérons donc une portion de voûte comprise entre deux plans de joint quelconques^ et supposons connue l'action, sur celte voûte, de la portion du massif de maçonnerie qui agit sur elle, ainsi que le poids même de cette portion de voûte; nous dési-

gneronfi par R la résultante de ees deux forces, qui en général ne se réduiront point à un couple. Les aiUres forces extérieures qui sollicitent la voûte sont les pressions ou réactions qui s'exercent sur chacun des plans de joint extrêmes; soient T et T les résultantes de ces forces. La voûte étant en berceau, et les plans de tête per* pendiculaires' à Taxe, Faction des forces reste la même dans deux tranches d'égale épaisseur, déterminées par des sections parallèles aux plans de tète; ntras pouvons dès lors considérer f équi* libre d'une tranche infiniment petite, ou simplement appliquer le principe relatif à l'équilibre d'un corps sollicité par trois forces situées dans un même plan, principe qui consiste en ce que la résultante de deux des forces est égale et opposée à la troisième. Prenons donc un point quelconque r, sur la direction de B; puis, par ce point, menons deux droites qui rencontrent les surfaces des joints extrêmes en deux points t et if, et décomposons R suivant ces directions : les composantes de R pourront théoriquement être regardées comme égales et oj^osées aux réactions inconnues T et T', d'après le principe énoncé. Si l'on réduit, en effet, les surfaces de contact aux seuls points t et ^, et que Ton ait égard à l'hypothèse relative à la dureté parfaite, en supposant d'ailleurs les points t et tf susceptibles de réagir dans tous les sens, les réactions T et T deviendront effectivement égales et opposées aux composantes de R obtenues ci-desaus.

En réalité, pour que les forces égales et opposées à ces composantes puissent être regardées comme donnant l'expression des réactions T et T\ il faudra, i^ que leur point de concours r, situé sur R, soit tellement choisi qu'elles ne deviennent point des forces de traction, à moins qu'on ne veuille avoir égard à l'adhésion des mortiers (le maximum de leur intensité dépendrait alors de cette adhésion); 3^ les directions des composantes devront faire, avec les normales aux surfaces de joint, des angles inférieurs à l'angle du firottement, et dans le cas où. l'on aurait égard à la cohésion des mortiers, ces angles devront rester plus petits que le plus grand des deux angles de frottement et de cohésion; 3^ enfin, les points

t et t' ne devront point être assez voisins de Tintrados ou de Tex^ trados, eu égard à Tintensité de T et T, pour que les voussoirs se brisent vers ces parties. Les intensités T et T' se trouveront limitées par la considération de Tétendue hypothétique des surfaces de contact et de la position des points t et t^; il faudra que T et T' rentrent dans les limites qui en résulteront.

Malgré ces restrictions, qui limitent Tétendue dans laquelle les points r, / et ^ peuvent être pris arbitrairement sur la direction de R et les surfaces extrêmes, le problème qui consiste à déter* miner T et T' reste susceptible d'une infinité de solutions. (On a coutume de limiter encore les solutions en partageant la voûte en deux parties symétriques au moyen d^un plan vertical mené par Taxe et le sommet; et par motif de symétrie on admet que la réaction T qui a lieu au sommet est horizontale.) Toutefois, quel que soit le système de valeurs que Ton admette poiu- T et T\ ces valeurs une fois fixées, les résultantes des réactions dans tous les plans de joints compris entre les extrêmes se trouvent déterminées; 09 les construit graphiquement avec la plus grande facilité. En effet, considérant le premier voussoir à partir du sommet, on compose l'action de la chaîne qui le sollicite, avec son propre poids, puis la réaction T qui a lieu au sommet de la voûte, avec la résultante des premières forces; la résultante des trois forces est égale et opposée à la réaction du deuxième voussoir siur le premier, et par conséquent égale à la réaction du premier sur le deuxième , et de même sens que cette réaction résultante. On obtient ainsi de proche en proche toutes les réactions intermédiaires, et la dernière, obtenue par le même procédé, doit, si Ton opère bien, coïncider avec celle T faisant partie du système de valeurs T et T' d'où Ton est parti. Les réactions intermédiaires sont assujetties, quant à leurs intensités, directions et points d'application, aux mêmes conditions que ci-dessus; pour que l'équilibre puisse avoir lieu; et ce n'est que lorsqu'on a trouvé un système de valeurs de T et T' tel que toutes les autres réactions qui en résultent satisfassent à ces conditions, que l'on est

fondé à regarder Téquilibre de la voûte comme pouvant être stable. Ordinairement^ quand on a trouvé une solution, il est rare qu^on n en trouve - pas une infinité d'autres comprises entre des limites plus ou moins resserrées, mais il est impossible de prévoir laquelle.de ces solutions se réalisera, ou même si l'équilibre aura lieu, sans introduire dans le calcul la considération de la compressibilité de la matière des voussoirs. Or, avons-nous dit, la théorie de la déformation des corps solides tels que les pierres à bâtir, est trop peu avancée pour que f on puisse en faire la base d'une théorie de l'équilibre des voûtes. C'est ce qui nous a mis dans la nécessité de substituer i une. voûte proposée la construction idéale dont il a été question au n^ 2, et qui va être décrite dans un instant. Rappelons cependant que le mode d'ac* tion sur les voussoirs, du massif qui charge la voûte, doit offrir un nouveau genre d'indétermination dont nous aurons à nous débarrasser en procédant d'une manière analogue; mais pour ne point compliquer inutilement les discussions, nous supposerons d'abord que l'action de la charge s^exerce normalement à l'extra* dos des voussoirs, sauf à ramener ensuite à ce cas celui dont nous nous occupons actuellement.

BQCATIOMS Dfi L*BQDItIBAB ITUNB VoAtA BN BBRCBilU SOUMISE À L'ACTION I>B FOaCBS AGISSANT MORMALBMBNT X L'BXTBABOS.