Considérons une portion de
voûte comprise , d'une part , entre '^•^.^.^ '^ > ^^^^^^^ deux plans parallèles aux plans "^'' ' ^^
des têtes, et distants d'une quan* tîté quelconque A, qu'on pourra, si l'on v^t, supposer ég^e i l'unité linéaire ou même infiniment petite « et> d'autre part, ter* minée par dem^ {dans perpendi-^ culaires à l'extrados.
Supposons la voûte divisée en voussoirs infiniment petits, par des plans de joint normaux à Textrados. De cette division résultera la possibilité d'assigner la position du centre de gravité de chaque voussoir élémentaire : nous nommerons courbe des centres de gravité la courbe passant par tous ces caitres.
> Prenons sur chacune des normales un point voisin de Tintrados situe à une distance du centre de gravité correspondant, égale à celle qui sépare Textrados de ce même centre; nous obtiendrons une nouvelle coiu^be que nous appellerons, pour abréger, intrados
fictif'
Imagin(xis maintenant que, sans
altérer en rien le poids des voussoirs élémentaires , la position de leur centre de gravité et l'action des forces normales à Textrados, on les défiorme de vnanière à vk* duire la fifurlace de contact de deux voussoirs voisins , à rétendue de Télément superficiel correspondant aux arêtes ou génératrices qui ont leurs pieds sur la courbe des centres de gravité. Faisons, de plus, abstraction du fi-ottemept des voussoirs et de la résistance quoppose Tadhésion des mortiers à leur gliâsemait les uns sur les autres.
H est évident que si l'équilibre peut exister dans un système établi suivant ces hypothèses, il existera a fortiori dans un système où des séries de voussoirs infiniment petits seront changées en voussoirs de dimensions finies, et lorsqu'on remplacera le contact de deux arêtes par celui des surfaces de joint comprises entre l'extrados et l'intrados fictif, c'est-à^-dire lorsque la presque totalité de la surface de chaque joint sera rétablie, de manière adonner lieu aux frottements, et à pouvoir mettre «en jeu l'ddhésion des mortiers, suivant le besoin; le rôle de ces forces étant de s'opp09er au glissement quand il tend à se produire. Nous dhrons pliis; cesl que ces dernières forces ne se développeront pas, tant du moins
que la voûte restera soumise aux seules forces qu on aura fait entrer dans les équations de son équilibre : en effet, puisque Téquilibre est supposé devoir exister sans Tintervention des frot** tements et adhésions, il ny aiu*a aucune tendance au mouvement dans un sens déterminé pour quelque voussoir que ce soit, et comme le frottement ne prend naissance que par suite de cette tendance, il est clair qu'il ne se produira aucun frottement; il en sera de même des effets de l'adhésion des mortiers. Ces forces ne se développant point dans notre voûte à son état normal, il est inutile, comme on le voit d'ailleurs assez clairement, de les faire entrer dans les équations de son équilibre.
Pour compléter la transformation de la construction idéale en la construction réelle proposée, il eût fallu rétablir le contact des voussoirs dans toute l'étendue comprise entre l'extrados et Tin- Irados, tandis que nous l'avons étendu seulement à l'espace compris entre la première de ces courbes et l'intrados fictif, comme cela aurait lieu si l'on pratiquait dans les joints un refouillement d'une profondeur égale à la très--petite distance qui sépare l'intrados fictif de l'intrados réel, distance qui n'atteindra jamais qu'un petit nombre de centimètres. Nous allons donner la raison de la nécessité qu'il en soit ainsi , du moins théoriquement. Dans la construction idéale, la résultante des pressions dans les joints passe par l'arête de contact située sur la courbe des centres de gravité, ou bien par le milieu du joint limité, comme nous venons de le dire dans la construction réelle; et l'on peut admettre qu'a-près le rétablissement du contact des surfaces planes de joint, la pression se distribuera uniformément sur ces surfaces, de même qu'on admet en pratique que les pressions se distribuent unifor* mément sur les surfaces quand les résultantes passent par leurs centres de gravité. C'est sur cette hypothèse que l'on s'appuie pour déduire des expériences connues les coefficients de résistance à l'écrasement. On sera d'autant mieux fondé à admettre l'égalité de la répartition des pressions, qu'on pourra la faciliter par l'introduction dans les joints d'une mince couche de ciment très-fin.
Si nous avions étendu la surface de joint jusqu'à Tintrados réel, la compressibilité de la matière des voussoirs eût pu avoir pour effet de déplacer la résultante des pressions, en tendant à la ra«< mener vers le milieu du nouveau joint, et nous eussions eu à considérer le lieu géométrique de son point d*application aux divers voussoirs : l'introduction des coordonnées de cette courbe dans les équations du problème les compliquerait beaucoup plus que ne le fera la considération de Tintrados fictif qui , dans tous les calculs, exclura Tintrados réel. Pour nous, moyennant les coti-^ ventions précédentes, les courbes des centres de gravité et des resultantes des pressions se confondront en une seule et même courbe^ Quant à la condition relative au refouillement des joints, pour que ces courbes se confondent théoriquement, on pourra juger, d'après le faible intervalle qui sépare les intrados réel et fictif, du peu d'importance qu'il y aurait à s'y conformer pratiquement, dans le plus grand nombre des cas. Si Ton s'abstient d'effectuer ce refouillement, il n'en pourra résulter qu'une faible variation de la pression par unité de surface dans l'étendue de chaque joint. Enfin, disons que la résultante des pressions étant assujettie à passer par les centres de gravité, c'est-à-dire très-près du milieu de l'épaisseur des voussoirs, et à être normale aux plans de joint, la voûte acquerra par cela même un grand degré de stabilité. En effet, quand la voûte sera soumise accidentellement à des charges auxquelles on n'aura point eu égard en fixant les conditions de son établissement, l'action de celles-ci sera, tant que l'équilibre pourra subsister, de déplacer le point d'application et la direction de la résultante des pressions en faisant varier l'intensité de cette dernière. Or, pour que le point d'application de la résultante puisse se déplacer dans un sens ou dans l'autre, sans trop se rapprocher de l'intrados ou de l'extrados, il est évident qu'il doit coïncider avec le point milieu de l'épaisseur lorsque les surchai^es dont il s'agit n'ont pas lieu, c'est-à-dire lorsque la voûte est soumise à l'action des seules forces qu'on a fait entrer dans le calcul qui a servi de base à sa construction. D'un autre côté, la direction
de la résultante des pressionis devant pouvoir s'écarter <le celle qui ré]|k)nd à rabs^nce des siu*charges accidentelles , sans cependant faire avec la normale aux plans de joint un angle qui atteigne le plus grand des deux angles du frottement et de la cohésion, il est également évident que la résultante des pressions doit être normale aux pbns de joint dans Tétat ordinaire de la voûte. Or le-quatîon (if) du numéro suivant exprime précisément la même condition à laquelle il nous sera facile de satisfaire. Il résulte de ces considérations que le système dont nous nous occupons jouira d'une très-grande stabilité, ainsi que nous Tavons annoncé plus haut. Nous aurions presque pu nous dispenser de les présenter ici, tant elles sont évidentes : nous ferons seulement observer qu'en nous fondant sur ces considérations, il nous eût été facde d'éviter la substitution d'un système idéal à la réalité; mais il nous a semblé bon de présenter nos idées dans Tordre où elles se sont produites*
Quant à la stabilité au point de vue de l'effet de surcharges accidentelles oonmdérables; pour la constater sûrement, il resterait à s'assurer que, sous l'influence de ces surcharges, la résultante des pressions ne peut nulle part se rapprocher de l'intrados ou de l'extrados d'une quantité inférieure au tiers de l'épaisseur des voussoirs; que la pression maximum par unité de surface n'excédera pas la chai^ que peuvent supporter les matériaux sans in* convénient; enfin, que la direction de la résultante ne s'écartera de la normale aux plans de joint, que de quantités inférieures aux angles de firottement et de cohésion.
5, Ceci posé, avant de former les équations de l'équilibre du système idéal décrit ci-dessus, nous devons rappeler ce que nous avons dit, n^ 3, relativement à l'appUcation aux corps compres^ sibles, des équations d'équilibre établies pour des corps de forme invariable , et faire remarquer que les conséquences auxquelles nous pourrons être conduit, s'appUqueront seulement à la voûte parvenue à sc« état permanent. Si nous déterminons la. forme que doit conserver la voûte dans cet état, nous ne serons pas dispensé
pour oda de re(^iercher la ùxcme qu'on doit liaî domier pendant qu elle repose surseséintres, forme qui £oit telle, qu^après le décintrecnent elle 6e change en celle qui répond à Tétftt permanent. £n un mot, la question de f inflexion de la voûte tesibét?L tout en^ tière ; mais nous aurons fourni le moyen de Taborder en déterminant une donnée indispensable de la question, la forme finale de la voûte : n'ayant point Tintention de la traiter ici , nous nous (M>ntenterons d'indiquer les causes qui peuvent contribuer à produire rinflexion et les moyens d'éviter les principales.
Une des causes de f inflexion des voûtes est dans la diminution de longueur de Tare de la voûte, mesnré dans le sens de l'extrados ou dans celui de l'intrados, d'où résulte une diminution de la flèche ou un sUrbaissement : cette diminution de longueur de la voûte provient de la compression qu'éprouvent ses parties, et souvent dé celle du mortier dans les joints; il importerait donc de diminuer l'épaisseur de ceux-ci, et d'employer, poiurlesremplir^ des mortiers ou ciments qui se solidifient promptem^at ou avant que les efiets de la compression puissent devenir sensibles. Disons que les constructeurs habiles se sont rendu compte de ces effets, et qu'ils emploient, pour les prévenir, les moyens dont il est question ici. Mais une autre cause de l'inflexion ou du surbaissement, à laqueUe on ne parait pas avoir beaucoup fait attention, provient de l'habitude où l'on est d'opérer le décintrement avant d'avoir achevé le massif ou tout au moins chargé les reins: or les formes d'arches généralement adoptées ne s'éloignent pas beaucoup de celles que notre théorie assigne aux voûtes chargées; si donc ces formes conviennent à l'équiUbre sous l'influence de la charge, elles ne conviennent plus en l'absence de cette charge, et la voûte, abandonnée à elle-même lors du décintrement, doit se déformer en se surbaissant, ce qui arrive effectivement. On éviterait la plus grande partie de cet effet, en n'opérant le décintrement qu'après la construction entière du massif,
11 pourrait bien se produire encore ime inflexion, mais elle serait générale, et la déformation beaucoup moindre que dans le cas
coQtraire, où la elcf s^tbaisse, tandis qne les reins se relient; le surbaisseineiil final se trouverait donc considérablement diminué, il ne proviendrait filus alors que du resserrenoent df s joints et de la compression des voussoirs.
Maintenant, désignons par :
x\ y les coordonnées dW point quelconque de Tentrados, rapportées A des aves OX Cft OY, t^un horizontal) feutre ^erlicaL et parallèles aui plans des tètes;
a Tani^e de la tasi^entf en ce point avec 3'ax«' des a;
Xyj lîeS'^oonionDéesidu'pointdela' coqri# tkt^eentnf» dê^gpavifé situé sur la normafeà'FexlRados^'mènée'^rkipoÎMl (a/> y); • > ' li\ y< les coordonnées d«| pdnt doi^iktrados'fiettf situé 6ur la même normale; v 7^ li . 'n\
ds, d$ et ds'^ les. éléments de chacune des tj^is 'courbée précé^ dentés « compris entre la normale à Textrados et une autre normale menée parle point infiniment voisin » dont x -f- dx, y H- dy sont les coordonnées; î,
s l'épaisseur de la voûte au point [x, y), cert-à-^ire la partie de la normale comprise entre Textrados et Tintrados réel;
e répaissfiur fictive, ou la partie de la normale comprise entre l'extrados et l'intrados fictif;
S la distance qui sépare le milieu de l'épaisseur réelle du voussoir de la position de son centre de gravité, de sorte qu'on ait la
relation - e — S= - e;
p\ p et p" les rayons de courbure des trois courbes en leurs points situés sur la même normale;
rfP le poids du voussoir infiniment petit, compris entre les deux normales infiniment voisines;
tfr le poids de l'unité de volume de la matière des voussoirs;
N' la pression normale exercée sur l'extrados, par unité de surface, au point {x\ y);
T la résultante des pressions exercées perpendiculairement au premier joint de la partie de voûte considérée, par les parties extérieures de la construction; ^
Ti la résultante des pressions exercées perpendiculairement au dernier plan de joint, par la voûte elle-même, sur les parties de la construction avec lesquelles elle est en contact : à cause de la réaction égale et contraire à l'action, Ti exprimera en même temps l'intensité de la réaction reçue par le dernier voussoir; le sens de cette réaction sera contraire à celui de T»; -
t et ti les pressions par unité de- surface correspondantes à T et T.;
(i la hauteur variable d'une colonne prismatique de la matière des voussoirs, dosit le poids produirait^ sur îme base horÎBsonlale, la pression t par i^nité d]s «ur&ce, d'cà/ fSfL^nzt;
jXi la bauteuir de>ia coiobnb coivqspèndante à f^ de^ âorte, que l'on ait tfrjùL, = ^; • ^
I le rapport de la densité des matériaux qui composent la charge de la voûte à celle des voiissoirs, de sorte que le poids de Tunité de volume des premiers soit i^uf.
Les forces extérieures à l'arc de voûte sont :
1^ La pression résultante T qui agit en un point [x, y) de la courbe des centres de gravité, perpendiculairement à la normale à Textrados ou parallèlement k la tangente à cette courbe, c'està-dire en faisant l'ange a avec l'axe de x; ses composantes suivant X et Y, sont respectivement T cosa, et T sina.
2^ La pression T, agissant à l'autre extrémité de l'arc de voûte en un point (a:,,)',) de la courbe des centres de gravité, suivant une direction opposée à celle de la tangente à l'extrados, ou faisant avec l'axe des x l'angle 1 8o® -H «i ; de telle sorte que ses composantes suivant X et Y, sont — T, cosa, et — T, sinai.
3^ Les divers poids dV des voussoirs, dont les points d'application appartiennent à la courbe des centres de gravité : leurs composantes suivant X et Y, sont zéro et J P.
4^ La pression exercée normalement sur chacun des voussoirs élémentaires avec l'intensité N' par unité de surface. Or, la profondeur de la voûte parallèlement à l'axe étant A, la surface élémentaire dé l'extrados est Xds\ d'où résulte NXds' pour la valeur de l'action exercée siu* un voussoir élémentaire. On la supposera dirigée vers le centre de courbure. (S'il en était autrement, comme cela pourrait avoir lieu, dans le cas d'arches complètement submergées ou destinées à recouvrir des conduites souterraines, le signe de N' pourrait être changé.) Les coordonnées des points d'application de cette force sont celles x et y' de l'extrados. On obtiendra ses composantes, en observant que la normale fait avec l'axe des x, l'angle go**-!- a, et avec l'axe des y l'angle a, dont les cosinus sont respectivement — sina et -h cosa; les composantes de cette force sont donc :
suivant X, — N'Xd/ sina = — KXdy; suivant Y, -h N'Xd5'cosa==-h N'Xda:'.
Si nous appliquons maintenant à la portion d^arc de voûte les six équations d'éqm libre d'un corps solide qui doivent également être satisfaites dans le cas d'un système de corps solides, nous remarquerons que toutes les forces agissant dans des plans parallèles, la somme des projections de ces forces sur un axe perpen* diculaire à ces plans est nécessairement nulle. L'une des équations dite de translation est ainsi naturellement satisfaite. Si , pour plus de simplicité, on suppose A infiniment petit, ce qui réduit toutes les forces à être situées dans un même plan, celui des xy, les directions des forces coupant les deux axes ou bien leur étant parallèles, les moments de rotation autour de ces axes seront nécessairement nuls, et deux des équations dites de rotation seront également satisfaites : en sorte qu'il suffit d'écrire les équations qui expriment que les sommes des projections des forces sur les axes X et Y sont nulles, et celle exprimant que la somme des moments de ces forces autour d'un troisième axe perpendiculaire au plan des deux premiers, est également nulle.
Ces équations sont
— T, cosai -h T cosa — /N'Arf/ = o,
— T, sina. + T sina H- J^'Xdx -+- fd? = o,
— y, T, cosa, -H y T cosa — /N'X/ d/ j
-h X, ^^ sina, — a? T sina — JKXx'dx — fxd? j ~~ ^'
Nous passerons facilement aux équations relatives à l'équilibre d'un voussoir élémentaire en réduisant dans les équations (a) les différences a^ — a, à la différentielle rfa, x^ — x, et j, — ykdx et dy; les intégrales contenues dans les mêmes équations se réduiront à un de leurs éléments, et les différences de deux termes composés de même en a, x, y, T, et ai, a ,, y^^ T», se réduiront aux différentielles de ces termes. De cette manière, les équations différentielles du problème seront
— d.T cosa — N'Arfy = o,
— d.T sina -h N'Xrfx' H- dP == o;
— d.yTcosa-\^d.xTsina—KX{y'dy'^x'dx)-^xd?z=o. (c)
Nous aUons changer la forme des deux premiers termes de la dernière de ces équations^ en effectuant comme il suit les différentiations indiquées :
d.y T cosa = y d.T cosa -f- T cosa dy, d.xT sina = Jîrf.T sina-+-T sinadx.
Au moyen de ces relations, et en observant, que Ton a cosa = — , sina = -p, nous pourrons mettre Téquation (c) sous la forme
— yd.T cosa'+'Xd.T sina — T [ji dy — T^^^l
— fi'X{y'dy^x'dx') — xdP = o.
Or nous pouvons simplifier cette équation au moyen des équations (6); multiplions la première de celles-ci par y et la deuxième par X, puis retranchons, il viendra
— - jrf.Tcosa -t- a?rf.T sina — KX [ydy -f- xdx') — xd? i= o.
De cette équation et de la précédente on déduit
'r(^dy—.%dx)-h^'X[{y'—y)dy-+.[x'-a^dx-] = o;
mais, comme les points {x, y) et (je;', y') sont situés sur la même normale à Textrados, les coordonnées x et y satisfont à Téquation de cette normale , qui peut se mettre sous la forme
(/ — y) ^y ^•" (^' — x)dx' = o,
22 sua L'ÉTABLISSEMENT
et l'équation dont nous nous occupons se réduit à
^,dy ~^£dx = o, [d)
en supprimant le facteur T, qui ne peut être nul : on en tire
dx dx
Ainsi Féquation (c) indique que la tangente à la courbe des centres de gravité doit être parallèle à la tangente à Textrados.
Exprimons analytiquement la condition fournie par Téquation [d] : pour cela nous observerons que les différences des coordonnées des points de Textrados et de la courbe des centres de gravité situés sur la même normale, ne sont autre chose que les projections sur les directions de ces coordonnées, de la distance ^ e qui sépare le centre de gravité de l'extrados; nous aurons donc les relations
X — X = — --e sma,
y — y = -h-e cosa; d'où, en différentiant,
dx = dx' e cosa rfa sina de,
dy = dy e sina da H--cosa de.
Mettant ces valeurs de dx et dy dans Téquation (rf), celle-ci devient
1 / dy . dx'\ j 1 / da' - dy\ j
- e (cosa-^ — sma-r-;) aaH — ( cosa-r-jH-sma •^]de=: o.
2 \ dt d$ / 2 \ ds ds J
Or le facteur de da se réduit à zéro, et celui de de k -^^ k cause
sa; il en
de = o,
de -p; = sina, et ^-f:= cosa; il en résulte
ds ds
ou, en intégrant,
e = constante.
Telle est la condition exprimée finalement par Téquation des mo* ments (*); nous en déduirons immédiatement une relation entre répaisseur variable e et la quantité i qui sépare le point milieu de répaisseur du voussoir de son centre de gravité; cette relation indiquée plus haut est
d'où
équation qui fixera la valeur de e quand celle de S aura été déterminée , et dans laquelle il est bien entendu que e désigne désormais ime constante.
Les équations du problème se trouvent actuellement réduites au système des équations (6) et [e). Toutefois, dans le but de simplifie!* l'intégration des premières^ nous allons former avec celles-ci un système de deux nouvelles équations propres à les •remplacer, et que nous emploierons par la suite avec les équations (6). Écrivons ces équations sous la forme
d.T cosa = — N'A sina ds
d.T sina = -h N'X cosa ds' H- d?.
(*) 11 eût été facile d'établir a priori cette condition, en observant que les pians de joint sont normaux à i*extrados , et que la courbe des centres de gravité est perpendiculaire aux plans de joint, ce qui établit le parallélisme de cette courbe et de 1 extrados, et entraîne comme condition la constance de la quantité je. De cette manière, les quatre forces qui sollicitent le voussoir âémentaire passent par un même point, le centre dé gravité, et Téquation des. moments est naturellement satisfaite. L*on eut pu ainsi poser immédiatement les équations (b) sans passer par les équations (a). Mais il nous a paru convenable de suivre, autant que possible, une méthode uniforme.
24 SBR LÉTABLISSEMENT
Multiplions, d'une part, la première par cosa, la deuxième par sina, et ajoutons; puis, d'autre part, multiplions la première par sina et la deuxième par cosa, et retranchons : nous aurons
cosa d.T cosa -f- sina d.T sina = sina rfP, cosad.T sina — sina (2. T cosa = cosa (2P H-N'Xrf/;
la différentiation donne d'ailleurs
rf.T cosa = cosa rfT — T sina rfa, rf.T sina = sina dT -f- T cosa da.
Pour former avec ces valeurs celles des premiers membres des équations précédentes, il suffit de multiplier la première par cosa, la deuxième par sina, 'et d'ajouter; puis ensuite de multiplier la première par sina, la deuxième par cosa, et de retrancher; on obtient ainsi immédiatement
(iT=sinadP, T(ia = cosarfP-+-N'X(i5'.
Telles sont les combinaisons que nous nous proposions d'obtenir. On pourrait former immédiatement ces équations en égalant à zéro les sommes des projections des forces qui sollicitent un voussoir, sur deux axes, l'un tangent à l'extrados, l'autre normal à cette courbe. U faudrait seulement faire attention à ce que , si l'on prend pour l'un des axes la normale menée par l'une des extrémités de l'élément ds', la projection de T sur la partie de cet axe dirigée vers le centre de courbure est nulle , et la projection de la force (T -h dT) sur la même partie s'obtient en multipliant par cos{^o^ -h d<t) ou — sincia; la composante a dès lors poiu* expression — Tc/a, en négligeant les infiniment petits des ordres supérieurs. Les autres composantes s'obtiendraient sans difficulté.
6. Nous all<MQ6 maintenant nous occuper de déterminer la position des centres de gravité et le poids d'un voussoir élémentaire.
Considérons le voussoir compris entre deux plans ncHinaux infiniment voisins, faisant entre eux Tangle da des deux tangentes consécutives : décomposons la surface base du voussoir en tranches infiniment minces au moyen d'arcs de cerde de rayons variables r, décrits du centre de courbure; soit dr la largeur d'une de ces tranches, sa surface sera rdadr, et, si nous prenons les moments par rapport à une droite située dans le plan de la base, et passant par le centre de courbure, le moment élémentaire de la tranche aura pour expression r^dadr. En se rappelant que p[ désigne le rayon de courbure de l'extrados, on aura, pour ex-* pression de la somme des moments élémentaires,
daf^'^r^dr= i [p" - (p'- e)'] da, OU en réduisant.
Soit d'une autre part dS la surface base du voussoir élémentaire, son expression est
dS
==dafj;jdr='-[p'*-{p'-eY]da = sp'(.-A)da,
celle de la distance du centre de gravité au centre de courbure çst d'ailleurs p' — (- e — S]; il s'ensuit que le moment de la surface est '
Egalant maintenant la somme des moments au moment de la somme, on aura, en supprimant les facteurs communs,
1 — 7-+-Ô — == h 7(1 îH--;
on en tirera ensuite, en développant, réduisant et résolvant, la valeur suivante.
p la 18
(*) Pour ceux des lecteurs qui connaîtraient nos articles sur les voûtes insérés dans la Rwme de VArchitectare, nous allons jncmtrer que l'expression de h donnée dans ie premier article s accorde exactement avec celle que nous venons de trouver, malgré la difiiérence de forme que présentent les deux expressions.
La valeur de 8 obtenue dans ce Recueil a été tirée de Téquation
qui donne
d'où
Or 1^ courbe des centres de gravité n'était point assujettie a être parallèle à l'extrados. Si nous joignons cette condition qui revient à
p'=pH--«— ^,
la quantité — étant toujours une petite fraction, ou est en droit
de développer le deuxième membre de Féquation précédente > suivant les puissances de cette quantité, ce qui donne
p ta p" \ « p 4 p* /
mais, par la suite, nous nous contenterons d'avoir égard aux termes du premier et du deuxième ordre de petitesse, en regardant
le rapport — comme étant du premier, ce qui réduira la valeur
delà '
et nous dirons^que cette quantité est du deuxième ordre. Quant au poids du voussoir, son expression sera
ou bien
Cette expression et la précédente [g) ont lieu indépendamment de toute condition tirée des équations de Téquilibre; nous allons
Texpression précédente deviendra
Or cette relation est identique avec celle que nous venons d'obtenir dans le mémoire actuel.
26 5UA VÊTABLISSEMENT
les combiner avec Téquation {e), de manière à en déduire de nouvelles valeurs qui satisfassent à cette équation. Substituons dans Téquatîon [g) la valeur (c) de e bornée à son premier terme, puisque nous négligeons les tefmes d'ordre supérieur au deuxième ; il viendra d'abord
puis ensuite, mettant, cette valeur dans Téquation (e), on aura
Pour former avec cette valeur celle de rfP, on peut remplacer par e Ve qui entre dans la parenthèse du deuxième membre, car c^tte patrenlhèse éUut mukip&ée par c en dehors, il n'ea ré» sultera qu'une erreur du troisième ordre : on aura ainsi
dP = «Xe(.H-ii)(.-,il)rf,',.
puis, en effectuant le produit des parenthèses, et y négligeant les termes du deuxième ordre, de manière à ne négliger finalement que ceux du troisième.
Maintenant, les valeiu*s de é et de — ne se trouvent dépendre
que du rayon de courbure.
Il reste à substituer cette valeur de c/P dans les équations (6) et (/); nous allons le faire, et en même temps y remplacer la résultante T par son expression Xefivf, dans laquelle Xe est l'étendue de la surface du joint, et |x la hauteur du prisme dont le poids produirait la pression T sur la surface Xe, si elle était horizontale. Disons, en passant, que l'usage de la hauteur (i est ici le même que celui des hauteurs manométriques dans la mécanique
de» fluide»; il a, comme ces demièros, l'avantage dje rendre plus saisissable pour Teaprit Tintensité des pressions, que tel ou tel nombre de kilogrammes par mètre carré : il sert, d'un autre coté , à mettre en évidence Thomogénéité des diflérents termes des équations, de telle sorte qu'il ny entre phis que des lignes et des rapports numériques. Ces considérations nous ont décidé à remplacer partout les pressions par unité de surface, au moyen des hauteurs qui les représentent; les premières, que nous avons dé* signées par t, sont d'ailleurs liées à celles-ci par la relation
Nous écrirons donc
T = tarXefit, rfT = tarXedjx.
Ces valeiu*s et celle (jf) de dT étant portées dans les équations (6) et (/), on aiu*a, en divisant ensuite par isrX^,
(jL cosa, . —
{/. sina =
dfx-
sina
df\.
ftda =
Zp'j
Les deux premières de ces équations ne peuvent être intégrées sans que Ton se donne l'expressloi^ de la, variable N en foiy^tion de Tune des coordonnées; les deux dernières, au contraire ^ quoiqu'elles n'en soient que dès combinaisons, conçluisent facilement aux valeurs de ft et du rayon de courbm*e p', queï que soit N'.
En effet, à cause de sina^^'. =^ dy' eit-TT^^^^'ai^.onpdutmcittw la troisième équation (/) sous la forme i
, rfft xzr (^' — j e sina da; .. ,• .,
or cette équation s'mtègre immédiatement, et si Ton désigne par ^« et A les valeurs de fi et y qui ont lieu pour a£= o, on aura, en intégrant à partir de ces limites,
fi — fAa=y — h — ^ e{\ — cosa). (m)
D^autre part, substituons la valeur de fi tirée de cette équation, dans la dernière équation (/) divisée par doL\ et observons que
— z= p , nous aurons
ft, H-y — h — '^e{i — cosa) = ( p' — ^ «) cosa -+- — p'; tirant ensuite la valeur de p', il viendra
p'=ze jjT .. (n)
Les équations (m) et (n) sont équivalentes aux deux premières équations (/), et pour pouvoir faire usage des unes et des autres, il (levient indispensable de préciser la valeur de N' en fonction des coordonnées; c^est ce que nous allons essayer de faire en examinant les diverses manières dont les charges que supporte la voûie peuvent agir sur les voussoirs.
INDBTBRMINAn^lON DB L'ACTIOB DES GUABGBS SUR LBS «klN5 DBS VOUTES DANS LBS ARCHES DB PONT.
7. Nous nç ho]Lig occuperons point dans ce Mémoire des arcbes dans lesqueïles les plans de joint s^étend^nt jusiquau plan horizontal tangent à Tëxtrados. Dans les autres cas, oh aistinguera l'action exercée sur la voûte par la construction en assises horizontales qui fomie les parements extérieurs, et celle que produit la masse, plus oti'moini^irrégulièrement disposée, des matériaux qui remplissent l'espace intermédiaire. : • , « . : , r -: i
La disposition irrégulière des matériaux d'un massif formé par un blocage de maçonnerie ou composé de parties semi-fluides,
t^ qu'un naisif de terre ou de béton, reoA tovi à hit îœpossible la détermination de leur action si» la voûte. Tout ce que fon pourrait faire de mieux à cet égala serait de recourir au calcul des probabilités pour découvrir le mode d'action le plus probable de cette partie du massif.
Nous allons voir que la disposition presque régulière de U construction par assises horizontales présente autant de difficultés.
La répartition de la charge sur les différents voussoirs dépend, dans ce cas, de la ppse des assises horizontales dont les extrémités s'appuient sur les reins de la voûte, et des tassements qui se produisent pendant la construction et après le décintrement. Les effets qui se produisent pendant la pose, et le tassement, dépendent essentiellement du soin qu'apportent les ouvriers pendant la construction, et de la nature des matériaux employés : de là nait l'impossibilité de tenir compte, dans le calcul, de circonstances si variables et si difficiles à apprécien C'est à cette variation que tient l'indétermination des actioDfi exercées par les assises horizontales sur lea voussoirs des plans de tète. Pour bien nous rendre compte des effets de la pose des assises horizontales, il nous suf* fira d'examiner les cas extrêmes qu'elle peut présenter.
' Le {4ufi souvent > dans les constructicms de voûtes chargées, les voussoirs ides jJans.de tète .ne se terjtiinent point Vçrs l'extrados* par une surface cylindriqu^e ay^tit cette courbe pour directrice , mais bien par deux sur£aices planes, J'une hoirizontale et passant par Tarête supérieure du voussoir, l'auire verticale et paasant par l'arête inférieure située sur l'extrados. Aui moyen de cette disposition e/i fradinsi, on met de niveau*, les faeeo horizontales des voussoirs avec celles des assises de maçonnerie qui forment, les pare* imentsextéFieurs de. la conatcuctian.
Nous. examinerons diverses oirconsinnces de la pose des assises, dans cette disposition par rapport aux voussoirs. 11 est facile de vtfir que les faces verticales des assises peuvent être plus ou ^fUQJins serrées, et xùème que la iaçe yerticale de contact d'une aasiseiavecJie voussoir peut ne supporter aucune pression, soit
32 SUR LÉTABLISSEMENT
peadant la pode^ aok i^ès que le tassement a 'été produit; cela dépendra principalement de la pose de laasisè considérée et de; celle des assises voisines. 11 pourra donc y aivoir un plus ou moina grand nombre de voussoir^ dont les tètes ne recevront dea assises
adjacentes aucime pression horizontale ; de même que pour d'autres voussoirs, ces pressions pourront aussi être plus ou moins considérables. D'un autre côté, la pression verticale qu'une pierre appartenant à une assise eitercera sur la face horizontale de la tète du voussoir oorrespondant à Tassise inférieure , dépendra de phi>sieurs circonstances, telles que Texécution j^us ou moins par&ite des surfaces de joint, et la longueur de la partie de la pierre cmn sidérée engagée entre les assises supérieure et inférieure, du coté opposé à la tèfle du voussoir : on conçoit encore une exécution ou une pode assez imparfaites, pour que quelque&^mes desllaoes horizontales de^ joint communes à Tassise et au vouesoir inférieur ne supportent aucune pression; de même aussi, il pourra airiver que ces pressions soient très^grandes, comme dans' le oas où la pierre dont il s'agit aurait une plus grande épaisseur vers la tète' du voussoir que vers le coté oj^sé (*)« Il est permis eaoorede se
(*) Âjant bienaam ces particularUési, ou s'expliquera aiiéi^ei^ le^ niptpr^ qi^e. présentent parfois les voussoirs .dans une direction perpendiculaire k celle des plans de joint, et vers le tiers ou la moitié de leur longueur à partir ie l'&ilhidôs.' Lorsque les réstdtantes des pre^sfiomstit leé plans de<johit'déS yebsscnrt psMni
représenter un cas dans lequel les pressions horizontales et verticales transmises par les assises aux tètes des voussoirs seraient nulles en même temps : ee serait celui où le système des assises horizontales se tiendrait de lui-même en équilibre, comme dans les construcÉMNis égyptimmeS'; la voùiè serait simplement touchée, sans être pressée par ces assises, et ne serait d^aucune utilité dans 1» coBStmction* de tette aorte qu^on pourrait la supprimer, et qu'elle devrait se teair en équililnre d'eUt*4nème si Ion vcmlaît la Qooserver.
De ce qui précède ^ il &ut conclure qu'il est impossible d'assi* gner aucune valeur déterminée aux composantes horizontale et verticale de Taction exercée par les parties du massif sur chaque voussoir; il est donc également impossible de les soumettre à aucun calcul précis. Nous serons obligé, pour lever la difficulté qui résulte de cette indétennination, de procéder à l'égard du massif comme nous l'avons fait pour la voûte; nous lui siibstituerons une disposition idéale donnant lieu à des pressions normales déterminées : il y aiu-a ensuite à examiner s'il est convenable de passer, sans modifier le jeu des forces, du système idéal dont il s'agit, à telle disposition des matériaux que l'on se proposera de réaliser.
près de Tinlrados , les joînU s'ouvrent vers Textradod , d*uiie quantité plus ou moins appréciable k Toeil. Le voussoir est alors dans le cas d*un solide encastré vers Tune de'ées extrénnlés, et sollidlé a l^autre par une force non durigée dans te séné de sa lQi^[u«iir. GeMe. force eyt ici h réaaltente doa preasiona boôtoalalet et wartioaies exercées par les assises conAjguës ; il y a possibilité 4^ ruptuiie dès qup cette résultante prend une direction oblique par rapport à la longueur du voussoir. La rupture tend à se produire le plus près possible de la section d*encastrement ou de \a covrbe 4l6 la résakanla dea posMions; et eHe y est frciKtée\ noii-senicinent parce que le n»<aneiit de la force qui produit la rupture va ea croissant vers ce. point, tandis que Iç moment des résistances à la rupture décroît avec la section du voussoir, mais encore parce que la pression totale exercée par les voussoirs adjacents se ttonye concenlrée 4mis ie vMaîiMge de cette section, el qu*il en'résnlie en ces ppinta uvA désagirégatiqn'^e la ii^^ d^ vo«uK|ir,.qi^i n attend po«ir ae namife^t?^ que le concours d*une noifVelle force. Ces considérations indiquent Fimportance qu*îl peut y avoir à assurer la érection normale de Faction de la charge sur les 4ro«Miaoirs.' , '
DISPOSITION DE LA CHARGE BXTBRIEUAB D*ONB ARCHB, DO!iNANT LIEU A DBS PRESSIONS NORMALES DÉTERMINÉES.
8. Dans le l^ut d'abréger leg descriptions, disons ooinnient on pourra passer de ia disposition en gradins dont il a été question dans le numéro. précédent, à la disposition idéale que nous nous [»:*oposons d'étudier. Supposons d'abord, dans la première, la division de la voûte en voussoirs eOectuée au moyen cde plans normaux infiniment rapprochés : les deux faces de latête de chaque
voussoir qui déterminent les gradins seront infiniment étroites; imaginons actuellement qu'on sépare le corps et la tète des voussoirs suivant la surface extrados, c'est-à-dire suivant la surface qui passe par les arêtes extérieures des plans de joint normaux; on aura isolé de chaque voussoir un prisme triangulaire ayant pour base un triangle rectangle de côtés infiniment petits, et dont l'hy'poténuse répond à la face de 'contact de ce prisme et du voussoir. Substituons enGn aux assises horizontales de la disposition ci-dessus, une série de prismes verticaux ayant pour bases les faces horizontales des prismes triangulaires que nous venons de définir, et limités, dans le sens vertical^ par un même plan horizontal dont le niveau ne soit pas inférieur à celui du point le plus
élevé de Textrados. On obtiendra de cette manière une disposition dans laquée chaque voussoir se trouve accompagné d un prisme trian^aire -et d'un prisme quadrangulaire, et telle que les actions exertées par te massif sur les voussoirs seront normales à Textrados et déterminées.
En effet, dans le système que nous examinons, la force qu'un voussoir reçoit du massif est la pression normale exercée par la face du prisme triangtdaire par laqueUe il est en contact avec lui, en faisant toutefois* abstraction du frottement : mais on pourrait dire que cette force ne se développe pas, si Ton admettait que la face hypoténuse et la face verticale du prisme triangulaire fussent en contact parfait au moment de la pose, Tune avec le voussoir, Tautre avec le prisme quadrangulaire adjacent; du moins, îl n'aurait lieu qu'en vertu de la comjHressibilité de la matière du prisme, qui lui permettrait de descendre un tant soit peu sous Tinfluence du poids du prisme superposé et du glissement occasionné par rinflexiôn dé la voûte. Nous né^igerons donc ici le frottement, ce qui revient à supposer normale l'action du prisme sur le voussoir. Déterminons maintenant l'intensité de cette action; pour cela, nous aurons à considérer l'équilibre du prisme triangulaire.
Afm de simplifier les notations, nous placerons l'axe des x dans le plan horizontal qui limite les prismes quadrangulaires à leur partie supérieure.
Les forces que reçoit le prisme triangulaire sont au nombre de quatre : ce sont les trois pressions exercées perpendiculairement sur ses trois faces longitudinales, et le poids de ce prisme; nous devons faire abstraction de ce poids, qui estime force infiniment petite du deuxième ordre à cause des deux dimensions infiniment petites du prisme, et ne doit point, |>Our cette raison, figurer dans des équations entre les autres forces qui sont infiniment petites du prenttër ordrCi .
Soît às^ le côté hypoténuse de la base du prisme triangulaire , les côtés horizontal et vertical do cette base seront dx et ity'; les étendues superficielles des faces correspondantes seront respecti-
36 SUR LÉTABLISSEMENT
vement Xds\ Xdx' et XJ/. N' désigoast comme ci-di93au3 Vimen-. site de la pression normale par unité de surface, rintemité de la pression exercée par le Youssoîr sur le priame sera N'Xd^\ et comme cette farce est dirigée, du centre àt courbure vers Tex*trados, ses composantes horizontale et verticale seront Kïids' smn. et — N'Xrfi' cos a.
Soit H' la pression horisontale par unité d^ surface ex^eccée par le prisme trianguiaire sur la partie adjaicente du massif, et que, réciproquement, celle* ci exerce sui* la faee verticale du précédent; la force exercée contre le prisme par la partie ac^acente d«i massif sera H'Xdy, et dârigée vers les x négatifs^ la convexité» de Yiàèment ds' étant supposée, du côté des x positifs.
Enfin» la face horizontale du prisme trimgukire reçoit une fovoe verticale qui n est autre chose q«te lie poida dia pvisniequa^ drangulaire c<MTesp(Midant, ou i^myXdx^ en, déaigamA par i le^ rapport de fat densité du massif à ceUe de la vouti^ de soirtQ que itff représente le poids de Tuiûté de vdkuoe du massif, aussi <|ue nous Tavons dit fdus haut.
Egalons à zéro les sommes des: projections, horiaoftiales et. verti* cales des forces qui sollicitent/ le prisme triangvdaire ;> nous aurons
NXds' sina — ïïXdy' = o ;; — }i'Xds' çosot -+- ivfyXdx' = o, ou hien
ou encore
. La pression ncHtn^e N' par unité de surface se taoïAVe ainsi déternnnéa; et de ce que eeUie pression et k pression H' ont pouff valeur commune la quantité i'Wj^ on. en conclut que le mode, de disposition des matériaux du massif dont nous nousi ocaupoi^9iic^9 donne lieu à la même distribution des ^es^ions, quei si lé massif était un liquide de densité correspondante autpoftda itu de L^uDÎtiJ de volume.^
DES ÀRCHëS de pont. 37
Noué dorions pu, comme plusieurs àQteurs, partir immédiat tement de Thypothèse de la fluidité; tuais U iicms a para bon ^'ifidiqaer à qoel mode de disposition répond cette hypodièse que BOUS allons adopter dans ce qui va suivre. Nous signalerons À ce sujet la teadauce d'un bon Dombre d'ingénieurs k remplacer généralement la disposition en gradins des parements extérieurs par cette résultant d\m extrados continu, avec assises horiçotitales coupées ^obliquement en leur intersection avec Teitrados. Cette disposition de Tappareil des têtes peut donner lieu à des pressions normdkes, mais» leurs intensités restent indéterminées; il ne faudrait que séparer les prismes triangulaires, des assises horisoQtales, pour diminuer notablement Tindétermination et se rapprocber de notre disposition idéale : si Ton avait à redouter la rupture de ces prismes t!n leurs angles aigus, On pourrait les éonstruire d\me matière plus résistante, et même, dans certains cas, les rattacher aux pierres supérieures, c'est-à-diris les faire alors de la même pièce que celles-ci.
On dira peut-être que , si Ion applique aux appareils consistant en assises horizontales et voussoirs en gradins les formules relatives à réquilibre du système formé de prismes disposés verticalement et reposant sur des prismes triangulaires détachés des voussoirs, ou celles relatives à Thypothèse de la fluidité des matières du massif, on ne courra aucun risque relativement à la stabilité de la construction proposée, puisque celle-ci donne lieu à des liaisons résultant du croisement des pierres des assises horizontales , que ne présente pas la disposition du massif en prismes verticaux, et que, d'autre part, le passage de Tétat fluide à Tétat solide établit des liaisons favorables à la stabilité, et sur lesquelles on n'a pas compté. Nous n'invoquerons point ces raisonnements, qui sont plus spécieux qu'exacts, attendu que les liaisons établies dans la construction ont pour résultat précisément d'empêcher les charges de se répartir sur les reins de voûte, comme elles le feraient si ces liaisons manquaient absolument, ou dans le cas de la fluidité. Nous avons indiqué, dans la note du n"^ 7, la nécessité d'assu-
rer la direction normale des pressions exercées par le massif; nous croyons donc ne pouvoir mieux faire, et siu: ce point nous sommes d'accord avec de savants ingénieurs, qu en adoptant rbypotl;^èse de la fluidité, et en engageant les constructeurs à se conformer, dans l'appareillage des parements extérieurs, aux conséquences de cette hypothèse, par Tadoptiôn de dispositions propres à la réaliser, ou à en choisir qui se rapprochent le plus possible de celle que nous avons décrite, et que nous allons soumettre au calcul,
APPLICATION DBS FORMULES D£ L'EQUILIBRE AU CAS OÙ LES PRESSIOHS NORlf ALS^ EXTERIEURES AUX VOUSSOIRS SONT PROPORTIONNELLES \ LA HAUTEUR DE LA CHARGE QUI S'ELEVE AU-DESSUS DE CEUX-CI.
9. Nous partirons de la valeur de N' obtenue dans le numéro précédent, et qui donne
En substituant cette vajeur dans les deux premières équations (/), on a
d.fjL cosa = — — dy\
d.fjL sina = -h- — dx' ^~ V — ^ "^) ^^'' Quant à Téquation (m), elle reste la même,
fi — li.==y — h — ^ e(i-- cosa), et réquation (n) devient
pz=:(i — : . {p)
iy-4-ccosa ^ ^''
Cette expression du rayon de courbure de Tcxti^ados offre un moyen très-simple de construire cette courbe : nous reviendrons
plus tard ftor ce sujet. Nous alloua mainteuani nous occuper de riutégration des équatioos différentielles ci-<lessus, ou mieui de la première d'entre elles, comme plus simple, ce qui suffira, puisque la valeur de ft résulte d'une intégration effectuée précédeomient.
On obtient immédiatement, en intégrant la première de ces équations, à partir des limites pi^, i et A relatives à fi, cosa et y,
fi. — fi cosa = ^ (y* — h'):
pour éliminer ft, multiplions par cosa Téquation qui donne la valeur de |X — fi», et ajoutons membre à membre avec celle-ci; il viendra
tt,(i.---cosa)=(/~A)cosa— -e(i~co8a)cosaH (/'—A*), (y)
En exprimant dans cette équation cosa en fonction de tanga
dont la valeur 6st^, on aurait Téquation différentielle de la
courbe extrados, qui semble présenter, pour l'intégration, plus de facilité que Téquation différentielle de Tintrados; mais il convient mieux d'obtenir l'équation de l'intrados (*), et dans ce but nous ne nous laisserons point arrêter par des difficultés qui sont plutôt apparentes que réelles.
Pour passer de l'équation [q) à celle relative à l'intrados, il suffit de remplacer y par sa valeur en fonction de j"; en effet, cosa conserve la même valeiu* poiu* les points des trois comtes situés sur une même normale à l'extrados, ces courbes étant parallèles en vertu de la constance de |-e. Or les coordonnées y et y' ne diffèrent que d^une quantité égale à la projection verticale de e; on a donc
y' =z y" — -ccosa:
(') Nous voulons parier ici de Y intrados fictif , que nous désignerons simplemenl par la dénomination d'intrados, à moins que nous ne prérenions du contraire.
m SUR L'ÉTABLISSBMÏNT
nous déduirons de cette é^attoii la râleur ittîtiale <ie j\ €n &i\^
«ttnt à la foi» y' :î=r: A et a r= o ; soit V «ette valeur At *f, il tient
équation qui, combinée avec la précédente par voie d^adclition et de soustraction, donne
/-f- A=/-H A" — e(i-f-cosa), y — h=y'' — A"-f- e{\ — cosa);
multipliant celles-ci membre à membre, il vient
/> — k* = /» — h"' — 2 e {y cosa — h") — e'{i — côs^ût);
substituant, enfin, cette valeur et la précédente dans Téquation (7), nous aurons
fAo (1 — cosa) = {/ — h") cosa -h ■: e [i — cosa) cosa
-+" Te ^y'' ~ *'') ~ ^ (/ ^^^^ — h')-^^ (1 — cos'a).
(Test ici le lieu de remarquer que si Ton considère la quantité e comlne étant du premier ordre de petitesse par rapport aux rayons de courbure , ou. aux coordonnées que Ton suppose de même ordre, la quantité ji^ est du premier ordre de grandeur par rapport à ces dernières : en effet, le deuxième membre de cette équation ne contient que deux termes ayant e en dénominateur, et qui sont pour cela du premier ordre de grandeur, réunis sous la
forme — (y^* — A"*); la difiTérence de ces termes reste en générai
d'un ordre de grandeur supérieur à celui des coordonnées « puisque le facteur de cette différence y^ — A" est en général d'im ordre de grandemr plus élevé que e : il faut donc que le deuxième membre, et par suite le premier, soient du premier ordre de grandeur, généralement. On observera que si, vers le sommet de
DBS ABCUBS DE POMT. . 41
rintxados, / -^ V devient taras-petit et nidma mii, le facteur 1 — cosa devient nul en même temps, et Tordre de pi» reste indéterminé vers le sanuDet , diaprés Téquation précédente ; mais l'expression (/>) de p' montre que le produit de e par jx, est constamment égal au produit de quanhîtér de Tordre des coonleoMèce. Nous sommes donc autorisé à regarder |Xo comme étant du premier ordre de grandeuir.
Posons, pour abréger et simplifier les discussions,
ia quantité, 9^ sera, d'après ce qui vient d'être dit, de Tordra de grandeur des coordonnées et des rayons de courbtipe. Multiplions
Téqu^tion ci-dessus par — :(ml par sa valeur -r-^, il viendra
1 tîOSa =•^1 — ; h T-r (/ V) COSflt -f- rr": f t — CÔSa) COSfa
; [f cosa — A*) j (i — cos*a).
Cette équation est du deuxième degré par rapport à cosa; mais observons que eos^a a'affecte que des termes du deuxième ordre, de sorte que si, comme nous sommes convenu de le faire, nous négligeons^ eeu« div troisièiDe', il suffira i^ ^ suj^Hit^er à cosa et à I --^ coMt Jeilr^ vaJwrs obtteo^eiqreQ'Q^g^fSMftl QW* du p«emj^ei;. .Oi5 U; valeur de i — doso; Qs|t ■■.. ; , » .. aw *r»i§^ prè$ du prenuer ordre, d'àprèsiFéqualion^ précé^^nte; d<0à ):^u4te'pour la valeur, de cosa, au même degré d*approximîition, i — - — ; — :
nous pourrons donc, en ne négligeant que les termes à^ troisi^n>e ordre, mettre le troisième terme du second membre sous ia forme . / ,
<îo&a,. . ,-... :.,
fi)
42 SDR L'ÉTABLISSEMENT
et écrire le dernier terme de ce membre ainsi qu'il suit :
Au moyen de ces valeurs, Féquation précédente deviendra
} — COSCL='- ^; h[t^.{/~A)~-/.
h e* y* — h"* «• i« /• — A'» 1 H- 7T-; ;; h ; ; — COsa;
on en déduit
ou bien en ajoutant et retranchant — h" dans la parenthèse du premier membre, et tirant la valeur de cosa,
casa — ■ ,,,,,,, ,, ' : — .« /A x/«^A-> ' (**)
Telle e3t réquatîqn différentielle de Tintrados qu!il reste à intégrer, en y supposant cosa exprimé en fonction de^ tanga ou de ~.
10. Avant de procéder à l'intégration de cette équation, nous aurons à exprima Je9 quantités (x et p^ puis ensuite e pu St ea fonction des ordonnées de Fintrados.
L'équation (m) donne immédiatement, au moyen de la valeur ci-dessus de y — A, •
jx — {^=^f — *''~*^ 3 ^ (' — cosa); et, si Ton observe que e est du deuxième ordre par rappoit à jx,
^n aura une expression de (i exacte jusque dans les termes du
deuxième ordre relativement à cette quantité, en mettant à la
place du facteur i — cosa la valeur obtenue plus haut en négli*
géant les termes du premier ordre; le dernier terme du second
membre de l'équation précédente pourra s'écrire - e ^ — ; — , ou, en vertu de Téquation [s), — (/• — A'*) : il vient donc
Quant à l'expression du rayon de courbiu*e, observons qu'en vertu du parallélisme des trois courbes, on a
substituant cette valeur et celle de f dans l'équation [p) dont nous chasserons les dénominateurs, nous aurons
(p'-h e) [iy'-h (i — i)e cosa] = e^ -f-^ {y" — i')-!- ô*( i —cosa)
— 3 ^* (' — ^ cosa);
divisant tout par i, et ayant égard à la relation (5), puis effectuant les réductions qui se présentent, il viendra d'abord
p' [y" -h ^^ e cosa] -f- ey' -h ^^ e'cosa = - -4- t (/'' — h")
-+- r - (1 — cosa) -h — e" cosa, 3 i ^ ' éi
puis ensuite
P"(r'-4-^^co8a)=iv'-«A'-4-^TH-^e(7'-A')
— j f- — ijc*c9sa.
et enfin
,• , a* -H iï -H , i-r^ « (/— fc') — 4 (?-«•) «• oo.a P = - —7 • («»)
y"-! ^ — e cosa
Nous reviendrons plus loin sur cette expression du rayon de courbure, el nous indiquerons le parti qu^on en peut tirer pour substituer à Temploi de Tintégrale de Téquation (b), celui des constructions graphiques. Actuellement, nous nous bornerons à opérer la vérification de cette expression, en observant qu'on doit pouvoir la tirer de l'équation (u) par la différentiation.
En effet, différentions cette équation en y faisant préalablement disparaître le dénominateur du deuxième membre, il viendra
Or, on a àf i^n: Siha rfs'^^irrrp" sina rfa; substituant cette dernière valeur à la place de ày\ Qt. supprimant ensuite le facteur commim sina^rfa, on aura.
Nous pouvons mettre dans le dernier terme du second nombre
au lieu de - — ^ — ,-la quantité 1 — cosa, diaprés ce qui a été dit
ci-dessus; puis, en transposant le dernier terme de la parenthèse du premier membre, et multipliant par f% nous aurons
3 p^ Ty^-^ izl e cosa] = q' — ^^eV -+- e' -^ ^-^ e{y'—h")
-^l\z — ') (1 — cosa)— ^ (3 - V — ^^'*- Or le dernier terme du second membre étant du deuxième
ordre, on peut mettre à ia place de p\ sa valeur obtenue en négligeant les termes du prenotîer, et l'équation donne ici 2 p" y'^zq^^ en négligeant ces termes; il en résidte que le dernier se réduit à
— %- l M cosa, et, par suite, la somme des deux derniers à
% ( ij — ^ (- — i\ cosa. Mettant ces valeurs, achevant
la réduction des termes en e*, puis tirant la valeur de p"^ il vient
cosa
I — t y H : — e cosa
valeur identique avec celle obtenue précédemment.
Nous pouvons déjà remarquer que, dans Thypothèse 1=1, cette expression devient plus simple que celle [p] du rayon de com*bure de Textrados. On pourra encore observer que, dans la même hypothèse, le second membre de Féquation (a) ne contient que des puissances paires de y\ d'où il est facile de conclure que la courbe qu'elle représente devient alors symétrique par rapport à l'axe des x. Le numérateur de la valeur de p" conserve le même signe pour des valetu^s égales et de signe contraire de j", tandis que le dénominateur change de signe. Le rayon de courbure prend alors des valeurs égales et de signe contraire, comme cela doit être , puisque les courbiures en deux points symétriquement placés par rapport à Taxe des x sont nécessairement de sens contraires.
Actuellement la détermination de la distance ^ du centre de gravité au milieu de l'épaisseiu* du voussoir devient très-simple : en effet, nous déduisons de l'équation [h)
on peut substituer ici p" à la place de p\ puisque leur différence est égale à e, et qu'il n'en peut résulter qu'une erreur du troisième ordre que nous négligeons; de plus, on peut à p" substi-
i6 SUR L'ÉTABLISSEMENT
tuer sa valeur, en y négligeant les termes du premier ordre, laquelle se réduit à -^,; alors il vient simplement
en ayant égard à la relation (5).
L'expression (ï) de l'épaisseur variable e se change de même en
Dans le système que nous considérons , les épaisseurs croissent donc proportionnellement aux ordonnées de Fintrados, et la constante e est l'épaisseur qui aurait lieu au point où l'intrados couperait l'axe des X si cette intersection était possible.
DEVELOPPEMENT DE L^EQUATION DIFFERENTIELLE DE L'INTRADOS.
IL Nous avons à former l'expression du coefficient différentiel -p;, dont la valeur en fonction de cosa est
dx
dx" V^^ * '
on a d'abord, en renversant les deux membres de l'équation (a),
cosa - /« — r--i-«(a^"— «) '
élevant au carré les deux membres de cette équation, retranchant Timité, et réduisant ensuite au même dénominateur, on aura, en supprimant les termes qui se détruisent, et négligeant ceux du troisième ordre,
1 dv"* 1 ' ( /• — A" (/« — A"»)"
Multipliant haut et bas par ç* et meUant le facteur commiu) j" — A^ en évidence, si, de plus, on pose
R. = (j"— A") [ 3 9» - (y" — A'«)] tr' -H A") H- 4 V ^ V'
-4eA'(/H-A'')-+-^e'0.'-H-A')
l'équation précédente deviendra
et l'on en tirera
Telle est Téquation qu'il reste à intégrer.
On sait que l'intégration duixe expression de cette espèce, dans laquelle R* est un polynôme du quatrième degré en y"^ consiste dans la réduction aux fonctions elliptiques. Sous la forme (a'], l'intégration n'est pas même ramenée aux quadratures, à cause de la valeur infinie que prend le coefficient de dy", quand j^' est égal à h", et c'est le cas qui se présente pour le premier élément de l'intégrale. Or la réduction aux fonctions elliptiques exige la décomposition du polynôme R* en facteurs du premier degré, et cette décomposition nous présentera une circonstance favorable à la
48 SDR L'ÉTABLISSEMENT
réduction de Tintégrale aux quadratures; nous commencerons donc par opérer la décomposition du polynôme R* en ses facteiurs du premier degré.
DECOMPOSITION DU POLYNÔME R< EN SES FAGTECRS DU PREMIER DEGRE. LIMITES DE LA COURBE INTRADOS DANS LE SENS DES y,
12. La question dont il s'agit se résout ordinairement par la détermination des racines du polynôme R* égalé à zéro. Dans le cas actuel» Tim des facteurs j'' — Il est déjà connu, et il ne resterait plus qu'à résoudre une équation du troisième degré; mais la forme des racines étant trop compliquée, lorsqu'on fait usage de la formide de Cardan, pour que nous songions à appliquer cette dernière , et l'exactitude rigoureuse de la valetu* des racines n'étant point nécessaire ici , puisque la valeur du polynôme n'est exacte que jusqu'aux termes du deuxième ordre inclusivement, nous devrons recoiuîr à un autre procédé, celui de la réduction des racines en séries ordonnées suivant les puissances de e, dans lesquelles nous négligerons les termes d'ordres supérieiu*s au second.
Nous commencerons par déterminer les parties de chacun des facteurs du polynôme du troisième degré , qui sont indépendantes des termes du premier et du second ordre : poiu* cela nous rcr chercherons les factetu^s du polynôme en faisant abstraction de ces termes , dont la suppression le réduit à
L'un des facteurs du premier degré est en évidence; en égalant à zéro l'autre facteur, il vient
Posons
on tirera de l'équation précédente,
de sorte que les deux facteurs cherchés seront H -+- y" et H — y (nous changeons ici le signe de ia différence y — H à cause du signe — qui affecte y^ dans le facteur du deuxième degré). Le produit des trois facteurs, en né^igeant les termes du premier et du deuxième ordre, est donc
Désignons maintenant par a'e, (S'e, y'e les termes du premier ordrç qui doivent entier dans la composition des facteurs que nous nous proposons de déterminer, de telle sorte que le produit de ces facteurs soit, à des termes près du deuxième ordre,
il s'agit de déterminer les valeurs de a', |3' et y de manière que les termes du premier ordre provenant du produit de ces facteurs soient identiques avec ceux qui font partie du polynôme proposéf,* quel que soit y\ Quant aux term'es de Tordre de y^ il n'y a point à s'en occuper, puisqu'ils sont nécessairement identiques av^c ceux du polynôme , en vertu de la décomposition que nous venons d'effectuer. Formons donc l'expression des termes du premier ordre que peut fournir le produit des facteurs ci-dessus : on aperçoit immédiatement que ces termes ne peuvent provenir que du produit du terme di^ premier ordre de chacun des facteurs, par Je produit des termes des deux autres facteurs qui sont de l'ordre de y . On a de la sorte, pour les termes dont il s'agit,
a'e (H-h/; (H— y')-t-^e tr'-hA*) ^—f) -^y'e {y'-i-h") (H-+-/).
Or la sonmie de ces termes devant être égale, pour toute valeur de y^j à la somme des termes du premier ordre qui entrent d^s la composition du polynôme du troisième degré, laquelle est
nous allons égaler les coefficients des mêmes puissances de y dans ces deux sommes, et en faisant abstraction du facteur commun e, nous aurons les trois équations de condition
La dernière de ces équations doime
substituant cette valeur dans la première et multipliant la seconde par A', il vient
((3' -t- /) Hfc' — (^' — /) H« = 4 ^ 7* — 4 A",
(jS' -f- /) HA' — (ly — /) *'* = — A A'»; puis en soustrayant,
(|3'-/)(H»A") = 4^V'; mais on a (6^)
H» — A''» = 2 q\ il en résulte.
et, en substituant cette valeur dans la deuxième des équations de condition,
(|S'-f-y')H-4-2i=iA' = — 4A', (^-t-/)H = -^i(,-4-.)A";
OU
on en tire
En ayant* égard à la valeur ci*dessus de cul en ^ et y\ puis se servant des expressions de la différence et de la somme de ces deux dernières quantités que nous venons de trouver, on formera les valeurs suivantes:
y=+-i th-
Actuellement, désignons les termes du deuxième ordre respectivement par a^e*, |S'^% y'^, de sorte que le produit des trois facteurs soit
(/-h*'-f-a'e-haV) (H-4-/-+-|S'^-t-|S'e«) (H— /-h/^-n/^);
nous aurons simplement à identifier les termes du deuxième ordre foimiis par ce produit, avec ceux du polynôme du troisième degré, puisque ceux du premier et ceux de Tordre de y' se trouvent identiques en vertu des calcids précédents. Remarquons à ce sujet que les telmes du deuxième ordre de ce produit proviendront d'abord du produit de chaque terme de cet ordre faisant partie d'un facteur, par le produit des deux autres facteurs débarrassés de leurs termes du premier et du deuxième ordre ; puis ensuite du produit de deux termes du premier ordre contenus dans deux facteiu^s différents, par Fautre facteur débarrassé de ses termes du premier et du deuxième ordre. Cette remarque nous permettra d'écrire immédiatement les termes du deuxième ordre dont il s'agit, et en les égalant à ceux contenus dans le polynôme du troisième degré, on aura l'équation
a'^evt» — /O -H/r^' {y"^V) (H—/) ~H/e« {j"^h") (H-i-/) j -f.a'|3'c«(H— /)-f-aV'^MH-4-/)H-^'/e'(y'4-A'') (
qui se décompose, en égalant séparément les coefficients des
mêmes puissances de y^, en les trois équations suivantes :
a'H' -f- (jS* -+- /) HA' -f- a' ((3' -4- y') H -f- /S'y'*' = ^ /i"
((3--+./) H - ((3"-/) h' -a' (,3'-/) -f-|Sy =z=1h- 4^1^',
La dernière de ces équations donne
substituant cette valeur dans la première, multipliant la deuxième par h!\ et transposant les termes connus dans les seconds membres, il viendra
((3'+/)HA'-C^-7*)H'=-a'(|3'+y')H-|3'y'A'+^-4^^A'-8i=iA"
soustn^ons la première de la seconde, nous aurons
mais nous avons trouvé plus haut les valeurs de (jS^ -f- y')H et ^ — y'; elles donnent immédiatement
(^-H/)H-h(i3' — /ji'^^ — jA^
au moyen de cette relation et de la valeiu* de a , le second membre de Téquation précédente se réduit à
»(,.-)r+ ;(..•). A' H-S^ZI^A-^o;
cette même équation donne par suite
Reprenant' la deuxième équation de condition « nous aurons, en vertu de ^ — y'' == o et des valeurs déterminées précédemment de«', ^ — y',^et>^,
d'où, en ayant égard à ia même équation ^ — y^ = o.
En vertu de cette égalité des valeurs de ^ et )^, celle de cl se réduit à zéro,
Dans le but de simplifier les calculs qui vont suivre, nous donnerons aux expressions de ^ et y'' une autre forme. Faisons disparaître le dénominateur H* de la parenthèse ; en tenant compte de la relation (6'), nous aurons
rènnissons les termes affectés des fadeurs V* et 7', il viendra finalement
Au moyep des valeurs de a', ^', y\ cl\ |3*, y'' que nous venons de déterminer, les trois facteurs dont nous proposions de former les expressions en négligeant les termes des ordres supérieurs au second, deviennent respectivement
H j-e ^-c-H— [(,-+.-H-i^)9«-j.A"je«-h/,
Posons pour abréger
les deux derniers facteurs deviendront
et leiu* produit pourra s'écrire •
de sorte que la valeur {z) de R* prendra la forme
13. Les limites de la courbe intrados dans le sens des y, s'obtiendront en posant -~ = o, condition qui sera remplie, d'après
l'équation (a'), lorsque l'on aura R = o. Or la décomposition que nous venons d'opérer, de la fonction R* en facteurs, donne le moyen de déterminer les limites dont il s'agit, en posant chacun des facteurs égal à zéro : il en résidte , poiu* valeur des ordonnées maxima et minima de la courbe, les quantités suivantes, que nous disposons par ordre de grandeiu*,
L'ordre de grandeiu^ de ces quantités ne parait pas évident si l'on ne remonte point aux valetu^ de et H en fonction de h", et si l'on ne se rappelle pas que h" est positif d'après la nature de la question. D'ailleurs l'ordre que nous venons d'établir est simplement subordonné aux trois conditions suivantes
qui évidemment se réalisent dans le cas de ia question qui nous occupe.
Nous allons faire voir maintenant que la courbe se compose de deux branches séparées. Tune située tout entière du côté des y positifs, et comprise entre deux parallèles à Taxe des x menées
aux distances A"" et ô H r- e, Tautre située du côté des y négatifs, et comprise entre deux autres droites parallèles menées aux distances — f A*" -h a ^-r^ e\ et — (9 — ^-r- e J.
En effet, la condition que le radical R reste réel exige que le polynôme R* soit positif. Or ce polynôme est du quatrième degré en y* et le terme affecté de y^^ est négatif : si Fon fait y*' z= zt oo , la valeur de R* devient infinie et négative; elle ne change de signe que lorsqu'on fait décroître la valeur absolue de y en la ramenant
aux limites extrêmes — f © — ~- «) , H- ( © ^- —r- e\. Donc
la courbe ne contient aucun point situé en dehors de ces limites. La valeur de R* conunence à devenir positive lorsque j" atteint ces valemrs, puisqu'il n'existe pas de racines égales; et, si l'on continue de faire décroître la valeur absolue de y ^ on voit que R' reste positif jtisqu'à ce que y atteigne les valeurs où il change de
signe, ce qui a lieu aux limites — ( A" -h 3 —^ e\ et -h- A"'; le
signe de R* se trouve changé entre ces limites et devient négatif. On doit conclm*e de cet examen que la courbe est composée de
deux branches. Tune située entre les limites — f 9 — ^^ e\ et — [A* -H 2 ^-r- e\ , l'autre comprise entre les limites © -h -^^ e
et A"; etqu'enoutrel'espace compris entreleslimites — ( A^'-t- 3 ~^^
et -H A*' n'en renferme aucun point, non plus que les espaces situés au delà des limites extrêmes.
L'équation [a) fait connaître l'ordonnée du point où la tan-
gente est parallèle à Taxe des y; en effet, en ce point on a — = o,
et réqnation (a') fournit, pour satisfaire à cette condrtion, ia rela*
tion
d^où l'on tire
Les limites obtenues et la détermination des points où la tangente est verticale vont nous permettre d'aborder la discussion de la forme de la coiu-be, et de fixer l'usage que l'on devra faire du double signe du radical R de l'équation (a ). Observons qu'en vertu de ce double signe la courbe est symétrique par rapport à un axe parallèle à l'axe des y, dont la position ne dépend que du cboix de la constante introduite par l'intégration, de sorte qu'ayant déterminé les circonstances de la forme de la courbe en ne considérant à la fois qu'im seul des deux signes, Il suffira d'avoir égard à la symétrie, pour se figurer les parties de la couii)e que l'on n'aura point étudiées.
Occupons-nous en premier lieu de la branche située dm côté des y positifs, et partons de y" = h". Supposons d'abord R positif ou considérons le signe -h dans Texpression {a!) de dsf. Les liantes que nous avons reconnues, de la valeur de y\ nous obligent à faire dy" positif; or le numérateiu* de dx" est positif, tant que Ton a y"* <C 7* -f- ( A" — e)\ la valeiu* de x" croît depuis y" = h" jusqu'à y" = \/ q* -h {h" — c)*. A cette valeiu* de y\ le numérateur devient nul et change ensuite de signe, ce qui rend dx" négatif audelà de cette valeur; ainsi l'abscisse décroit d'abord depuis le
point dont il s'agit, jusqu'à la limite -f- ^^ e, dey" : or cette
limite ne pouvant être dépassée, il faut faire décroître y"j et afin que la comte ne s'arrête point brusquement, nous devons changer le signe de R de sorte que -^ se trouve encore positif. De cette manière le numérateur reste négatif, jusqu'à ce que y" ait ^. atteint .dans sa décroissance la valeur -h V q* -h [h" — e)*; et
Tabscisse continue de dimmuer jnsqa'en cet endrok : mais au delà, le numératettr reprend sa valeur positive, et le rapport —
étant toujours positif, x" croît de- nouveau jusqu'à ce que y"" ait atteint la limite h". Au delà de ce point, il faut faire croître y", c estrà-dire prendre dy" positif et aussi le signe de R ; il en résulte de nouveaux accroissements de x" égaux aux précédents, pour les mêmes accroissements dy" et les mêmes valeurs de y". La comrbe présente dés lors une reproduction périodique des mêmes formes qui lui donne quelque ressemblance avec les cycloîdes allongées. Si Ton considère la branche située du côté des y négatifs, on reconnaîtra sans peine qu'elle présente une forme tout à fait analogue à celle de l'autre branche; et cette branche serait exactement symétrique avec la première, par rapport à l'axe des x, si l'on avait i = i . On reconnaîtra de plus que la condition de continuité dans les parties de cette branche exigera que l'on choi-
sisse le signe de R de manière que -^ reste positif comme dans
^la première. Et l'on conclura de cette convention que le signe de R sera nécessairement contraire dans les parties correspondantes des deux branches.
Nous nous sommes étendu longuement sm* la discussion de la forme des deux branches de la courbe , quoique nous ne devions utiliser qu'une faible partie de fune d'elles; mais nous avions à
fixer relativement aux signes de — et de R des conventions dont
l'une nous servira pour l'intégration de l'équation (a'), et l'autre , pom* la vérification des coe£Bcients que nous présentera l'intégrale de cette expression.
BÉDUGTION DE LUIîTÉGBALB DE L'EXPRESSION (a) AUX QUADRATURES.
14. Nous avons reconnu, après avoir établi cette expression, l'impossibilité de lui appliquer la méthode des quadratures, et nous en avons indiqué la cause , dans la présence du factem* V y" — A"
au dénominateur de la valeur de dx''. Nous aurons recours au procédé de l'intégration par parties, poiu* faire disparaître cette difficulté, en faisant passer le facteur dont il s'agit du dénominateur au nimiérateur.
Posons
v«= (/-+- r-+- 2 ^ e) (e« — (/ !zl e)«),
la valeur de R deviendra
et l'équation (a') pourra s'écrire
± dx' = 9'-»*'^-H«'-(^--n ..
En intégrant et séparant les intégrales, il vient
Effectuons la première intégration par parties, nous aurons Or on a
JvKryzTK' v J \ V
, 1 av
dV iViV 1 d.V
V V* i\* aV V"
D'un autre côté, en appliquant à l'expression de ¥• la dilFérentiation logarithmique, il vient
et, par suite,
'^[9.-(/-;=i,)'pv'/-Ki.-+.^.'
Âu moyen de ces expressions, on aura finalement
±ix'=:2{q^ — 'ï Ve H- e*) ^ ^
— 2 (9" — 2 Ve -t-
.X /• ^r?^^"ày'
\//^^.-..lZie[e.(/-l=ie)'y
On devra remarquer qu'aucun des éléments de ces intégrales ne devient infini pour des valeiu's de 'f comprises entre V et ^ 9* ■•" ('*' — ^)*' ^^^ séides dont nous ayons à faire usage , et que , par conséquent, ces intégrales sont propres à recevoir l'application de la méthode des quadratures. Mais nous renoncerons à faire usage de l'expression précédente de x"^ qui serait plus longue à calculer que celle que nous obtiendrons plus loin, dût-on, dans celle-ci , calculer par quadratures les deux fonctions elliptiques de première et deuxième espèce qu'elle renferme.
RÉDUCTION AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES, DE LUNTBGRALB DE L*BQUATION DIFFERENTIELLE DE LA COURBE INTRADOS (').
15. Nous mettrons d'abord la valeur de E* sous la forme d'un carré parfait, en posant
{y" - h') (/-H A' -H a ^ e) = [e« (/ - '^ e)'] z\ [e') relation de laquelle on tire
et qui donne, en effet, pour la valeur de R", d'où
■ R=[e.-(/-ir:: .)•].. (/o
Nous supposons ici R susceptible de prendre le double signe; et comme y" ne peut recevoir de valeurs qui rendent négatif le facteur de Zy ainsi qu'il résidte des limites fixées précédemment, il suit de là que z a nécessairement le signe de R.
Tirons actuellement de l'équation [e') la valeur de y* en z; il viendra d'abord, en développant,
f^^h''^2-r-je—:k -r-h'e = e«^» — /'z* -Ha --p-e/^'
(*) Ceux des lecteurs qui, étrangers à la théorie des fonctions elliptiques, crain* draient de ne pouvoir suivre les développements dans lesquels nous allons entrer, pourront passer inunédiatement aux n"" 29 et 30, où nous indiquons une solution numérique et une solution graphique fondées sur la détermination de l'intrados au moyen de son rayon de courbure.
puis, en ordonnant.
t 2 izi A'e -H A"'.
Multiplions tous les termes de cette équation par i -h z*, et résolvona-la par rapport au produit y' (i -+- z") considéré comme étant riaconnue, il viendra
Désignons par Z* la cpantité comprise sous le radical, nous aurons, en supposant provisoirement Z susceptible de prendre le double signe,
/(.-Hz') = --^-.(i-z')-hZ. [g')
Or diflerentions Téquation (e') , nous aurons
ou, en réunissant les termes affectés des mêmes différentielles et divisant par le facteur commun a,
[/HilleH-.'(/-i=ie)]rf/ = .[e«-(/-lifie)']rfz;
mais le premier membre étant ordonné par rapport à y'^ et le facteur de dz dans le second étant remplacé par sa valem* tirée de (/'), cette équation devient
«2 SUR L'ÉTAB'LTSSEMENT
d'un autre côté, le facteur de dy' est égal à Z, d'après {g') : on a donc
Zd/~^dz, d'où
Nous avons établi, dans le n"^ 13, que le rapport — doit rester positif; il suffira, pour faire usage de Téquation (A'), de donner à Z un signe tel, que le rapport — soit également positif.
Formons actuellement la valeur de Z* : cette valeiu*, en ordonnant par rapport à z, et supprimant les termes qui se détruisent, devient
^ iiZ^%.^3 izi A''^ ^- A\ ou bien
z« = ^*e'-hz»[e'-f-A"'-f-2 iiii A*e — 3 ^^%']
Nous avons encore besoin de décomposer la quantité Z' en ses facteiu*s du second degré; mais, pour cela, nous calculerons préalablement la valeiu* du coefficient du deuxième terme : formons donc le carré de la valeur de équation [c); nous am*ons, en négligeant les tenues du troisième ordre,
e«=H«-2ii:iA'c+^.[(i+^i + i')29*~^.A'"+(i-h.?A'"]e'.
En ayant égard à l'équation (6'), puis opérant les réductions, cette valeur deviendra
Or ies termes qui suivent 8*, dans le coefficient du deuxième terme de la valeur de Z*, sont
en faisant la somme de ces termes et de B% le facteur de t^ de* vient
et la valeur de Z* se réduit à
mais au lieu de décomposer cette expression en facteurs, il sera plus simple de décomposer en facteurs le produit Z'B*. Posons, pour abréger,
il viendra.
il suffit d^égaler à aéro le second membre dé cette équation, et d'en tirer les racines; ces racines sont
Posons encore
6A SUR t'ÉTABJLISSEMENT
aoua aurons, pour expression du pol^xiome ci^essus décomposé
en ses facteurs,
V 0* rT- (2* 0* -f- m* -h K) {z^ 0* -4- m» — K).
Il reste à calculer les quantités /n* -f- K, m* — K, et par suite m*, puis le produit — a* 0". EffectuonsJes deux dernières do ces opérations sans réductions d'abord; nous aurons, en écrivant séparé* ment les valeurs des trois termes dont se compose — n* 0%
iii' = -h(A"''-+-^')'— 4(A'''-l-9')A'e-h2 1^ (A"»-f-9')c>
i-+--i-hi
e«A''=(A"''-|-29*)r'-j-a ^A'^AV — A"'e'
ae.lZ:iA''c= ■ — 2^(A"'-h2 9«)A'c h- ^ IZ^ A*' »•
Ajoutons ces équations membre à membre, il viendra, toutes réductions faites, et à cause de K* = ml — v? 0',
K«=9* ^ 9. A'e-h -Ç- (- , ,. ij H- -^ (2«- .').
Pour extraire la racine, nous mettrons en évidence le facteur 'ç*, ainsi qu'il suit :
. K*== ?* j 1 — '-r ^,^ -1^ e^ :[j t— ^^ — IH- ^ (21^ 4J |.
Elevant les deux membres de cette équation à la puissance -, nous aurons
et enfin
Soient maintenant
nouB «XTons, au moyen. de la vileur de m',
et la valeur de Z* 0* décomposée en ses facteiu*s pourra s'écrire
ou bien encore
Z.e- = M-N-(,-h^^),(.-H^|). „ d'où Ton tire
Soit (^ un ang^e auxiliaire lié A z par la relation
lang^=-z. (r')
le même angle sera donné en fouction de y' par Celte autre équation déduite de {e'), '
On aura réciproquement, pour la valeur de z en fonction de ^,
z = - tang(p; {p')
cette équation donne, en difiérentiant,
Substituons la valeur (p') de z dans f équation (/w'), il viendra
Z =z zfc ^ \/(n- ~ tang»^ ) (iH- tang»(p).
Divisons membre à membre Téquation qui précède par celle-ci, nous aurons
dz / 1 d^
co«* ? V ( " -*- jjj; *«ng*^) (» -Htang»^)
OU
dz 1 df
C08*P H 8iD*0
En remplaçant ici cos*^ par sa valeur i — sin*<p, il vient
iz ^ 1 dÇf
Posons
(*) La valeur de c* peut être mise sous une autre forme. En effet, les équations {h^) donnent» par soustraction,
d'où
et, ensuite.
C* tag .
N»H-aK
et, de plus,
A* = i — c*sin»(p, (r)
nous aurons
L'équation (A') comparée à cette dernière donnera
Y — T — mT' ^^^
en faisant abstraction du double signe; et, si nous voulons que cette formide soit générale, il suffira que nous disposions des
valeurs de ^ et A, de telle sorte que le rapport -^ soit toujours
positif, attendu que ^ doit toujours Têtre , d'après ce qui a été
dit au n** 13.
Voici comment on fixera les signes de ces variables : nous avons vu qu'en vertu de Téquation (/'), ^ doit avoir le signe de R; il résidte de Téquation (n'J que tang(p doit avoir aussi le signe du radical R. Or, d'après la variation de signe de ce radical que nous avons reconnue vP 13, il faut que tang^ soit de même signe
que le rapport —^ le sens positif de à$^ étant celui que Ton obtiendrait en suivant le contour de la courbe depuis les % infinis négatifs jusqu'aux x infinis positifs.
Ainsi, dans la branche inférieure, on fera varier ^ de o^ à go**,
pour y" compris entre A' et ô H r- e, ce qui donne tang (p positif : en faisant décroître f depuis la limite Ô H r-e jusqu'à
la limite inférieure A", ^ variera de 90** à i8o**, et tang^ sera négatif; il est clair qu'en faisant de nouveau croître et décroître y*, les mêmes valeurs de tang ^ se reproduiront périodiquement avec les mêmes signes, et que ^ pourra varier de 1 80** à a 70**, puis de 2 70"" à 36o®, et ainsi de suite, à cause de tang (1 80® -+- ^) = tang^. On aura donc à(p positif dans toute l'étendue de la branche infé-
rieiu^e , et pour que — soit toujours positif, il suffira que l'on prenne
dans cette branche le radical A avec le signe +.
Dans la branche supérieure ou située du côté des y négatifs, en faisant décroître ;y'' depuis — ( A'^H- 2 ^-r^ e\ jusqu'à — f — ^-r^ e\ ,
on pourra faire varier ^ de o^ à — 90', ce qui rendra tang^ négatif, comme cela doit être ; puis , en faisant croître y" depuis la limite
supérieure négative — f :— e\ jusqu'à la limite inférieure
négative — Ui --\- 'x -^"t— c], on devra faire varier ^ de — go""
à — 1 80**, ce qui rendra tang^ positif: en continuant ensuite à faire décroître , puis croître successivement y", ^ prendra les valeurs — 2 yb"*, — 3 60®, etc. On aura donc d<p négatif dans toute Féten-
due de la branche supérieure, et pour que — reste positif, il
faudra que Ton prenne A négatif dans toute Fétendue de cette branche.
En résumé, il faudra, pour pouvoir faire servir Tauxiliaire (p à représenter la moitié de Fétendue indéfinie de la courbe intrados , lui attribuer des valeurs croissant indéfiniment à partir de zéro, dans la branche inférieure, en donnant à A le signe H-; puis lui donner des valeurs négatives de grandeurs absolues indéfiniment croissantes, en faisant  négatif dans la branche supérieure. L'autre moitié résultera de la symétrie avec la première par rapport à un axe vertical passant par le point correspondant à Ç = o. On remarquera toutefois que les intégrales j «- et J A(j(p que fournira
Fintégration conserveront les valeurs absolues qu'elles prendraient si A et FampUtude (p étai^oit positives, puisque les deux quantités A et d^ sont toujours de même signe. Fixons encore le signe de la fonction Z que. nous avons laissé arbitraire dans Féquation {g) ;
observons que, d'après Féquation (A'), -— doit être poâdf, et que
la différentielle de z tirée de (/>') donne dz de même signe que d(p, c'est-à-dire positif dans la branche inférieure et négatif dans la branche supérietHre : il faudra donc que Fon fasse pareillement Z positif dans la première et négatif dans la seconde; mais nous
n'aurons point à avoir égard à cette circonstance , attendu que Z n'entrera dans les équations finales que sous la forme Z' et — .
Au moyen de ces conventions, Tusage.des doubles signes se trouve fixé, et il deviendra facile de procéder plus loin à la vérification susmentionnée des coefficients de Téquation de la courbe intrados.
16. L'équation (a') contient, outre le facteiur -~, un terme en
y* qu'il s'agit également de transformer. Or on tire de Téquation (j'),
Z-LJ.e(.-^.')
et il vient, en élevant au carré.
rf'i
puis, à cause de Téquation (A'), on en déduit
Au moyen de la même équation (A') et de cette valeur, l'équation {a') devient
daf = fa* -h (A — eV ha — e dz J
-(¥)-«-(iii;)'7-r
Sous cette forme, on voit qu'il n'y a point à se préoccuper du signe de Z, puisque cette quantité n'entre qu'au carré et en diviseur de dz, et qu'il n'en résulte que des factemrs posittis. Transformons d'abord le terme algébrique : le coefficient de dz , dans ce terme, ne contenant que des puissances paires de z,.son déve-
loppement sous forme de fractions ne devra contenir également
cpie des puissances paires de z; on pourra donc poser
La réduction au même dénominateur donne
et Ton en tire, en égalant les coefficients des mêmes puissances de 2*,
et, par suite, a' == a : il vient donc
1 — z* -, d% dz
dz ^=2
or, on a, par les formules connues de réduction, d'où, en différentiant,
dz 1 2 dz
ajoutant membre à membre cette équation et Téquation différentielle précédente, il vient, pour Texpression transformée.
-' rf^=rf-i
Transformons le facteur — du deuxième terme du second
membre de (('), et pour cela reprenons la valeur primitive de Z% nous aurons
z* ; r^e^H-Si'm'-l-A»
extrayons maintenant de la fraction qui forme le second membre de cette équation « la partie entière qu'elle contient, la division donnera
Enfin, extrayons aussi la partie entière de la fraction f — ^ j qui affecte le dernier terme de Téquation (f'), nous aurons
et, par suite.
Au moyen de ces diverses valeiu*s, Téquation [t') deviendra
ix'=[,-+(»--e).]i-[e.-,(e--»-)^-(e.-».)^]i
OU, en réunissant les termes de même foitne,
17. Exprimons maintenant les facteurs qui contiennent z* en fonctions de ^, nous aurons d'abord, en vertu de Téquation (/)'),
iH- ^* = 1 H- ^ tanij*0 = ^ — ; -,
ou
j 8* — (6* — N») sin'Ç
on en déduit
I cosf^
Posons
il viendra
