RÉSUMÉ

CONCERNANT L'BTABLISSEUBNT DES' ARCHES DE PONT DANS LESQUELLES LA VO€tE ET LE MASSIF PEUVENT ETRX SUPPOSÉS D'EGALE DEN3ITÉ.

Ii6. Nous nous proposons de présenter ici, d'une manière succincte, la suite des opérations à eflFectuer pour déterminer complètement une arche de pont, afin que les ingénieurs qui n'auraient pas lu notre mémoire, ou qui, l'ayant lu, auraient perdu de vue la marche que nous avons suivie , puissent cependant procéder sans difficulté aux diverses opérations qui se rattachent à l'établissement des arches de pont. Si, pour ne pas augmenter le nombre déjà considérable; des. répétition., il noua arrive de renvoyer à

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certains chapitres du mémoire, nous aimons à croire que le lecteur pourra comprendre sans peine ce qui fera Tobjet du renvoi.

Les notations ayant été. reproduites au commencement du n^36, nous renverrons à ce numéro pour ce qui les concerne.

Dans les applications, on connaît ordinairement les épaisseurs des diverses couches de matériaux de densités différentes de celle du massif, qui forment la chaussée proprement dite; on devra commencer par calculer l'épaisseur d'une couche ayant la densité du massif, et dont le poids serait égal au poids des diverses couches dont nous venons de parler. L'axe des x devra être placé audessous du niveau de la chaussée , d'une quantité égale à la différence entre l'épaisseur totale des couches données et l'épaisseur calculée, cette dernière étant supposée la plus petite; dans le cas contraire, il faudrait placer l'axe des x plus haut que le niveau de la chaussée, d'une quantité égale à la même différence.

USAGE DBS TABLES.

Arches incomplètes, dites en arc de cercle. — Les données sont :

/ la flèche, g la demi-ouverture, et Y, l'ordonnée du sonmiet de

l'intrados réel. (Si l'on se donnait l'ordonnée Yi des naissances,

au heu de Yo, on en déduirait Yo = Y^ — /). A l'aide de ces

données, on calculera les rapports 7 et -^; et la Table I (fin du

mémoire) fera connaître, par voie d'mterpolation, lavaleiu* appro-

chée de -— , d'où l'on déduira celle de Q*.

Pour corriger la valeur approchée de Q\ il faut obtenir une valeur approchée de l'épaisseur fictive e. La détermination de cette dernière dépend d'une nouvelle donnée, qui est Fune ou l'autre des quantités |x, et h.

i^ Soit donnée la quantité jx, qui mesure l'intensité des pressions dans le joint des naissances, et que l'on pourra prendre

égale au — de la valeur .de (i inscrite à la dernière colonne du

tableau du n^ 44, si les matériaux dont on dispose sont compris

dans ce tableau (autrement il faudrait déterminer (f^ par des expériences spéciales] : on fera

puis, où aura

^-à'-HÎe

Le calcul de e se fera en négligeant d'abord -e au dénominateur

du deuxième membre, et mettant ensuite dans ce dénominateur, à la place de e, sa valeiu* trouvée; la seconde valeur obtenue sera d'une exactitude su£Bsante. Pour que cette valeur de e soit admissible , il faudra que la quantité h = h" — e qu'on en tirera ne soit pas négative, et soit au moins égale à celle que réclame la pratique.

2® Soit donné h au lieu de jXj, on aura

e. = Yo — *, *' = Yo, e = h'' — h, ' (m)

et Ton poxirra ne calculer les valeurs exactes de jx» et fti par les formules

^ = »' + 2:|., ^ = ^+y + iMiî£l, („)

qu'après avoir obtenu les valeurs corrigées deQ\ h" et e, comme il va être dit dans un instant.

La solution ne sera admissible qu'autant que (x, sera compatible avec la nature des matériaux employés.

Dans l'un et l'autre cas, à l'aide des valeurs de ^ et de --?; on tirera de la Table II, la valeur correspondante de — ^; et, de

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ceUe-^ci^ jomte k la valeur approchée de e; on déduira la correc*

tien ^ (Q*) de la constante Q*.

Ayant ajouté cette correction à la valeur approchée de Q*, on se servira de la valeur corrigée , pour calculer h" par la formule

et Ton pourra calculer une valeur plus exacte^de e en faisant usage des formules précédentes et des vsdeurs corrigées de A'' et Qv On aura d'ailleurs dans le premier cas A == A" — e, e, = ¥« — A, et dans les deux cas,

q* =r2efio = 2rQ*-4- A'c — ^c*1. (vi)

Arches complètes, dites en anse de panier. — Les données sont ici deux des trois quantités /, g et Y» prises aititrairement. ( On ne peut pas se donner ces trois quantités simultanément et isatisfaire en même temps aux conditions de stabilité qui caractérisent notre théorie.) Ayant calculé le rapport des deux quantités données, ta Table III fera connaître le rapport de Tinconnue à Tune des données, d'où Ton déduira l'inconnue elle-même. A la vérité, la solution n'est qu'approchée, théoriquement parlant;; mais nous avons montré, n° 40, qu'on peut, en pratique, la regarder comme exacte , les erreurs restant toujours au-dessous de celles que comporte l'exécution. Au reste, nous avons donné, dans ce même numéro, le moyen de corriger la solution, à l'aide des Tables IV etV; maisi, nous le répétc^s^t il ne sera jamais -nécessaire d'effec^^ tuer cette correction.

La solution déduite des tables ne- devra être acceptée qu'autant qu'elle pourra satisfaire cd'aiUeurft à> de ^ certaines 'conditions peia* tives au débouché , au passage des bateaux , au niveau de la chaussée^ etcl) Autrement;, il faudrait modifier l'une; des données»

Pour déterminer l'épaisseur e, il est nécessaire de joindre une nouvelle donnée ft, ou h aux précédentes.

1** Soit donné fi; d'après les mêmes considérations ^que dans le

cas des arches incomplètes, on pourra calculer e par les formules

''^-^'hei;^,]

(on réduirait, sans erreur sensihle, le dénominateur de ia valeur de ue kfi, — y",). Mais il sera préférable d'employer les suivantes:

la seconde de ces valeurs s'obtiendra en négligeant d'abord - e

au dénominateur. Les ordonnées h" du sommet de l'mtrados fictif et h du sommet de l'extrados et l'épaisseiur à la clef e« se calculeront par les fonnules

*' = /.-/-Î7jg^«*. h=h'-e, e. = /.-/- A. (,x)

En supposant ^1 notablement plus grand que y^^ il faudra, pour que la solution soit admissible, que l'ordonnée h ne soit point inférieure i une certaine limite fixée par les conditions particulières à l'établissement de la chaussée.

Si l'on veut plus d'exactitude , on recalcidera e par la formule

e = • . (ix bis)

2^ Soit donné h au lieu de |Xi, on aura, en vertu des iormules précédentes,

/. = Y„ eo=/.— /— A, j

Vf Jf T * 7» / ^j ^ Ltt I l

et Ton calculera ft^ par les formules

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