XI

' mm ■*

Il faudra que la valeur de jXi ne soit pas incompatible avec la résistance des matériaux; autrement, on devra modifier les données.

Dans les deux cas, connaissant |Xo,.on calculera

Si, dans le premier cas, on a évité de calculer jx,, on emploiera la formule

(,« = 2 [q* -+- Ve — ^e'j, (xm)

qui donnera 9' en fonction de Q* et ofirira, d'ailleurs, un moyen de vérification.

POUSSÉE DE LA VOÊTE ET DU MASSIF, INCLINAISON DU JOINT DES NAISSANCES, VOLUME DES MATlilUAUX.

Arches incomplètes, dites en arc de cercle. — L'angle ai du joint des naissances avec la verticale , s'obtiendra à Taide des formules suivantes :

l(wv)

A la valeur précédente dé y^, on joindra celle de Tabscisse x'y^ qui se déduit des équations

x", = g -+- 2 Si sina,.

Arches complètes ou en anse de panier. — On obtiendra Fan^e ai par la fomude

cota, = r 1, (xvi)

et les coordonnées du point inférieur de Tintrados fictif, par les relations

Dans les deux espèces dWches, la poussée T| exercée normalement au plan de joint des naissances contre les piles ou culées est

T, = isXejx,; (xvm)

les coordonnées du point d'application de cette résultante sont Xi = a?*i H — esinai, 7i=/i — -ecosa^;

les composantes horizontale et verticale de T, sont d'ailleiu^s T, cosai et T^ sinût,.

Les culées sont , en outre , soumises aux actions horizontales produites par le massif qu'elles encaissent; la résultante U de ces

actions dépend des ordonnées des points supérieur et inférieur

de rintrados, qui sont

'(xx) y\ = y*i — e cosa, = ;^i e cosa, ; i

et l'on a

U = «X ; [y:^ - y:^). (XXI)

Cette résidtante U agit horizontalement dans le plan dont fordonnée est

Enfin le volume V de la demi-arche et de la partie correspondante du massif a pour expression

V =: A^jx, sina,. (xxui)

Dans les arches complètes on a sensiblement sina^ = i . (Voir n^ 41 les remarques relatives à la largeur des piles.) On peut obtenir une vérification relative aux poussées horizontales par Téquation suivante :

tsrX^IXo = Ti cosa, -h U, (xxiii 615)

qui se déduit de la considération de l'équilibre des forces qui sollicitent Tensemble de la demi-voûte et du massif, projetées horizontalement, ou des équations du n^ 9.

Les intensités, directions et points d'application des forces T, et U doivent servir de base à rétablissement des culées; il y aura encore à examiner quelles sont les plus grandes variations que peuvent subir ^es quantités sous Tinfluence des surchaiges accidentelles, tassements^ etc., pour procéder avec sécurité à Téta*

blissement des culées. Cependant, si Ton procède à Tégard de celles-ci comme nous Favons fait à Tégard de la voûte , il pourra bien être suffisant de s'en tenir aux charges moyennes.

CALCUL DBS COORDONNEES, INCLINAISONS DES JOINTS, RAYONS DE COURBORE,

EPAISSEURS, ETC.

* Les calculs suivants supposent le projet bien arrêté : on n aura besoin de les effectuer que lorsquMl s'agira de passer à l'exécution. x", y et p" étant les coordonnées et le rayon de courbure de Tintrados fictif correspondants à l'angle a d'un plan de joint avec la verticale , et Ax*", ÙLy*^ Ap'' les accroissements finis que prennent les coordonnées et le rayon de courbure lorsqu'on fait croître a d'une quantité finie Aa; on a, pour calculer ces accroissements, les formules

p H--Ap p — — .

^-h-p^sinfa -H- A«| Àa

(xxnr)

A/ = (p" -h ; Ap") sin(a -h ^ Aa) Aa, ÙLx' = (p'' -rH ^ Ap'') cos^a -h ^ Aaj Aa,

dans lesquelles l'angle A a en dehors des signes sinus et cosinus doit être exprimé en rapport d'arc au rayon. Cela se fait en multipliant le nombre de degrés correspondant par -— ( tt désignant

le rapport de la circonférence au diamètre) : on évite ce calcul en se servant des tables que l'on trouve pages 21I1 et suivantes des Tables de Callet. Les trois dernières des formules précédentes

sont seulement approximatives, et d'autant plus exactes que A a

est plus petit.

Dans la pratic[ue, on prendra A a égal à a^ ou 3^, et Ton fera varier Tangle a de la même quantité A a, du moins pendant une grande partie des calculs. On devra commencer ces calculs en attribuant k cty y" eX x" les valeurs zéro, A" et zéro, qui ont lieu au somniet de Tintrados fictif. Chaque fois que Ton aura obtenu une nouvelle valeur de p"^ il conviendra de l'ajouter à la précédente , et de prendre leur moyenne arithmétique ; le résultat devra

dififérer très-peu de la dernière valeur calculée de p" H — Ap",

ce qui oflrira un moyen de vérification. (Voir n® 42.)

On déterminera ensuite l'épaisseur vraie e mesurée suivant la normale à l'extrados, par les formules

2<î = î^/ou2^ = ^^/, ■ e = e-H2^; (xxv)

puis les coordonnées X, Y de l'intrados réel et celles x\ y' de l'extrados, par les relations

X =zy" -+- ^ Sjcosccy y =zy" — e cosa, \

I (xxvi) X = a?'' — 2 ^ sina, x' =z x" -^ e sina. )

Les valeurs de y" et p" sont vérifiées chaque fois, ainsi qu'il vient d'être dit; mais les autres quantités ne l'étant pas, il conviendra, à leur égard, d'employer le procédé des différences.

Parvenu à une valeur de a qui excède l'angle ol^ déterminé plus haut, on recherchera par voie d'interpolation les valeiu'S correspondantes de Y et de X : ces valeurs devront très-peu dififérer de Yo -h / et de g (Y. désignant l'ordonnée du sommet de l'intrados ou A'' -f- 2 <îo)» et offriront ainsi un moyen de vérification générale des calculs.

TRAci DU PROFIL DE LA TOUTE AU MOYEN DU RAYON DE COURBURE DE L*1NTRAD0S FICTIF.

Indépendamment de la quantité q déterminée précédemment, les constantes nécessaires pour effectuer le tracé sont :

,' = ,-,l(*'-îe) = .2:.

a = 3 -, ) (XXVII)

On remarquera que cet angle £', E' E^, dans le cas des arches complètes, se trouve être égal au complément de l'angle a, du dernier joint avec la verticale , ou à Tinclinaison de ce joint sur rhorizon.

Nous renverrons au n*^ 43, pour ce qui est relatif à ia construction du rayon de courbure p" de Tintrados fictif. Ajoutons cependant une remarque sur la manière de procéder au tracé.

L'arc que Ton se propose de décrire avec un, rayon p" étant supposé très-petit, mais non pas infiniment petit, on atténuera Terreur commise par ce fait, en décrivant le petit arc à l'aide du rayon de courbure correspondant ou à peu près au milieu de cet arc. A cet efiet, il faudra s'y prendre à deux fois, du moins vers le sommet de l'intrados; la première fois, on déterminera le rayon de courbiu'e correspondant à l'extrémité connue de l'arc à décrire, et l'on décrira avec ce rayon un arc d'xme amplitude donnée en degrés. On prendra alors le mUieu de cet arc et l'on construira le rayon de courbure correspondant; on se servira de ce nouveau rayon pour tracer définitivement l'arc d'amplitude donnée : on obtiendra de cette manière une suffisante exactitude. Lorsque Ton aura décrit de la sorte plusieurs petits arcs d'une même amplitude , on pourra prévoir assez approximativement la position du point milieu

de Tare à décrire, pour éviter de faire le tracé de cet arc à deux

reprises difierentes.

Nous allons maintenant présenter quelques applications des règles qui viennent d'être exposées.