i ^'^l/lï
Intégrant actuellement l'expression (y), et supposant, comme il a été dit, ap*^ = o pour y' == A', il viendra
- rïG^-5?î)(7?)^*'
..3.5/7 , "•\/fc"VA
etc.
Telle est Tune des formes que Ton peut donner à Féquation de la courbe intrados fictif, à Taide des séries.
Les fonctions Â^^ Â^ etc., sont susceptibles d'être mises sous d'autres formes. Soit, en désignant par des lettres gothiques les sinus, cosinus hyperboliques et leurs fonctions inverses,
r0BAe = J;
d'où
ou
puis
on aura les relations suivantes :
2 A, c= (OBA. 0m Ae 1 Ae,
à A. = (obA. j0m'A« — 3 A,, 6 A, = (ùbA. BbeA. i— 5 A,,
Ces expressions peuvent être substituées les unes dans les autres, n y a plus : la nouvelle forme donnée à la fonction A» permet de la développer au moyen des sinus hyperboliques des multiples de 2A0; il sufiBt, pour cela, de développer 0tn'"*Ae et d'intégrer après avoir tout multiplié par dA^ : on trouve ainsi
a""^ ( am i am — a i.a am — à i i.a.3...iii '
Enfin, au moyen des fonctions trigonométriques, si l'on pose
h" cosô = -,
d'où
puis
on aura
. ttng— '9 , .
et, par suite,
A, — logtang(45»-|-i0),
2 A, secô tang 6 — i A„
4 A. — secÔtang'd — 3 A,,
6 A, — secôtang'Ô — 5 A,,
L'angle 6 et la fonction A^, dans les formules qui dépendent des sinus hyperboliques, étant affectés du double signe, il devient inutile de conserver le signe zfc qui affecte le premier membre de Téquation de Tintrados. On voit d^ailleurs clairement que la fonction A^ est une fonction impaire de 6 dans les formules qui contiennent les fonctions trigonométriques, et de Ao dans les autres, comme cela doit être.
Les formides que nous venons de présenter auraient pu servir au calcul de notre Table I; et elles serviraient, au besoin, à en augmenter Tétendue. Toutefois, la concordance parfaite entre les résultats qu'elles fournissent et ceux qui sont consignés dans cette même table offrent ime nouvelle preuve de l'exactitude de nos calculs. Donnons un exemple de l'application numérique des formides précédentes : supposons qu'il s'agisse de construire l'une des
tables dont se compose la Table I; nous exdurons les termes du deuxième ordre et nous observerons que Téquation (a) comparée il la deuxième équation (3), n^ 36, donne
de cette manière, la série deviendra
=A. ~Q^ ~\Q'^ -mQ''' -Ti^lQ ■*—• («)
Au même degré d^approximation, Ton a
*' = ¥., y\=f-hh\ x\ = 9, tangi(9=y/^. (p)
Si Ton se donne le rapport y, on voit que les fonctions A., A,,.. seront des constantes pour cnacune des tables, et que ^ sera une fonction de - ou de -r; seulement.
Soit, par exemple,
on aura
tangi«c=-;i=, d*oùi«==32^6o'3i',67; tf ==65^ 4i' 3',35,
puis
Ag= 1,5350817; LAi =o,a83a6ili; 1. A, = o,7i 1086; LA, £= 1,235668; l.A^ = i,8o542; 1. A,= a,4oi 1 1.
A Taide de ces valeurs, on obtient la formule
-(8.aio54)(^y-(7,7o397)(^y — (7,3aoo4)(^.)'— etc..
dans laquelle les nombres, entre parenthèses sont les logarithmes
des facteurs nmnériques dont ils tiennent la place. Cette formule
permettrait de calculer avec une grande facilité la table inverse
.de celle qui forme la quatrième colonne de la Table I; mais elle
se prêterait moins facilement au calcul de la fonction -^-7-^ donnée dans la Table II.
Qt
En faisant, par exemple, •— = 5,8, les termes de la série deviendront
— o,ooiA33A
— o,oooooo3
somme = 1,4727602 == 7 ^1 d'où 7 :== 3,546853;
or ce résultat coïncide, à une imité près du dernier orcbe, avec celui que nous avons détenu en calculant nos tables à Taide des formules du n® 36, et Ton ne pourrait pas répondre d'une unité de cet ordre, dans les calculs. Si Ton cherche dans la Table I la
valeur de ^ correspondante k -jr =:Oij et -- = 5,8, on trouvera
^ = 3,54685, seides figures que peut donner cette table.
L'intégrale de Téquation (^) peut encore être exprimée au moyen d'une autre série, en posant, comme dans le n"" 35 6û,
cosa. == 1 — —^^ (^)
d'où
sini«' = ±y/^ (T)
puis
sina'cîa' = -^ dy"\ (u)
on pourra mettre d'abord Téquatlon ((S) sous la forme
et l'on aura, à. cause de — = cota,
cota COtflt = r-^,
sma
d'où Ton tire aisément
a = a' -f- ^ ^. sina'. (x)
L'interprétation géométrique de cette relation entre les angles a et a' a été présentée dans le n® 35 6i5. L'angle a se déduira avec facilité du système des équations (t) et (x).
En éliminant y et (fy" entre les trois équations (cr), (v) et (^), et posant, pour abréger,
il vient
Pour intégrer cette expression, ayant effectué le développement de la quantité i — | cosa' à la puissance , et multiplié ensuite par Ç [cosa' — \~:rA àcL\ nous avons obtenu une suite de
termes de la forme cos^a'da' auxquels a été appliquée la formule de réduction
/cos^a'da' = - sina' cos"*""*»' H- î^^— ^ ( cos"*-"*a'(fa'. m m J
Nous nous bornerons à présenter le résultat des calcids. Posant
T\ "*" a.4 3^ "^ a. 4.6.8 3.5^ "*" a.Â.6.8.10. la 3.5-7 "^ ' * 7
aa\ ^^4.6 4 4.6.8.10 4.6^ 7
4'6.8.io3.5 a. 4. 6. 8. 10.1a 3.5.7
(1 -h C,) a' -h Co sina' -f- Ci sina' cosa'
Cl sma cos'a
e. sma cos'a
on a pour intégrale de Téquation (w),
- =Ci a'+ Co sin a'+ Ci sin a'cos a'+ C, sin a' cos* a'+Cs sin a' cos' a'+ . . .
La constante de Fintégration est nulle, attendu que Ton suppose x^ nul lorsque f est égal à V . On aurait pu se proposer d'obtenir rintégrale sous forme d une suite de termes procédant suivant les sinus des multiples de d : pour cela il eût fallu transformer les puissances de cosinus en cosinus de midtiples. L'expression (y), qui contient Tangle a' en dehors des signes sinus et cosinus, met en évidence la reproduction périodique des mêmes formes de la courbe intrados : elle ne pourrait être de quelque utilité que dans les cas où la constante ^ serait une fraction assez petite, comme dans ceux que présentent les tunnels et les poitraib.
Considérons le cas idéal où Ton supposerait l'épaisseur nulle , et la hauteur k" infinie : soit f la flèche correspondante à la valeur maximum de x''; l'équation (w) donne pour condition de ce maximum, cosa' := o; l'équation (er), en y égalant son second membre à zéro, et écrivant f -{- h" k la place de y", fournit la valeur de la constante qf"",
,"" =/"(/ + an {S')
d'où résulte
/. H- A" = c/' -H A7; « = ^'IJ'^K'P ' («')
La flèche/" étant finie, on voit que la quantité ^ est infiniment petite du premier ordre. Cette circonstance réduit l'équation (y') à
en vertu des valeurs précédentes; Téquation (<t) donne elle-même
1 — .,..^____^««__ — cosot .
Éliminant a! entre ces deux équations, il vient
Or, on peut neiger ici f devant lî et mettre 2 A^ à la place de y -h A', en sorte que cette équatioA se réduit à
équation qui n'est autre chose que celle d'un cercle de rayon/', et dont le centre a pour ordonnée h' -4-/'. Ce résultat était facile à prévoir, d'après ce qui a été dit plusieurs fois à Tégard des hauteurs de charge considérables.
Nous ne nous étendrons pas sur Tusage que T^ pourrait faire des expressions de o^ en séries; nous croyons en avoir assez dit pour que chacun, au besoin, puisse aisément tirer parti de ces développements.
PONTS TERMINAS PAR DES ARCHES SECONDAIRES DE DIMENSIONS GENERALEMENT MOINDRES QUE CELLES DES ARCHES PRINCIPALES.
Dans rinipossibilité d'aborder ici, sous toutes ses faces, le problème que présente l'établissement des ponts formés d'arches inégales, nous nous bornerons à des indications sommaires. Ces indications suffiront aux ingénieurs qui possèdent les notions relatives à l'établissement d'un massif de maçonnerie soumis à l'action de forces données.
Les arches principales et les arches secondaires sont séparées par une pile de largeur beaucoup plus considérable que celle des piles interposées entre les arches principales. Cette pile peut être envisagée comme faisant, en partie, fonction de culée à l'égard des deux arches inégales. Le défaut de symétrie de ces arches entraîne une complication dont la question de l'établissement des piles ordinaires se trouve exempte.
Supposons tout d'abord les diverses parties de la construction déterminées, la question à examiner sera celle de la stabilité de la pile-culée qui sépare deux arches inégales. A cet effet, considérons l'équilibre d'une portion de cette pile-culée limitée dans
290 SDR L'ÉTABLISSEMENT
le sens vertical par deux plans menés, Tun par celle des arêtes inférieures des deux extrados qui est la plus élevée, l'autre à un niveau infériçur d'ime quantité quelconque au niveau le moins élevé des naissances des deux intrados, les limites dans le sens horizontal étant les plans des pieds-droits, et im plan vertical passant par l'arête inférieiu^e la moins élevée des deux extrados, tandis que les plans de joint des naissances achèvent de déterminer la portion de la pile-culée dont il s'agit. Les forces qui sollicitent ce système considéré dans son ensemble doivent satisfaire aux conditions de l'équilibre d'un corps solide ; celles d'entre elles qui sont censées connues sont : le poids des matériaux qui reposent directement sur le plan horizontal supérieur et le poids propre du système, puis les poussées exercées normalement aux plans des naissances, enfin la poussée horizontale produite par le massif contre le plan vertical mené par l'arête inférieure la moins élevée des deux intrados. Les points d'application de ces forces sont d'ailleurs également connus, en sorte que leur résultante, qui ne se réduira pas généralement à un couple, étant prise en sens contraire, déterminera la résultante des réactions exercées contre le plan inférieur dans le cas de l'équilibre. Sous le rapport de la stabilité, la direction, l'intensité et la situation des points d'application de cette force devront satisfaire à des conditions relatives à la nature des matériaux et à l'hypothèse faite surda distribution des réactions (voir la note du n^ 49). La détermination des actions intérieip:es qui se développent dans le système, présente des difficultés insurmontables dans l'état actuel de nos connaissances en cette matière , et l'on ne peut que reconunander d'apporter dans le choix des pierres et mortiers et leur arrangement, toutes les précautions nécessaires pour que l'ensemble puisse être assimilé à un seul corps solide, lors du décintrement des arches.
Supposons que les conditions de stabilité soient remplies à l'égard du système limité inférieurement par l'assise correspondante à celle des naissances qui est la moins élevée; il sera facile.
en purUnt de la rémihante obtenue, et au moyen des poids des assises inférieures, de construire le polygone des pressions exer- ' cées sur les surfaces de joint des diverses assises jusqu^aux fondations. Les diverses résultantes obtenues devront pouvoir satisfaire aux mêmes conditions que ci-dessus, pour que la stabilité de la pile-culée soit assurée.
Si ces conditions n'étaient pas remplies, on serait dans la nécessité de modifier une ou plusieurs des données du problème qui ne seraient pas fixées d'une manière absolue, et le sens de ces modifications serait facile à découvrir : ime suite de tâtonnements, en Tabsence d'un système de formules appropriées à la question, conduirait à la détermination d'un ensemble d'éléments qui satisferait aux conditions de stabilité.
Les différentes manières suivant lesquelles on groupera ceux des éléments de la construction que l'on pomra regarder comme donnés, présenteront autant de problèmes distincts, dont la solution dépendra des courtes notions que nous venons d'exposer.
L'auteur du mémoire qu'on vient de lire, ayant abandonné en 1 846 la carrière de l'ingénieur pour entrer à l'Observatoire de Paris, s'est trouvé, par suite de l'exigence de ses nouvelles fonctions, dans l'impossibilité de continuer ses recherches sur la théorie des voûtes, et il s'est décidé à présenter la deuxième partie de son mémoire à l'Académie, quoiqu'il n'eût point encore calculé de tables relatives aux arches dites en arc de cercle, ni produit d'apphcation de pareilles tables.
La nécessité de combler une telle lacune a déterminé l'auteur, au moment de l'impression du mémoire, à consacrer la partie disponible de son temps au calcul de nouvelles tables : cette
292 SUR UÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT, circonstance Ta empêché de réduire Tétendue de la prooiière partie du mémoire, et de rechercher, quant à la seconde, une diiAribution des matières qui lui permit d'éyiter les répétâkions qu on y pourrait remarquer.
