BRUXELLES
F. HAYEZ, imprimeur de l'académie rue de l'Orangerie, 16
(Extrait des Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 5 me année, 4884, 2 e partie, pages 231-291.)
SUR
Objet du présent mémoire.
1 . Formules anciennes. Il existe un grand nombre de formules pour le calcul approché des aires planes. La plus ancienne, dont l'idée première est due à Côtes et que Newton a insérée dans les Principes (Livre III, lemme V), repose sur la substitution, à la courbe donnée, d'une parabole de degré n, ayant avec cette courbe (n -h 1) points communs. L'expression approchée de l'aire ne contient que les (n -h 1) ordonnées communes à la courbe et à la parabole et les distances qui les séparent. Gauss a prouvé (Werke,lll, 165-196, 202-206) qu'en choisissant convenablement ces distances, oii pouvait obtenir une formule rigoureusement exacte, dans le cas où la courbe donnée est une seconde parabole de degré (2n — 1) (*). Malheureusement, ni Gauss, ni aucun de ses continuateurs n'a cherché, que nous sachions, la valeur maxima de l'erreur que comporte sa for-
(*) Voir dans la Nouvelle correspondance mathématique , t. VI, pp. 396-402, une démonstration très simple de ce théorème de Gauss, démonstration due à M. E. Catalan.
mule, dans le cas où la courbe dont on veut obtenir Taire approchée est une ligne continue quelconque, au lieu d'être une parabole de degré (2w — 1).
La formule sommatoire de Maclaurin et d'Euler n'a pas cet inconvénient : on est parvenu à trouver la valeur de l'erreur maxima à laquelle son emploi peut conduire (*). Mais elle présente d'autres désavantages. L'aire cherchée, pour une courbe y = fx,est exprimée, non seulement au moyen d'un certain nombre de valeurs de la fonction /", mais aussi des dérivées successives de cette fonction. En outre, l'erreur qu'elle comporte ne peut être calculée d'une manière approchée qu'en cherchant entre quelles limites varie une certaine dérivée de la même fonction. Par suite, la formule de Maclaurin et. d'Euler est, en pratique, d'un emploi extrêmement peu commode.
On peut déduire de la formule de Maclaurin et d'Euler, directement ou indirectement, un grand nombre de formules plus simples et plus pratiques : la formule des trapèzes, la (première) formule de Simpson, la formule de M. Catalan, la formule de Poncelet, la formule de M. Parmentier, etc. La (première) formule de Simpson, qui semble de beaucoup la plus exacte de toutes celles que nous venons de citer, peut s'obtenir aussi comme cas particulier de celles de Côtes, de Newton ou de Gauss.
2. Objet de ce mémoire. La démonstration habituelle des formules de Poncelet et de M. Parmentier ne laisse rien à désirer au point de vue de la rigueur ou de la simplicité et elle conduit tout naturellement à une estimation approchée de Terreur commise en les employant. Mais il n'en est pas de même pour les autres formules, qui, au fond, sont établies d'une manière à peu près empirique. Récemment, en étudiant les écrits de M. le général Parmentier sur les quadratures approchées, nous nous sommes aperçu qu'on pouvait démontrer toutes les formules
(*) Voir, par exemple, Houel, Calcul infinitésimal, U I, pp. 473-487.
énumérées plus haut avec la même facilité que celle de Poneelet, estimer l'erreur maxima correspondante et la représenter géométriquement, souvent de plusieurs manières. De plus, on peut trouver un grand nombre d'autres formules, dont une au moins (dueàM.Ch. Dupain), deux peut-être, semblent avoir une valeur pratique, à cause de leur simplicité et de leur exactitude.
Nous nous proposons d'exposer ici, d'une manière systématique, l'ensemble des recherches auxquelles nous avons été conduit. La partie la plus élémentaire de cette étude a déjà paru dans la Mathesis (t. I, pp. 17-22, 55-36, février et mars 1881).
3. Principaux résultats obtenus. Parmi les résultats obtenus , nous signalons spécialement, au point de vue pratique, l'estimation graphique de l'erreur que comportent les diverses formules et particulièrement celle des trapèzes.
Si l'on représente par AD l'erreur maxima pour cette dernière formule, les erreurs analogues, pour les autres formules, sont respectivement :
- AD pour la formule de Poneelet ;
- AD pour la première formule de Simpson, et pour
celle de M. Parmentier et la formule de M. Dupain (n° 7);
-AD pour la seconde formule de Simpson et pour la formule de M. Catalan;
-AD pour les formules de Poneelet, de M. Parmentier et de Simpson, quand on les étend au cas d'un nombre pair d'ordonnées (n° 21);
-AD pour la formule nouvelle (n° 15).
Ces limites de Terreur peuvent servir, dans un cas donné, à voir rapidement, sur la figure même, par une construction plus simple que celle que Poncelet a indiquée pour sa formule, quelle grandeur il convient de donner à h pour obtenir une approximation déterminée d'avance.
Une fois A choisi, les calculs qui servent à trouver une valeur approchée de S, par Tune quelconque de ces formules (celles de Poncelet et de M. Parmentier exceptées), donnent en même temps une nouvelle limite de l'erreur commise et cette nouvelle limite est inférieure à celle qui vient d'être indiquée, même pour la formule des trapèzes.
Voici encore deux résultats sur lesquels nous attirons l'attention du lecteur :
1° Quand le nombre des ordonnées est pair, la meilleure formule pratique est celle de M. Catalan , qui est, pour ce cas, la transformée de celle de Simpson , et qui peut d'ailleurs être employée même si le nombre des ordonnées est impair (n° 21).
2° La formule de M. Dupain (n° 7), presque aussi simple que celle de Poncelet, a une exactitude presque égale à celle de Simpson, et est aussi exacte que celle de M. Catalan.
Préliminaires.
4L. Estimation de l'erreur commise dans les approximations. I. Si une quantité inconnue S est plus grande que m 9 plus petite que M, on peut dire que S = m, avec une erreur,, par défaut, plus petite que M — m, ou que S = M, avec une erreur, par excès, plus petite que M — m.
II. Si l'on prend S = ^ (M -+- m), l'erreur commise est tout au plus égale à |(M — -m), mais on ignore quel en est le sens.
III. Si l'on sait que S est plus rapproché de M que de m, S étant alors supérieur à | (M -t- m), on peut prendre pour S une valeur intermédiaire entre M et |- (M h- m), par exemple | (2M h- m). En posant S = ~ (M h- m), l'erreur sera par excès
si S est compris entre \ (M -h m) et § (2M -4- w?) , et elle sera moindre que
-(2M ■+- m) (M -h wî) = -(M —m).
L'erreur sera par défaut si S est compris entre M et £ (2M -f-m), et elle sera moindre que
Donc, en tout cas, si S est compris entre \ (M -h m) et M, et si Ton pose S=f (2M h- m), Terreur est moindre que \ (M — m).
IV. En général, si p est une quantité comprise entre m et M, en faisant S = fx, on commet une erreur plus petite que la plus grande des deux quantités p — m, M — p..
5. Données et notations. Considérons (Fig. 1, 2 ou 5) une aire S, comprise entre un arc de courbe AL, une droite fixe al et les perpendiculaires Aa, Ll abaissées sur cette droite des extrémités de l'arc AL. Supposons, pour fixer les idées, que l'arc AL soit, dans toute son étendue, concave vers la droite al (*). Divisons la base al en un nombre pair de parties égales, en dix, par exemple. Par les points de subdivision, 6, c, d, e 9 f, g, h, i, k 9 élevons des perpendiculaires à al. Désignons ces perpendiculaires ou ordonnées aA, 6B, .... /L, dont les extrémités A, B,...L sont sur la courbe, par y<\,y 2 > •••> Vm\ soit h la distance commune de deux quelconques de ces ordonnées. Nous représenterons par E, la somme des deux ordonnées extrêmes, par I, la somme des autres ordonnées de rang impair, par P, celle des ordonnées de rang pair. De cette manière,
1 = ^4- y* + yi + y*>
P s =yj + ï4 + y6+y8 + y^
{*) S'il était convexe, les quantités d, d', d",J t seraient négatives aiHieu d'être positives.
Nous posons ensuite
y% + yio yi -+- y u
Formules de Poncelet, de M. Parmentier et de M. Dupain.
6. Première limite supérieure et première limite inférieure de S. I. Par les extrémités B, D, F, H, K des ordonnées de rang pair (Fig. 1), menons à la courbe des tangentes terminées enB 1
Fig. 1.
et B 2 , D 1 et \) 2 ,F { et F 2 , H { et H 2 , K, et K 2 , aux ordonnées voisines. La somme des trapèzes
ttE^BaC, cDiD 2 e 5 eFjF^, </H|H 2 i, iK ( K,l,
est supérieure à S. Ces trapèzes ont pour mesure
Donc,
M = A (2y, -h 2y, 4- 2y 6 -^ 2y 8 -h 22/ JO ) = 2ftP.
IL Le polygone aABDFHKL/ a une aire m inférieure à S. On a d'ailleurs
m s==h U (#»+#) -KîM-y*) +(y*+y«)+(»6+»8)+(»8-+-yio)H--(yio-4-yii)
ou, d'après les notations du numéro précédent,
III. Il est impossible de démontrer d'une manière générale que S est plus rapproché de M que de. m. Néanmoins, dans le cas de courbes à courbure peu prononcée et lorsque h est suffisamment petit, on reconnaît aisément, en faisant un tracé graphique, que l'on a souvent le droit, au point de vue pratique, de supposer S plus rapproché de M que de m.
7. Formules de Poncelet, de M. Parmentier et de M. Dupain; interprétation géométrique de l'erreur. I. Puisque S est compris entre M et m, on peut, d'après le principe II du n° 4, prendre approximativement M = p, p étant la demi-somme de M et de m; l'erreur s sera inférieure à la demi-différence. On aura ainsi la formule de Poncelet :
S =p (approximativement),
p = - (M + m) = 2AP — - hd,
