II. Si Ton prend p' = f (2M -+- m), en faisant
S = p r (approximativement) ,
on aura la formule de M. Parmentier. D'ailleurs,
p'=2AP hd.
L'erreur maxima est égale à la plus grande des deux quantités M — p , ==~hd,et p' — m=\hd, donc, égale à f hd.
Très souvent, d'après le principe III du n° 4, et la remarque faite au numéro précédent, l'erreur sera inférieure à { (M — m), c'est-à-dire à f hd.
III. Nous verrons plus loin pourquoi M. Parmentier a choisi pour p' la valeur | (2M -4- m), plutôt que ~ (3M •+-' m) , ou toute autre valeur comprise entre M et { (M -+- m). Nous verrons en même temps qu'une formule préférable à celle de Poncelet et à celle de M. Parmentier est la suivante, due à M. Dupain,
S = 7r 4 (approximativement),
1 hd 1 , , \ hd
7r { = p' = c 2hV hd— >
1 2w-l 3 3 'In — 1 3
2Ad i hd
o In — \ 3
2n étant le nombre des subdivisions h de la base al, donc, dix dans le cas de la figure.
IV. La quantité d et, par suite , les produits hd, ^hd, etc., sont susceptibles d'une interprétation géométrique simple. Appelons P, Q, les points d'intersection des droites AL, BK avec l'ordonnée moyenne F/". On aura évidemment
Par conséquent,
Il est donc facile de tracer sur la figure même un petit rectangle PQQ'P' dont Faire est égale à hd.
Par suite, on peut estimer, sur la figure même, avant d'entreprendre aucun calcul, la grandeur des erreurs théoriques { M, | hd, etc. Si ces erreurs, pour une valeur de h choisie d'avance, étaient trop considérables pour le but que l'on se propose en cherchant S approximativement, on pourrait recourir à une valeur plus petite de h, et ne commencer à estimer numériquement p, p', ou n { , qu'avec la certitude de trouver ainsi une valeur suffisamment approchée de S (*).
Formule des trapèzes et formule de Simpson. Première démonstration.
8. Deuxième et troisième limite inférieure de S. I. Le polygone aACEGIL/ (Fig. 2) a une aire m' inférieure à S (**). On trouve, sans peine,
ou encore
IL Le polygone aABCDEFGHIKL/ (**■*). a aussi une aire t inférieure à S. L'aire t est donnée par la formule
ou
(*) Ce paragraphe ne contient absolument rien de neuf et doit être regardé comme une introduction aux suivants.
(**) On ne conçoit pas comment Poncelet, à qui appartient la considération des aires M et m, n'ait pas songé à ce polygone m' qui va nous donner si simplement la démonstratration de la formule de Simpson.
(*-**) Non tracé sur la figure.
9. Formule des trapèzes; formule de Simpson. I. La figure ou les formules donnent immédiatement
Donc, d'après le principe H, n° 4, en posant (formule des trapèzes)
S = t (approximativement),
on commettra une erreur maxima plus petite que ~ (M — m'). Or,
L'erreur maxima, par défaut, que comporte la formule des trapèzes, est donc plus petite que { hd.
Fig. 2.
IL Puisque S est compris entre M et t = | (M -h w'), on pourra prendre
S = s (approximativement),
5 étant égale à | (2M + m'). C'est la formule de Simpson. On a d'ailleurs
S :=ifc(E-4-2I-*-4P),
et d'après 4, III,
s < - (M — m) ou - M.
On peut encore écrire s et /$ sous la forme
On verra plus bas pourquoi la valeur la plus convenable pour s, quantité qui doit être choisie entre M et m\ ou M et t, est celle qui est donnée ici.
10. Interprétation géométrique de 8. Autres limites de l'erreur. I. On peut donner, de à aussi, une interprétation assez simple. Soient R, S, T les points où CI, DH, EG rencontrent ¥f. On aura :
y»- + -y» :=R/ - y* + y« Sjr y^^-y^ ^ Tf
Or, la valeur de 5 peut s'écrire successivement :
<te (2y 8 + 2y, + 2t/ 6 -t- 2y 8 -h 2y 10 - y* - y M - 2y 5 - 2y s - 2*/ 7 - 2y 9 )
«sL 2 y» + y' t 2 yi-*-ys 2 yr«-y» 1 ç> y*+y*> g yi-*-y«
L — y» + y^ ( y*+yi y*+y* \ . + ( y*+ys y*+y> y* -+- yio \ ^ / y» -*- y«> yi ^y^l
Par conséquent,
^ =s2 [ (F /L.T/)-(Tf-3/) + (8/--Rn-(RA- Q/) + (QA- P/)] = 2 [FT - TS + SR — RQ + QP],
quantité que Ton peut construire sur la figure. On peut donc aussi représenter h$ par un petit rectangle.
II. La construction graphique de $ n'est pas assez simple pour
permettre l'estimation rapide de l'erreur correspondant à une distance h des ordonnées, quand on emploie la formule des trapèzes ou celle de Simpson. Mais il est facile de prouver que à est inférieur à 2d et que, par suite, Terreur, dans la première, est moindre que hd, et que f hd 9 dans la seconde.
Pour le prouver, remarquons d'abord que l'on peut écrire :
j = 2 [PQ — (QR — RS) — (ST — TF)].
Or, on a PQ = d, et PQ > QR > RS > ST > TF. Pour établir ce dernier point, prouvons, par exemple, que PQ ou d est supérieur à d' ou QR. L'inégalité à établir, PQ > QR, devient successivement :
2/2 + 2/io — -(2/1 -t-y u ) — -(y» + y 9 )>0, 4 4
Soient, b { le point d'intersection de 6B avec AC, #*, celui de kli avec IL. On a
Donc l'inégalité à vérifier devient :
B6 4 -+-Kfc 4 >0,
et, sous cette forme, elle est évidente.
Il est donc aussi facile d'estimer graphiquement une limite supérieure de l'erreur pour la formule des trapèzes ou pour celle de Simpson, que pour la formule de Poncelet ou pour celle de M. Parmentier.
Démonstration graphique simultanée des résultats précédents. Première extension au cas où le nombre des ordonnées est pair.
11. Formule des trapèzes. On peut donner de la quantité hd une interprétation graphique différente de celle du n° 7, applicable même au cas où le nombre des ordonnées est pair.
Fig. 3.
Considérons, par exemple, une aire2=aABCDEF/ > (Fig. 3) ayant encore sa concavité dirigée vers la base al, et ses ordonnées ak, 6B,...., Ff, distantes entre elles d'une même quantité h. Cette aire est comprisejentre le polygone inscrit T = aABCDEF/^ et le polygone circonscrit aB l B 2 D i D 2 E 1 E 2 /'.
La différence A entre ces deux polygones est plus petite que la somme des triangles
ABB d , BCB 2 , CDD l5 DED 2 , EFE 2 .
Par le point B, menons BX, prolongement de CB, By, Bd, Bg,
Be 2 , B9 respectivement parallèles à DC, DjDDa, DE, EE 2 , EF.
Les triangles énumérés tantôt sont égaux respectivement aux
triangles
ABB l5 BiBX, yB<?, 6Be, e 2 B f ,
indiqués sur la figure par des hachures. Leur somme est inférieure au triangle AB<p, qui est égal lui-même à la somme des deux triangles BPA, EQF, BP, EQ étant des parallèles à af. L'aire 2 est donc inférieure à Taire T augmentée de ces deux triangles, autrement dit, on a
aABCDEF/'< aire 2 < aPBCDEQ/,
résultat extrêmement simple et non encore signalé, que nous sachions (*).
Si la courbe était continuellement croissante (Fig. 4) ou décroissante, de A à F, la différence A est encore inférieure à un triangle ABcp, dont le côté Bcp est parallèle à la dernière corde du polygone T. Ce triangle ABcp est égal à la différence des triangles BPA, EQF. Par suite T 4-ABP— EQF, est une limite supérieure de 2, qui est encore égale au polygone aPBCDEQ/i comme dans le cas précédent.
Pour une figure donnée, il est évidemment plus facile de construire les deux triangles ABP, EQF que le petit rectangle PQQ'P' de Poncelet (Fig. 1).
Dans le cas de la figure 3, on a d'ailleurs
APQ = ^Hy 2 -2/0, DEF = - A (*,„< -yj.
Dans le cas de la figure 4,
(*) Si les ordonnées n'étaient pas équidistantes, il est clair que l'erreur commise en prenant S=T est moindre qu'un triangle semblable à AB^? et ayant pour hauteur, au lieu de AP = /*, la distance des deux ordonnées consécutives de la courbe les plus éloignées l'une de l'autre.
Donc ABcp, somme des deux triangles dans le premier cas, différence dans le second, est égale à
2 h (?/t — yO ■*- 2 * (y.-i — y») « * I g (y» ■+■ y-0 — 5 (y* -*- y»)]-
quantité que Ton peut désigner par hDl
Fig. 4.
Appelons T Taire aPBCDEQ/, de sorte que T'=T + M).
On aura :
T==zh (2 y " 4- ?/ 2 -h 2/ 3 4- • • • + 2/ n 4 -+- — 2/«— *)" On obtient donc une limite supérieure T' de Taire 2, en
remplaçant dans Taire du polygone inscrit T, la première et la dernière ordonnée par la seconde et l'avant-dernière (*)..
1£. Formules de Poncelet, de M. Parmentier et de Simpson. Ces formules n'existent que dans le cas où le nombre des ordonnées est impair. Considérons donc seulement l'aire S—aABCDEe (Fig. 3), Le polygone m* inscrit de Poncelet est aABDEe. Prolongeons DB jusqu'à sa rencontre en (3 avec &\. La différence M=M — m, entre le polygone circonscrit et le polygone inscrit est égale à la somme des quatre triangles
ABB 1? BcA = B d Bj3, DjDjC,, = |3B£, DED 2 = âBe,
ou au triangle ABs. L'erreur maxima, dans la formule de Poncelet, est donc moindre que | ABs; dans celle de Parmentier, elle est inférieure à § ABs, et souvent à f ABs.
On a vu, au n° 9, que dans la formule de Simpson, e<hd et A5=2 (M — t). Dans le cas actuel, d'après le n° 11, M—t est la somme des triangles compris à l'intérieur de ABs et marqués par des hachures. Donc A<î<2 ABs, |A<î<§ ABs et, par conséquent, l'erreur s est moindre que § hd.
18. Première extension au cas d'un nombre pair d'ordonnées.. Ce qui précède suggère un moyen d'étendre les formules de Simpson, de Poncelet et de M. Parmentier au cas où le nombre des ordonnées est pair. Soit à calculer approximativement l'aire
2=S-t-<7, o- désignant l'aire curviligne eEFf. On a
£<s<f-*-AB* trapèze eEFf = trapèze eEP/" < trapèze eEF/* -+- EE 2 F.
(*) La formule des trapèzes (comme aussi celle de Simpson et les autres) est employée à l'estimation des volumes, des centres de gravité, des moments d'inertie, etc. Dans le jaugeage des navires, par exemple, y u ij 2 ,...., y n représentent les aires de sections équidistantes et on peut les obtenir sur des coupes bien dessinées, au moyen du planimètre. On conçoit aisément qu'au moyen de deux lectures cet instrument donne même immédiatement T. D'après la formule démontrée dans le texte, on peut de même trouver T'. Donc, au moyen de quatre lectures, on peut obtenir une limite supérieure et une limite inférieure de la capacité du navire.
Ajoutons, en remarquant que
trapèze eEF/*= - h (?/„__, h- y n \ t -+- trapèze eEF/'= T,
ABs -+- EE 2 F ou ABf -*- e 2 B? < AB? ou hï). Il viendra :
T < « + 2 & (y-* + ^ < T + ftD . ou T',
Donc, en complétant la formule de Simpson, au moyen d'un trapèze inscrit, dans le cas d'un nombre pair d'ordonnées, l'erreur est moindre que M); autrement dit, la valeur trouvée, comme 2, est comprise entre les polygones .aABCDEF/ 1 , ePBCDEQ/1
Dans le cas des formules de Poncelet et de M. Parmentier, on prouvera de même que T ; surpasse p ou p f augmenté de 1 h (2/n-i"t-2/«)> ma * s ces quantités peuvent être inférieures à T. Néanmoins, on établit encore aisément que les formules approximatives
comportent une erreur moindre que M). On a, en effet,
S = p db une partie de - ABe
* = -h (y»., + t/ n ) -t- une partie de j? a B ? *
Donc, en ajoutant,
S-H(7 = 2 = p -i — A (t/„i-t-t/ n )± une partie de AB^.
De même,
2 = p' -t- -h(y n i -+- y n ) =h une partie de ABp.
Nouvelle limite supérieure de S. Formule nouvelle. Troisième
DÉMONSTRATION DE LA FORMULE DE SlMPSON.
14. Nouvelle limite supérieure de S. I. Par les extrémités C,E,G, I des ordonnées de rang impair autres que les extrêmes, menons, à la courbe (Fig. .5), les tangentes terminées en C 1 et C 2 ,
Fig. 5.
E,, et E 2 , G { et G 2 , I>i et I 2 , aux ordonnées voisines. Prolongeons en outre CB, jusqu'à sa rencontre, en X, avec aA prolongé et IK jusqu'à sa rencontre, en Y, avec IL prolongé. On aura :
aX * cG = 26B, IY + H = 2&K,
ou, successivement,
aX +y 5 = 2y a , /Y + y. = 2y 10 , aX = 2y a — y 3 , /Y = 2y 40 — y 9 .
La somme M' des trapèzes
aXB6, bCfiA d^Ej/; fGfiA «A*,- &KY/,
est supérieure à S. Ces trapèzes ont pour mesure
-&(3y,— y 5 ), % 8 , 2%„ 2% 7 , 2% 9 , -h{Zy lQ — y 9 ).
Donc, après quelques réductions,
M'=fc(E-*-2I)-ï-A(y,+.yio— î/i — y M ) — * Lte»-*-»»-- gfoi+yio) ;
ou encore,
M' = h (E -h 21) -4- 2ftd — Ad' = h (E h- 21) -t- M".
II. On peut observer que d <d" <2d. En effet, on a vu plus haut que d' est inférieur à d; donc d"=2d — d' est positif et supérieur à d.
15. Formule nouvelle. I. On obtient une formule analogue à celle de Poncelet et où n'entrent que des ordonnées de rang impair, y 2 et y i0 exceptées, , en posant
S = p" (approximativement),
p" = - (M' -h m') = A (E h- 21) -+- - Ad".
On a, pour Terreur maxima:
e<-(M' — m') ou -Ad"<Ad.
Jà 2à
On trouve, de même, une formule analogue à celle de M. Parmentier:
S =p'" (approximativement),
p"' = -(2M' -*- m') = A (E -*- 21) '+ -Ad", 3 3
£ < - Ad" < - hd.
II. Nous verrons plus loin que les deux formules précédentes ne sont pas très exactes. Il n'en est pas de même de la suivante ,
S = tt 2 (approximativement),
„ == p "> \ ? hd" = h (E + 21) -*- - hd" - hd",
' -2»-*- 15. 3 2n-Kl3
qui est nouvelle et semble avoir une valeur pratique et théorique analogue à la formule 8=714 , donnée plus haut. Malheureusement la limite supérieure de Terreur est assez élevée, savoir :
- hd" — hd'\
%n étant le nombre des subdivisions de la base al.
16. Troisième démonstration de la formule de Simpson. I. Des inégalités
M > S, M' > S, on déduit
Or,
i(2M -*- M') = -A(E-*-2I + 4P) + -Ad" = s -i- -Ad". 5 3 3 3
Donc,
s 4- hd" > S.
