AA^F'^X
(*) Si l'on veut justifier la méthode de Newton, en employant des tracés graphiques, on reconnaît bien vite qu'à partir du troisième degré, très souvent les paraboles s'écartent beaucoup des courbes avec lesquelles elles ont autant de points communs que possible,
puisque F' (oc) est d ordre (2g -+- 1) et F 234 " x constant. D'autre part, cette différence ne contient que des puissances impaires de h; donc A = 0, c'est-à-dire que S = S'.
Corollaire. Si l'on applique la formule
d wne courbe y = F' (x), l'erreur sera de la forme
A/^+*fw ( Xfl ).
Calcul de l'erreur. Formule des trapèzes, de Poncelet, etc.
40. Formules des trapèzes, de Poncelet, de M. Parmentier, de M. Dupain et formule nouvelle. I. D'après ce que Ton a vu au n° 32, Terreur que comporte la formule des trapèzes est égale, approximativement, à
IL Dans la formule de Poncelet, Terreur, pour les éléments extrêmes, est
Pour les éléments intérieurs, on a, d'après le même numéro,
III. Dans la formule de M. Parmentier, Terreur, pour les éléments extrêmes, est
Pour les éléments extérieurs, Terreur, au contraire, s'exprime en h* 1 , comme il est évident, d'après 32, II et 36. Si Ton prenait l'erreur totale pour tous les éléments, on pourrait faire en sorte que Terreur ne contienne que des puissances impaires de /*, comme on Ta vu au n° 39. L'erreur dans la formule de M. Parmentier est donc du troisième degré en h, mais cette erreur en A 5 provient uniquement des éléments extrêmes.
IV. Enfin les formules S ===== 7^, S = tt 2 étant exactes pour des paraboles du deuxième, et, par suite (n°39),du troisième degré, l'expression de Terreur est de la forme
£ = A/fc 5 F v (^).
41. Formule de M. Catalan. L élément cr dont il est parlé au n° 26, a pour aire exacte
F(x + h) — ¥x = hY' + -h 2 ¥" H-ifc'F'"'-*-— * 4 P f (a?A
La valeur approximative est :
: hF •+- z Ii 2 F" h- - A 3 F'" -+- O.A'F"^).
L'erreur est donc
nulle dans le cas d'une parabole du second degré, et, par suite du troisième degré. On peut déduire ce résultat aussi du n° 32, III, et de la théorie de la parabole.
Si Ton prend pour F' (oc) l'ordonnée moyenne de Taire considérée, il est clair, d'après le n° 39, que Terreur sera de la forme
AtfF'(^),
comme pour les deux formules nouvelles et pour celles de Simpson.
Comparaison des formules.
42. Comparaison an point de vue de V exactitude. Si l'on généralise les résultats trouvés dans le § XII, en traitant divers exemples, et ceux que nous avons obtenus dans les §§ XVI et' XVIII, moyennant les hypothèses du n° 56, on peut diviser les formules étudiées en trois groupes.
Le premier comprend les deux formules de Simpson et celle de Weddle, qui sont exactes, les deux premières, pour les paraboles du 2 me ou du 5 me degré, la dernière pour celles du 2 me , du 3 me , du 4 me et du 5 me degré. L'erreur pour les deux premières est de la forme AhW y (x fl ) 9 pour la dernière de la forme BA 7 F V,I (^). Pour arriver à cette estimation de Terreur, on suppose, pour les premières, que F'(x), F"0*0> F'"(ac), F IV (V)> F v (x) sont continues et que F y (x) varie peu, dans un intervalle 2A pour la première, dans un intervalle 5/& pour la seconde. Pour la formule de Weddle, on admet que F'(x) et ses six premières dérivées sont continues dans un intervalle 6h et que F v "(œ) varie peu dans le même intervalle (*).  cause de ces hypothèses plus étendues et plus nombreuses, il est probable que la formule de Weddle ne peut pas être mise au-dessus de celles de Simpson. D'ailleurs, quand on compare les formules ici en question, d'après les limites supérieures de Terreur commise, limites trouvées §§ IV, X, XI, on reconnaît que la première formule de Simpson l'emporte sur les autres. On peut donc, en réunissant les divers éléments d'appréciation, conclure que les trois formules du premier groupe ont à peu près la même valeur, au point de vue de l'exactitude.
(*) Une formule obtenue par la méthode de Côtes et exacte pour une parabole d'ordre n, conduit à une erreur de la forme. A/i n + 2 F«-t- 2 (#/*), pour une courbe t/ = F(x), moyennant (rc-hl) conditions de continuité, dans un intervalle nh, et pourvu que F n + i {x) varie peu dans cet intervalle. Le nombre des conditions pour que la formule soit très exacte croît donc très rapidement avec le degré d'exactitude.
Le second groupe contient les formules de M. Catalan et de M. Dupain et la formule nouvelle. Elles sont exactes aussi pour les paraboles du 2 me et du 3 me degré; l'erreur est de la forme AhPFXxp); mais pour arriver à ce résultat, nous avons supposé cfue F'(x) et ses quatre premières dérivées sont continues dans un intervalle nh, où d'ailleurs F v (x) varie peu. A cause de la grandeur de cet intervalle, en général, ces trois formules sont probablement moins exactes que les précédentes.
Le troisième groupe comprend les autres formules. Celle de M. Parmentier donne un résultat très voisin de celui que fournit la formule de M. Dupain; l'erreur ne dépend de A 3 qu'à cause des éléments extrêmes. Il est donc extrêmement probable qu'elle vaut mieux, en général, que celle de Poncelet, et à fortiori que la formule des trapèzes (*)..
43. Comparaison au point de vue de la simplicité des calculs. Au point de vue de la simplicité des calculs, les neuf formules considérées forment encore trois groupes, presque identiques aux précédents.
Le premier comprend la formule des trapèzes, qui est la plus facile à retenir, puis les formules de Poncelet et de M. Parmentier qui contiennent moins d'ordonnées, enfin la formule de M. Dupain, qui est la moins simple des quatre.
La formule de M. Catalan et la formule nouvelle forment le second groupe : elles sont un peu plus compliquées, à cause de la quantité d! qui y entre.
Enfin, les formules dont l'application entraîne les calculs les plus pénibles sont celles de Simpson et de Weddle, qui constituent le troisième groupe.
44. Conclusion. Si l'on n'a pas besoin d'une grande approximation, le mieux, d'après ce qui précède, est de recourir à la
On trouve dans la Statique graphique de Culmann, traduction française, Paris, Dunod,1880,pp. 403-105, une discussion sur la valeur comparée des formules de Simpson et de M. Parmentier où il essaie de prouver que la dernière est supérieure à la première.
formule des trapèzes, ou, si le nombre des ordonnées est impair, à celle de M. Parmentier, qui est plus exacte et exige le calcul de beaucoup moins d'ordonnées.
Si Ton veut une exactitude plus grande, et si le nombre des ordonnées est pair, on prendra la formule de M. Catalan. Quand le nombre des ordonnées est impair, on se servira plutôt de la formule de M. Dupain, qui emploie moins d'ordonnées, ou, si l'exactitude est requise avant tout, de la première formule de Simpson.
Les autres formules peuvent être employées dans des cas spéciaux, par exemple, la seconde formule de Simpson, dans le cas où la base de l'aire à mesurer est divisée en 3n parties égales.
Historique.
45. Formules de Simpson et de Weddle. Thomas Simpson (*) a publié sa formule dans ses Mathematical Dissertations, 1743, p. 109 (**). Au fond, il cherche l'aire des trapèzes curvilignes analogues à aABCc(Fig. 10), en substituante la courbe ABC une parabole passant par les trois points A, B, C et dont l'axe est perpendiculaire à ac. Cette démonstration a passé dans la plupart des traités de calcul intégral. — Poncelet, dans son Introduction à la Mécanique industrielle (n° 180, pp. 187-190 de la 2 me édition, Metz, 1839; 3 me édition, Paris, 1870, pp. 194-197), en a donné une démonstration élémentaire comme il suit : Pour trou-
(*) Né en 4710, mort en 1761; ne pas le confondre avec son contemporain, Robert Simson, né en 1687, mort en 1761 aussi.
[**) Nous empruntons ce renseignement à une note de la page 67, de la célèbre édition de la Résistance des Corps solides de Navier, donnée par M. B. de Saint -Venant, Paris, Dunod, 1864. T. Simpson, dans son ouvrage intitulé : The Doctrine and Application of Fluxions, London 1750, p. 202, fait allusion à sa formule, mais ne la donne pas. Probablement, les Dissertations de Simpson contiennent aussi sa seconde formule, que nous avons empruntée à un ouvrage de Rankine [Useful Rides and Tables. Fourth Edition. London, C.GriffinandO, 4873, p. 68).
ver Taire aABCc, il divise ac en trois parties égales aw, uv 9 vc, et mène les ordonnées de la courbe wU, vY, ainsi que les cordes AU, UV, VC, dont la seconde UV rencontre 6B en W. L'aire curviligne aABCc est un peu plus grande que celle du polygone aAUVCc qui a pour mesure ~ h (y^ -h 46W > -+- j/ 3 ) ; en remplaçant 46 W par la quantité un peu plus grande ây 2 , ce qui revient à ajouter au polygone aAUVCc, quatre fois le petit triangle UBV, on se rapprochera vraisemblablement de l'aire exacte de aABCc. — MM. Rouché et de Comberousse, dans leur Traité de Géométrie (I re partie, Paris, Gauthier-Villars, 1879, pp. 294-296) ont simplifié cette démonstration en remarquant que si AC coupe 6B en 6 1? Faire du trapèze a A Ce est égale à | h (^ -t- 466 d -+■ y z ) ; remplaçant kbb i par 4ï/ 2 > ce qui revient à ajouter |au trapèze les | du triangle ABC, on se rapprochera, vraisemblablement encore, de Taire cherchée. — Il est clair qu'aucune de ces trois méthodes ne fournit une vraie démonstration de la formule, puisque Terreur maxima commise n'est pas évaluée (*).
Fig. 10.
(*) Dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, l re série, t. XV, pp. 291-293, un Anonyme metjla formule de Simpson sous la forme s = t 4- 1 {t — m') et dit que Saygey en a donné une démonstration simple dans sa Géométrie élémentaire. Nous n'avons pu consulter cet ouvrage.
Nous ignorons où la formule de Weddle a été publiée pour la première fois. Nous Pavons empruntée à la traduction allemande du Calcul des différences de Boole, qui l'obtient en assimilant la courbe dont on cherche Taire à une parabole du 6 me degré et altérant légèrement le résultat, de manière qu'il soit exact pour une parabole du 5 me degré (*).
4©. Formule de Poncelet, de M. Parmentier et de M. Dupain. La formule de Poncelet, exposée par lui dans son Cours de la faculté des sciences de Paris, n'a pas été publiée par son auteur, mais elle s'est rapidement répandue. D'après M. de Saint-Venant, dès 1851, elle est donnée déjà dans le Traité élémentaire de Mécanique de ML Sonnet. On la trouve maintenant dans la troisième édition de la Mécanique industrielle, publiée par M. Kretz, pp. 197-201.
La formule de M. Parmentier a été trouvée, en 1854, par ce savant officier (alors capitaine, maintenant général), et publiée, dans le n° 16 du Mémorial de V officier du Génie vers le milieu de cette année, puis dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, l re série, t. XIV (1855), pp. 570-384. La démonstration, au fond, ne diffère pas de celle qui a été donnée plus haut. Le général Piobert arrivait, quelques mois après, à la même formule, par une voie moins nette, dans un article publié en septembre 1854, dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, l re série, t. XIII, pp. 525- 551. M. le général Parmentier est revenu sur sa formule, en 1876, dans un article intéressant, inséré dans le tome XV, 2 e série pp. 241-251, du même recueil, où il donne, comme nous l'avons fait plus haut, l'estimation de l'erreur maxima qu'elle comporte. Il remarque, de plus, qu'on arrive à cette formule en retranchant de 2s (Fig. 2) l'aire des trapèzes aABb, kKLl, puis l'aire curviligne bBIikb, calculée par la formule de Simpson. Cette nouvelle démonstration de la formule de Parmentier fait saisir, sous un nouveau point de vue, la raison de son exactitude supérieure à
(*) Die Grundlehren der endlichen Differenzen- und Summenrechnung von C. Boole. Deutsch bearbeitet von C.-H. Schnuse. Braunschweig, Leibrok, 4867, pp. 40-41.
celle de la formule de Poncelet (*). Un travail un peu plus étendu sur le même sujet, avait été présenté parM.Parmentierà l'Association française pour l'avancement des sciences, dans sa réunion de Nantes, en 1 875, et se trouve dans le Compte rendu de cette réunion, pp. 179-200. Ce sont ces divers mémoires de M. Parmentier qui nous ont inspiré les recherches contenues dans le présent travail. La formule de M. Ch. Dupain, qui a passé inaperçue, malgré sa valeur théorique et pratique, a été publiée en 1 858, dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (t. XVII, pp. 288-295). L'auteur l'obtient en prenant une expression ttj de la forme ^ ™ ? te " e 9 ue l' erreur S — 7T 4 soit d'ordre le plus élevé possible en h. Il lui attribue la même exactitude qu'aux formules de M. Catalan et de Simpson. Il calcule à peu près comme nous, par le théorème de Taylor, la valeur de l'erreur que comportent les formules de Poncelet, de M. Parmentier, de M. Catalan et de Simpson, mais chose curieuse, il semble ne connaître la limite supérieure de l'erreur que pour celle de Poncelet.
4*. Formule de M. Catalan. M. Catalan a publié sa formule en 1851 (Nouvelles Annales de Mathématiques, I re série, t. X, pp. 412-415). Il l'obtient en regardant l'aire curviligne aABô, comme celle d'une parabole à axe parallèle à Aa, et passant par A, B, C, l'aire curviligne 6BCc, comme celle d'une parabole analogue passant par B, C, D; et ainsi de suite jusque l'aire ilKLl qu'il calcule comme Simpson. Il refait ensuite des calculs analogues en sens inverse, en partant de L et marchant vers A, de sorte que l'aire ILKk est maintenant regardée comme celle d'une parabole analogue passant par L, K, I et ayant un axe parallèle à Aa; kKli, l'aire d'une parabole analogue passant par K, I, L; enfin l'aire cCBAa est calculée comme chez Simpson. La moyenne des deux résultats obtenus donne la formule de M. Catalan.
(*) Cette exactitude supérieure a été reconnue par Poncelet lui-même. Malgré cela, M. Kretz, dans la troisième édition de la Mécanique industrielle, en se basant sur la note de Dupain analysée plus bas, dit que la formule de Poncelet est préférable à celle de Parmentier, assertion vraiment regrettable, parce qu'elle se trouve dans un livre classique.
