CHAPITRE HI

LES ENSEMBLES PARFAITS PARTOUT DISCONTINUS DANS L'ESPACE À TROIS DIMENSIONS.

78. Les résultats ne sont plus aussi simples pour l’espace à trois dimensions. La correspondance entre deux ensembles parfaits, partout discontinus, bornés, gauches, peut, soit s'étendre à tout l’espace, soit s’étendre aux voisinages de ces ensembles, soit ne s’étendre à aucun voisinage, Nous allons donner des exemples de ces deux derniers cas. Ils résulteront des propriétés d’un ensemble particulier, que je désignerai par Pet que je vais définir.

P est donné par ses surfaces de définition (n° 75). Toutes ces sur-

faces sont des fores, que je désignerai par T. Je suppose qu’il existe un seul tore d'ordre 1. Si je considère un tore quelconque d’un ordre quelconque À, je suppose qu'il contient à son intérieur k tores d'ordre À + x et que ces tores sont enlacés comme les anneaux d’une chaîne fermée entourant l'axe du tore d'ordre À considéré.

Précisons ces définitions. Je dis que deux tores sont enlacés, si, étant extérieurs l’un à l’autre, un parallèle de l’un est enlacé avee un parallèle de l’autre. Il en sera de même pour deux parallèles quelconques pris un sur chacun de ces tores, et aussi pour toute courbe se déduisant d’un parallèle sans sortir du tore envisagé. En particulier, si deux tores sont enlacés, les lieux des centres de leurs méridiens sont enlacés. Pour simplifier le langage, j’appellerai circonférence d'ordre x, intérieure à un tore d'ordre À, le lieu des centres des méridiens de ce tore. Je désignera ces circonférences par la lettre C.

Numérotons de 1 à kles k tores d’ordre À + r intérieurs à un tore d'ordre À. Je supposerai que deux tores ayant des numéros consécutifs, ainsi que les tores k et 1, sont enlacés, alors que deux tores non consécutifs ne sont pas enlacés. Je suppose enfin que les centres de ces k tores sont sur la circonférence d’ordre À et qu’en joignant ces points dans l’ordre de leurs numéros, on forme un polygone réculier non étoilé. Ces conditions sont possibles à réaliser. Il suffit pour cela que le rayon du méridien d’un tore T soit assez petit, par rapport au rayon de la circonférence C de ce tore, et que k soit assez grand. On peut alors prendre pour tores d’ordre À + 1 des tores semblables au tore d’ordre À. La possibilité de la construction a alors lieu quel que soit À, k étant fixe. Pour simplifier quelques raisonnements ultérieurs, Je supposerai que ce nombre k est pair.

Enfin le diamètre d’un tore d’ordre À + r est inférieur à la moitié du diamètre du tore d’ordre À qui le contient. Donc le diamètre maximum des tores d’ordre À tend vers zéro quand À augmente indéfiniment. Les tores T satisfont done aux trois conditions a, b!, c (n° 75); 1ls définissent donc bien un ensemble parfait partout discontinu P, qui est l’ensemble des points intérieurs à une infinité des tores T. |

79. Taéorème. — L'ensemble P qui vient d’être défini et tout ensemble parfait, discontinu, p situé sur une droite sont homéomorphes seulement en eux-mêmes.

Supposons qu'il existe une correspondance entre P et p qui puisse s'étendre à leurs voisinages. Soient M et m deux points homologues de P et p. m est centre d’une sphère s dont tout lintérieur appartient au voisinage en question de p. Il y a d’ailleurs dans s une infinité de points de p, p étant parfait. Soient alors a et b deux points de la droite portant p, intérieurs à s, n’appartenant pas à p, tels que m soit entre a et b et qu'il y ait dans s des points de p extérieurs à l’intervalle ab. La sphère 5 de diamètre ab ne contient alors aucun point de p sur sa surface, elle est intérieure à s, m est à son intérieur et 1l y a dans l’intérieur de s des points de p extérieurs à 5.

5 étant intérieure à s, 1l lui correspond dans l’espace de P une surface simplement connexe sans point multiple È ne passant par aucun point de P ayant des points de P dans chacune de ses régions, Pour démontrer le théorème, 1l me suffit alors de prouver que ceci est impossible, C’est ce qui résulte du théorème suivant.

80. Tnéorème. — Toute surface simplement connexe sans point multiple È qui a des points de P dans chacune de ses régions coupe P.

Supposons qu'il existe une surface simplement connexe sans point multiple Ë, ayant des points de P dans chacune de ses régions et ne coupant pas P.£ et P ont alors un écart non nul et l’on peut déterminer un nombre À tel que tous les tores d’ordre À aient un diamètre inférieur à cet écart. Or chaque tore d’ordre À contient des points de P. Aucun d’eux ne coupera donc È. De plus, l'ensemble des tores d’ordre À contient tout P, dont il y a des tores d'ordre X dans chacune des deux régions de Y. La même propriété a lieu pour les circonférences d'ordre À. ,

Soient T un tore particulier d'ordre À — 1 et, G,, C,, ..., Cx les k circonférences d’ordre À qu'il contient. C, C, étant enlacées sont dans la même région de X, de même C, et C;, ..., C et C,

(n° 54). Nous allons d’ailleurs reprendre la démonstration de cette propriété et en tirer d’autres conséquences.

Appelons 25 le cercle limité par C,; et A,;, et A,; les points d’intersection de L,; respectivement avec GC, et C4. Envisageons d’abord le cerele F, et les points A,, AÀ,. Je dis que ces points peuvent être Joints sur L, par une ligne polygonale ne coupant pas Ë. Enfermons en effet £ dans un domaine polyédral D non enlacé avec C,, C, et C,. Nous pouvons choisir ce domaine de façon que les cubes qui le constituent n’aient aucun de leurs sommets dans le plan de C, (n° 50). La frontière de l’ensemble des points de D situés sur F, est alors formée d’un nombre fin de contours polygonaux [ sans point multiple et sans point commun, ne touchant pas C,. Le point À, n’est intérieur à aucun de ces polygones. Si, en effet, 1l était intérieur, au contour I, C, serait enlacé avec |, ce qui est impossible puisque I appartient à D. De même, À, n'est intérieur à aucun des contours [. Donc on peut joindre À, et À, sur T, par une ligne polygonale x, ne coupant pas D, donc extérieure à D comme A, et À,. «, ne coupe pas È qui est intérieure à D.

Construisons de même les lignes &,, &, ..., & ne coupant pas Z (?). Appelons enfin «,;., l’un des deux arcs A,;, À.,,, de C,:,,. L'ensemble de tous ces arcs forme une ligne fermée &« ne coupant pas E, intérieure à T et enlacée avec l’axe de T. Je vais prouver que, par une déformation homéomorphe de l’espace, n'altérant que l’intérieur de T, je peux passer de x à la circonférence d'ordre À —1— que contient T.

81. Considérons d’abord l’arc «,. Appelons B, le segment de droite À, À,. On peut passer de «, à 8, par une déformation de F, sur lui-même, n’altérant pas la frontière C.. Ceci résulte du théorème du n° 26. Mais la déformation qui est indiquée à ce numéro ne conviendra pas ici parce que les points AÀ,, À, ne restent pas fixes, alors que cette fixité me sera nécessaire. Mais &, étant une ligne polygonale, 1l n’y a pas de difficulté à réaliser cette condition.

(1) Je rappelle que le nombre k est pair.

Pour cela, remarquons que «&, est partagé en tronçons par B.. Il y a deux tronçons particuliers d’extrémités À, ou À,. J’appellerai tronçon, de la première catégorie un des tronçons restant et tel que le contour formé par ce tronçon et le segment rectiligne joignant ses extrémités ne contienne à son intérieur ni À, ni A,. Par un raisonnement analogue à celui du n° 45, je peux définir des déformations du type envisagé faisant disparaître ces tronçons de première catégorie et ceci en diminuant le nombre des extrémités de tronçons. Ces déformations faites, parcourons la nouvelle ligne &, de À, vers À, et appelons B le premier point de rencontre avec B,. Sur le segment À, B, 1l n’y a pas d’extrémités de tronçons, car une telle extrémité appartiendrait nécessairement à un tronçon de la première catégorie, tronçon qui serait totalement intérieur au contour formé par l’are À, B et le segment A, B. Nous pouvons alors, par une déformation du type envisagé.et portant sur un polygone un peu supérieur à celui limité par ce contour, faire disparaître l’extrémité B (cf. n° A5). Cette opération ne fait d’ailleurs apparaître aucune nouvelle extrémité de tronçons et aucun tronçon de première catégorie. Je peux alors la répéter sur les extrémités restantes et J'arriverai à un are &, n'ayant plus que ses extrémités À,, À, en commun avec f,. Une dernière déformation laissant ces extrémités fixes amènera finalement «, sur B,.

Ceci étant, appliquons à la déformation totale et au cerele F, la propriété du n° 36. Je la modifie légèrement en supposant qu’au lieu des normales à F,, j'envisage une famulle d’arcs de circonférence jouant le même rôle et dont C, et GC, font partie. La détermination d’une telle famille ne présente aucune difficulté. Je peux donc passer de «x, à 5, par une déformation homéomorphe de l’espace n'altérant que le voisinage de T,,, laissant fixes les points À,, À, et par suite les circonférences C, et C,. Faisons des déformations analogues pour'les arcs-d3 45. ,, 0.

Après ces déformations, Z sera devenue une autre surface simplement connexe Z’, les portions de X intérieures à T ayant seules été modifiées. Les arcs B,, 6,, ..., 8, et les arcs «,, &,, ... ne coupent pas Z' et si, par exemple, les circonférences C; sont intérieures à Z, ces ares sont intérieurs à X/.

Considérons maintenant le cercle F, limité par C,. Une déformation homéomorphe de l’espace n’altérant que le voisinage de F, permet de passer de «, au segment B,, joignant A, et A,. Je fais la même déformation pour tous les arcs &,, «,, .... J’obtiens ainsi une surface simplement connexe sans point multiple Ê” qui n'est pas coupée par la courbe B, somme des arcs B;. Si d’ailleurs les courbes C,; “sont intérieures à E, B est intérieur à X”. Les parties de £ extérieures à T n'ayant pas été altérées, les circonférences d’ordre À extérieures à T occupent la même position par rapport à E” et à Z.

La courbe 8 diffère très peu de la circonférence d’ordre À — 7 que contient T. Une dernière déformation permet de passer de $ à cette circonférence.

L’extérieur de T n'ayant pas été altéré, je peux répéter les mêmes opérations sur chacun des autres tores d’ordre À — 1 sans modifier ‘les propriétés acquises. Après ces opérations, j'arrive à une surface simplement connexe sans point multiple Z,, ayant les propriétés suivantes :

E), ne coupe aucune des circonférences d'ordre À — 1. Il y a des circonférences d'ordre À-— 1 dans chacune des régions de X,,, parce qu’il y avait des circonférences d’ordre À dans chacune des régions

de 2.

82. E;, a donc par rapport aux circonférences d’ordre À— 71 la propriété qu'avait È par rapport aux circonférences d'ordre À. Les “mêmes raisonnements me permettront d'en déduire une surface X,., “ayant les mêmes propriétés par rapport aux circonférences d'ordre À—2 et de proche en proche j'arriverai à une surface simplement connexe ©, ne coupant aucune des circonférences d'ordre 2 et en ayant dans chacune de ses régions. Or, ceci est impossible. En effet, les circonférences d’ordre 2 sont toutes intérieures au tore unique d’ordre 1 et par suite sont dans la même région de £, (n° 50). |

Il est donc impossible que ÈŸ ne coupe pas P, ce qui démontre le théorème du n° 80 et achève la démonstration du théorème du n° 79. AT

? ‘à ; L HOMEOMORPHIE DE DEUX FIGURES ET DE LEURS VOISINAGES. 97 +

85. Soit L'un arc de Jordan sans point multiple contenant P. Nous supposérons cet are construit, par exemple, par le procédé indiqué au n° 79, les polyèdres étant remplacés par les tores T, l'est un nouvel exemple d’un arc de Jordan dont la correspondance avec un segment de droite + ne peut s'étendre à aucun voisinage.

Si une correspondance entre F et y pouvait s'étendre, il correspondrait à P un ensemble parfait discontinu p situé sur y et l’on aurait en particulier une extension de la correspondance entre P et p. Nous venons de montrer qu’une telle extension est impossible.

La propriété est d'ailleurs vraie pour tout arc de T ayant un point de P comme point intérieur au sens strict. Si M est en effet un point de P intérieur à cet arc, il existe un ordre À assez grand pour que les extrémités de larc soient extérieures au tore d’ordre À qui contient M. L’arc, d’après la construction de F, contient alors toute la partie de P intérieure à ce tore, partie qui est un ensemble semblable à P.

84. De l’ensemble P, je vais déduire deux ensembles Q, Q' dont la correspondance peut s'étendre à leurs voisinages, mais pas à tout l’espace. Q est la somme de deux ensembles P,, P, égaux à P, les tores d’ordre 1, T,, T,, de ces ensembles étant enlacés. Q" est la somme de deux ensembles P', P° égaux à P,.les tores 1 d'ordre À, T°, 1°, de ces ensembles étant extérieurs l’un à l’autre et non enlacés. [l y a une correspondance immédiate entre Q et Q” qui s’étend à leurs voisinages, celle qui résulte de légalité des quatre tores T,, T,, T°, T,,et des ensembles qu’ils contiennent. Je dis qu'il n’y a aucune correspondance entre Q et Q" qui puisse s'étendre à tout l’espace. Supposons, en effet, qu’il y en ait une. Supposons T, T, assez écartés pour que je puisse construire une sphère £’ ayant T, à son intérieur et T° à son extérieur. Z’ contient alors des points de Q’ dans chacune de ses régions et pas sur sa surface. I lui correspond une surface simplement connexe "sans point multiple È ayant la même propriété vis-à-vis de Q. Ceci est impossible, les raisonnements du n° 82 nous permettant de construire une surface simplement connexe sans point multiple ne coupant pas les deux circonférences d'ordre 1 de Q et en ayant une à son intérieur et

l’autre à son extérieur, ce qui est en contradiction avec le fait que ces circonférences sont enlacées.

85. Je déduis de Q et Q! deux arcs de Jordan TV, F' dont la correspondance peut s'étendre à leurs voisinages, mais pas à tout l'espace. Test la somme de trois arcs l,, F,, F,. L’are V, est intérieur à T, et contient P,; l, est intérieur à T, et contient P,; F, Joint une extrémité de l, et une extrémité de F, et e’est une ligne polygonale, 1", [! sont respectivement égaux à l; et F,, cette égalité résultant de celle des ensembles P et des tores T. F, joint une extrémité de [à une extrémité de F, et est une ligne polygonale. La correspondance entre T'et F’s’étend de suite à leurs voisinages,

Supposons qu'il y ait une correspondance entre F et F qui puisse s'étendre à tout l’espace. Supposons F, choisi de façon qu'il soit coupé en un seul point À’ par la sphère Ÿ/ envisagée au n° 84. La surface Ÿ correspondante coupe alors’ T en un seul point A. Mais cette surface coupe Q, donc À appartient à Q, puisque tout Q est sur F. La même propriété s'applique à tous les points d’une portion rectihigne de F, voisine de A". L’homologue de ce segment rectiligne serait donc une partie de Q, donc un ensemble discontinu, ce qui est impossible.

Cet exemple complète les résultats de la première Partie où nous avions indiqué une propriété de cette nature, mais pour une courbe fermée.

86. Le théorème du n° 80 a une allure paradoxale. Je vais en établir un autre de même nature.

THÉORÈME. — Soit L une courbe de Jordan extérieure à un des tores T de définition de P et enlacée avec la circonférence C lieu des centres des méridiens de T. Toute calotte simplement connexe X ayant L pour frontière coupe P. L'ensemble des points communs à P et à Z n'est pas dénombrable.

Je peux supposer que le tore T envisagé est le tore d’ordre 1, quitte à ne considérer que la partie de P intérieure à ce tore. Si l’on veut seulement montrer que P et Y se coupent, on peut em-

ployer des raisonnements analogues à ceux qui ont servi pour le théorème du n° 80. Si P et Y ne se coupaient pas, il existerait un ordre À tel qu'aucune des circonférences d'ordre À ne couperait E. On en déduirait une autre calotte ayant même frontière L et ne coupant pas C. Ceci est impossible puisque L et C sont enlacées.

Pour démontrer en même temps que l’ensemble des points communs à P et E n’est pas dénombrable, il faut employer un autre procédé. Pour la symétrie des notations, j’affecterai de l’indice.r les lettres (sauf P) qui figurent dans l’énoncé. Je vais alors établir le lemme suivant.

. 87. Lemme. — [1 existe sur Y, une courbe I, extérieure à un des tores d'ordre 2, soit T,, et enlacée avec la circonférence C, d'ordre 2 qu'il contient.

Supposons qu'il n’existe pas de courbes L, satisfaisant à ces conditions. À chaque tore T, d'ordre 2, j’adjoins un tore parallèle et extérieur T, assez voisin pour que la chaîne des tores T°, ait les mêmes propriétés d’enlacement que la chaîne des tores T,. Je montrerai que je peux déterminer sur chaque tore T', une courbe ne coupant pas Ÿ, non enlacée avec la circon/férence d'ordre 2 intérieure à T°, et enlacée avec l'axe de ce tore. Des déformations de l’espace n’altérant que le voisinage des tores T°} peuvent amener ces courbes à être des parallèles des tores T°. La chaîne formée par ces parallèles est analogue à la chaîne des circonférences d’ordre 2 et elle ne coupe pas la nouvelle surface déduite de Ë, par ces déformations, surface qui a encore L, pour frontière. Ceci est impossible, car on en déduirait une autre calotte de même frontière ne coupant pas C,, qui est enlacée avec L.

Il suffit donc de prouver que, s’il n’existe pas sur À, de courbe extérieure à un tore T, d’ordre 2 et enlacée avec la circonférence C, d'ordre 2 qu'il contient, on peut déterminer sur T, une courbe ne coupant pas Z,, non enlacée avec C, et enlacée avec l'axe de T,.

Si E, ne coupe pas T!,, la courbe cherchée est immédiate : ce sera par exemple un parallèle de T. Supposons que À, coupe T, et soit H l’ensemble de leurs points communs. Soit d'autre part 0 l'écart de T, avec T,. Par des raisonnements analogues à ceux des

n°S 5f et suivants, je peux prouver que : 1° il existe un nombre ñ tel que, si M,, M, sont deux points de X, distants de moins de n, on peut les joindre sur Z, par un chemin intérieur à une sphère de diamètre 0; 29 il existe un nombre € tel que toute courbe J dont chaque point a avec H un écart inférieur à € peut être amenée sur È, par une déformation au cours de laquelle chacun de ses points garde avec H un écart inférieur à 0. Au cours de cette déformation, on ne rencontrera donc pas T, et l’on restera à l’extérieur de T,. Donc le coefficient d’enlacement de J avec C, ne change pas. Mais on arrive à une courbe tracée sur Æ, et extérieure à T,, donc non enlacée avec C,. Par suite, toute courbe telle que J n’est pas enlacée avec C..

e étant ainsi déterminé, pavons l’espace à l’aide de cubes de diamètre inférieur à € et gardons ceux de ces cubes qui touchent H. Ils forment des domaines D et toute courbe de D est non enlacée avec C,. Je supposerai D choisi de façon que sa frontière coupe T, suivant un nombre fini de courbes [ sans point multiple et sans point commun (n° 50). Les courbes I existent, sans quoi un méridien de T, serait intérieur à D, ce qui est impossible puisqu'il est enlacé avec C,. Les courbes TL ne touchent pas H, donc Ë,, et ne sont pas enlacées avec C,. Leur coellicient d’enlacement avec l’axe de T, est donc o ou 1. Si ce cocflicient est 1 pour lune d’elles, cette courbe sera la courbe cherchée.

Supposons que ce coefficient soit o pour toutes les courbes L. Si je fais la représentation de T°, sur un plan I (n° 39), les représentations de ces courbes sont des courbes fermées z. Un raisonnement analogue à celui du n° 50 montre alors que la région de II extérieure à toutes les courbes z représente des points n’appartenant pas à D. Traçons alors un segment de droite ab représentant un parallèle, «a et b étant dans cette région. Les diverses représentations d’une courbe [ particulière découpent ab en tronçons : considérons ceux de ces tronçons intérieurs aux représentations de L'et reportons-les sur toutes les représentations de [. Il y en a un dont les extrémités sont consécutives sur 1, soit a, b,. a, b, et l’are a, b, de : délimitent alors une région de IT représentant de façon biunivoque une portion de T, (n° 42). Je peux alors rem-

placer un segment un peu supérieur à a, b, par un arc très voisin de l'arc a, b, de à et extérieur à & de façon que le nouvel arc ab représente encore une courbe sans point multiple non enlacée avec C, et enlacée avec l'axe de T'. Je ferai de même pour les tronçons du type de à, b, qui apparaissent alors obligatoirement et ceci jusqu’à ne plus avoir de points intérieurs aux représentations de la courbe I envisagée. Je fais de même pour chacune des courbes [. La courbe obtenue finalement représente une courbe .ne touchant pas D, donc ne touchant pas XZ,. Cette courbe n’est pas enlacée avec C, et est enlacée avec l’axe de T!. C’est donc la courbe que je cherche sur T°. Le lemme est ainsi démontré. Remarquons que, dans la démonstration, J'avais seulement fait intervenir la condition qu'il n’existait pas de courbe L, dans le voisinage de T,.J’amenais en effet la courbe J sur E,, chaque point de J ayant toujours un écart inférieur à 0 avec H. Done, non seulement L, existe, mais encore 1l existe des courbes L, intérieures

Ale

88. Le lemme précédent peut être complété ainsi: Non seulement L, existe, mais il existe une autre courbe L}, ayant la même propriété, les deux calottes X,, È, découpées par ces courbes dans È, n'ayant pas de point commun.

Au cours de la démonstration de cette proposition, j'introduirai un certain nombre de courbes fermées tracées sur Ë,. J’appellerai intérieur de l’une de ces courbes, la calotte simplement connexe qu’elle découpe dans À, et extérieur le reste de X,. Ces dénominations s’appliqueraient, en somme, à une représentation de È, sur un cercle. D’un autre côté, j’associerai à chaque tore T, d'ordre 2, deux tores parallèles et extérieurs, l’un Q, à la distance 0 de T,, l’autre R, à la distance 2 0. 0 est supposé assez petit pour que les tores R, (et par suite les tores Q,) forment à l’intérieur de T, une chaîne analogue à la chaîne des tores T,.

Nous avons vu que nous pouvions choisir L, aussi voisin qu'on veut de lPun des tores T,. Je choisirai cette courbe assez voisine de l’un des tores T, pour qu’elle soit extérieure à tous les tores T,. Je prends alors 0 inférieur à la moitié de l'écart de L, et des tores Le

Je construis une surface polyédrale S,, voisine de X,, et lui correspondant, les points homologues de $, et E, ayant toujours un écart inférieur à 0. Je choisis cette surface de façon qu'aucune de ses arêtes ni de ses faces ne soit tangente aux tores Q, et qu'aucun sommet ne soit sur ces tores. Dans ces conditions, l’intersection de S, et des tores Q, a pour homologue sur X, un nombre fini de courbes sans point multiple et sans point commun. Aucune de ces courbes ne coupe L, et si l’une d’elles correspond à l'intersection de S, et d’un certain tore Q,, elle est extérieure au tore T, correspondant et intérieure au tore R,.

Parmi ces courbes, il peut y en avoir qui ont L, à leur intérieur. : Dans ce cas, il y en a une F qui les contient toutes. J’appelle X’ l'extérieur de F (lextérieur de L,, si F n’existe pas). Je désignerai par G une quelconque des courbes restantes, situées sur Z’. Sr l’une des courbes G est enlacée avec une des circonférences C,, ce sera la courbe L;, cherchée. Nous allons montrer qu’en supposant que chacune des courbes G n’est enlacée avec aucune des circonférences C,, nous arrivons à une contradiction, ce qui prouvera l'existence dette

Supposons qu'il en soit ainsi. La partie d’un seul tenant de Y, extérieure aux courbes G, ne contient aucun point des courbes C,. Cette partie est;ven ee tout entière extérieure aux tores T, : Un point de T, est à une distance de Q, égale à 0, donc son homologue sur S, est intérieur à Q,; on ne peut atteindre ce point sur S,, à partir d’un point de l’homologue de L,, qu’en traversant le tore Q,; donc on ne peut atteindre un point de T,, à partir de L,, sur Z,, qu’en traversant une courbe G. Les frontières L, et G de cette partie de Z/ ne sont pas enlacées avec les courbes C,. Donc le reste de sa frontière F n’est enlacé avec aucune des courbes C,. Ceci prouve déjà que F n’est pas la courbe L, qui est sniaeee avec une des courbes C..

Soit J une courbe tracée sur X' et extérieure à l’un des tores R.. Je dis qu’elle n’est pas enlacée avec la circonférence C, que contient R,. J étant extérieure à R, ne coupe aucune des courbes G qui proviennent du tore Q, intérieur à R,. La portion de X/ intérieure à J et extérieure à ces courbes G particulières est donc extérieure à T,

et par suite ne contient aucun point de la circonférence C, intérieure à R,. Les courbes G faisant partie de sa frontière ne sont pas enlacées avec C,, de même que F (dans le cas où F ferait aussi partie de cette frontièré). Done le reste de cette frontière, c’està-dire J, n’est pas enlacé avec cette cireonférence C,.

Ceci étant, Je peux appliquer à Z' et aux tores R, les raisonnements faits au n° 87 sur E, et les tores T,. Il existe sur chaque tore R, une courbe ne coupant pas £’, enlacée avec l'axe de R, et non enlacée avec la courbe C, que contient R,. Des déformations n’altérant que le voisinage des tores R, permettent de prendre pour ces courbes un parallèle C; sur chaque tore R,, £Ê’ étant transformée en une autre surface que j'appelle encore Z’, ayant pour frontière la courbe L, et une courbe que j'appelle encore F, qui est intérieure à l’un des tores R,, tore que je désignerai par R. J’appellerai de même C’ le parallèle C, pris sur ce tore et je supposerai que c’est le cercle de gorge de R.

Les courbes C', forment à l’intérieur de T, une chaîne analogue à la chaîne des courbes C,. ?’ a un écart non nul avec ces courbes. On peut déterminer un nombre e tel que toute courbe dont chaque point a, avec Z’, un écart inférieur à € peut être amené sur Ÿ/ sans couper aucune des courbes C!. Mais toute courbe tracée sur Z’ se ramène à zéro, ou à L,, donc n’est enlacée avec aucune des courbes C,. On peut donc enfermer X' dans un domaine polyédral non enlacé avec les courbes C.

Grâce à ce domaine polyédral, je peux, comme aux n° 80 et 81, construire une courbe &« ne coupant pas X’, intérieure à T, et enlacée avec l’axe de T,, donc avec L,. Prenons une précaution pour construire une partie de &. Soient À, B les deux points de rencontre avec le cercle limité par C’ (relatif au tore particulier R qui contient F) des deux courbes C, enlacées avec C’. Pour former &, je prendrai d’abord une ligne polygonale joignant AB sans couper X’ et intérieure au cercle limité par C'. Comme arcs des courbes C; enlacées avec C/, je prendrai deux arcs qui, au voisinage dé À et B sont du même côté du plan de C’. Grâce à cette précaution, je peux réduire R à un point sans couper &«. Il en est de même de F, intérieur à R. Donc F n’est pas enlacée avec «.

La contradiction cherchée réside dans le fait que & ne coupe pas X, n’est pas enlacée avec F et est enlacée avec L,.

L! existe donc et peut être prise parmi les courbes G, donc est, comme L,, intérieur à T,.

89. Appelons courbe d'ordre 1, la courbe L, et courbes d’ordre 2, les deux courbes L,, L! qui viennent d’être mises en évidence. ‘L, joue par rapport à un tore d’ordre 2 le rôle que joue L, par rapport au tore d’ordre 1. Je peux done construire à l’intérieur de L, deux courbes L,, L' (courbes d'ordre 3) extérieures l’une à l’autre, intérieures à un tore d'ordre 2 et jouant chacune par rapport à un tore d’ordre 3 le rôle de L,, par rapport à T,. Je fais de même pour L, et Je continue ces opérations indéfiniment. :

L'infinité dénombrable des courbes L satisfait, par construction aux conditions a et b' du n° 75 : toutes les courbes d'ordre À sont extérieures les unes aux autres; à l’intérieur d’une courbe d’ordre À il y a deux courbes d’ordre À +1 et chaque courbe d’ordre À +7 est intérieure à une courbe d'ordre À. De plus, une courbe d’ordre À est intérieure à un tore d’ordre À—1, done le diamètre maximum des courbes d’ordre À tend vers zéro quand À augmente indéfiniment (condition c). En prenant l'intermédiaire d’une représentation de Y, sur un cercle, on en déduit que les courbes L définissent sur Z, un ensemble parfait partout discontinu P' qui est l’ensemble des points de X, intérieures à une infinité des courbes L.

Je dis que P' appartient à P. En effet, un point M de P’ est intérieur à une suite de courbes L comprenant une courbe et uné seule de chaque ordre. C’est le point limite unique d’une suite de points pris un et un seul sur chacune des courbes de la suite précédente. Or le point pris sur la courbe d’ordre À est intérieur à un tore d'ordre À —1. Donc M est un point de P.

Il en résulte que, non seulement P et X, se coupent, mais que, parmi les points communs à P et à X,, il y en a formant un ensemble parfait, donc non dénombrable.

90. Comme courbe EL, nous pouvons prendre un méridien ou un parallèle d’un des tores de définition de P. Si nous considérons l’are

de Jordan F qui contient P (arc que je peux supposer ne pas couper L,), toute calotte simplement connexe sans point multiple ayant L, pour frontière coupe V'et parnu les points d’intersection, il y en à une infinité non dénombrable appartenant à l’ensemble P.

C’est un fait de même nature que celui démontré au n° 64. Nous avons cependant ei cette circonstance plus paradoxale que la courbe F (qui joue le rôle de la courbe C, du n° 60) est une courbe ouverte et que parmi les points d’intersection, il y en a une infinité non dénombrable appartenant à un ensemble discontinu particulier situé sur F.

Vu et approuvé :,,

Strasbourg, le 31 mai 1921.

Le Doyen Ds LA FACULTÉ DES SCIENCES,