LES ENSEMBLES PARFAITS PARTOUT DISCONTINUS PLANS

75. Les ensembles parfaits, partout discontinus, bornés, plans, sont, au point de vue du problème qui nous occupe, dans le premier des trois cas possibles : leur correspondance peut s’étendre à la totalité de leurs plans. Il nous suflira de faire la démonstration dans le cas où l’un des ensembles est un ensemble particulier.

Soient alors P un ensemble, parfait discontinu, borné, quelconque, du plan E, et p l’ensemble utilisé au n° 74. La démonstration faite à ce numéro a prouvé que P et p sont homéomorphes. Je me propose d’étendre cette correspondance à la totalité de E et de e,

Nous supposerons P donné par ses polygones de définition V. Nous supposerons encore qu'il y a un seul polygone d’ordre 1. La démonstration du n° 74 a fait correspondre à ces polygones des intervalles de définition de p. Nous en déduisons immédiatement

(*) Ce résultat, ainsi que celui du n°72, ont été, comme je l’ai déjà dit, énoncés

par M. Densoy, C. R. Acad, Sc., t. 149, 1909, p. 1048, et t, 151, 1910, p. 138.

des polygones de définition de p : il suffit de remplacer chaque intervalle par le carré dont il est la diagonale. Nous appellerons # ces carrés. La correspondance entre les carrés » et les polygones V résulte de la correspondance établie au n° 74 entre les V et les intervalles de définition de p. Cette correspondance entraîne aussi l’homéomorphie de P et p comme il a été dit au n° 74.

Soient alors V et » un polygone et un carré se correspondant. Si leurs contours n’ont pas le même nombre de sommets, je marquerai sur l’un de ces contours un certain nombre de points que j'appellerai sommets, de façon à égaliser ces nombres. J’établis alors entre ces contours une correspondance continue, les faisant cor- respondre sommet à sommet, côté à côté, la correspondance entre côtés étant une similitude. Je fais en outre en sorte que les sens de description des deux contours soient concordants.

La correspondance entre les contours ainsi établie, soient V un polygone d’ordre À et # son homologue. Supposons que V contienne à son intérieur x polygones d'ordre À + 1; # contiendra à son intérieur les x carrés homologues. La correspondance établie entre les contours s'étend à la région annulaire qu'ils limitent (n° 22). L'extension se fait de même pour les extérieurs du polygone et du carré d’ordre 1. Ajoutons enfin à ces correspondances la correspondance entre P et p. J’obtiens ainsi une correspondance biuni- ..voque de tout E et tout e. Tout point de l’un des plans n’appartenant pas à l’ensemble discontinu a, en effet, avec cet ensemble un écart non nul. Il est alors extérieur aux polygones de l’ordre À assez élevé pour que le diamètre des polygones de cet ordre soit inférieur à cet écart. Il entre donc dans une des correspondances envi-

sagées.

"Il reste à | prouver que la correspondance est continue. Ceci a manifestement lieu en dehors de P et p. Soient alors M, m deux points homologues particuliers de P et p, et M’, m! deux points homologues quelconques de E et e. Il faut montrer que :

1° Étant donné H, on peut déterminer À tel que mm! <h entraîne MM’ < H: DEEE

20 Étant donné h, on peut déterminer H tel que MM’ < H entraîne mm < h.

H étant donné, soit À un ordre assez grand pour que À,, maximum du diamètre des polygones d'ordre À, soit inférieur à H et soit V le polygone de cet ordre qui contient M. Son homologue # contient m et tous les points intérieurs à # ont leurs homologues dans V. Il suilit alors de prendre h inférieur à Pécart non nul de m avec le contour de ».

La deuxième partie se démontre de la même façon.

La proposition est établie.

76. Comme application, démontrons la propriété suivante : Soient, dans un plan E, deux ensembles parfaits partout discontinus, bornés, P; P' sans point commun. On peut passer de P à P' par une déformation homéomorphe de E n’altérant qu'une région bornée. Au cours de cette déformation, les divers points de P décriront des arcs de Jordan sans point multiple et sans point commun, dont l'extrémité seule appartient à P’.

Les deux ensembles, étant parfaits et sans point commun, ont un écart non nul €. Supposons que chacun d’eux soit donné par ses polygones de définition V, V’. Nous pouvons déterminer un ordre À assez grand pour que les polygones V et V’ de cet ordre aient un

. k : A NT diamètre inférieur à = e. Les polygones V et V’ de cet ordre n’em-

piètent pas les uns sur les autres. Je peux les considérer comme étant les polygones d’ordre 1 de l’ensemble parfait discontinu P + P’. |

Soit alors, dans un plan e, l’ensemble p porté par l’axe Ox, p étant toujours l’ensemble particulier déjà défini. Considérons un deuxième ensemble p' déduit de p par une translation parallèle à l’axe des y. Je supposerai ces ensembles définis par leurs carrés de définition, choisis de façon à établir l’homéomorphie de P et p ‘d’une part, P' et p' d'autre part. Je supposerai d’ailleurs p et p’ assez écartés pour que les carrés d’ordre À de p et p' ne se touchent pas. Au moyen des polygones V, V' et des carrés », #" d’ordre au moins égal à À, la correspondance entre P et p et celle entre P’ et p' s'étendent à la totalité de E et de e. Les raisonnements sont analogues à ceux du numéro précédent.

Il suflit alors de prouver sur p et p' la proposition que je veux établir. Or, dans e, la possibilité de la déformation est manifeste. Il suffira que, dans cette déformation, chaque point de p décrive un segment parallèle à laxe Oy. On pourrait d’ailleurs, au lieu des ensembles p et p! considérés, prendre deux ensembles homothétiques sur deux ares de cerele homothétiques et concentriques et appliquer à ces ensembles la déformation indiquée au n° 26.

77. Disons enfin un mot de la correspondance entre ensembles situés sur une droite. Soient P un ensemble parfait, partout discontinu, borné, situé sur une droite E (axe des T) et p un autre ensemble situé sur une droite e (axe des t). Il y a des correspondances entire P el p qui s'étendent à la totalité de E et e. Nous supposerons toujours que p est l’ensemble particulier déjà envisagé et que P est donné par ses intervalles de définition V.

Pour mettre en évidence la propriété que j’énonce, il suffira de prendre une précaution dans la détermination des intervalles de définition de p. Soient À, B les extrémités d’un intervalle V d’ordre À de P contenant à son intérieur x intervalles d’ordre À + r et soit ab l'intervalle » correspondant de p. Les x intervalles d'ordre À + 1 que contient # sont déterminés, mais la manière dont on les fait correspondre à ceux contenus dans V est arbitraire. Je choisirai cette correspondance de manière qu’en décrivant AB d’une part, ab d'autre part, les intervalles correspondants se présentent dans le même ordre. Je fais alors correspondre les extrémités de ces intervalles dans l’ordre où elles se présentent. E et e sont alors découpés en tronçons. Si un tronçon de E, ne contenant pas de points de P, est limité par deux points À, B, les deux points homologues a, b limitent sur e un tronçon ne contenant pas de points de p. Je ferai correspondre ces tronçons par similitude. J'ajoute à ces correspondances la correspondance entre P et p résultant de la construction des intervalles de définition de p et aussi une correspondance. entre les extérieurs de l’intervalle d’ordre 1 de P et de l'intervalle. d'ordre 1 de p. J’obtiens ainsi la correspondance cherchée entre E ete. Dans cette correspondance, les points homologues de P et de p se présentent dans le même ordre sur E et e.

Ceci s'étend immédiatement aux ensembles parfaits discontinus situés sur des courbes de Jordan sans point multiple d’un espace quelconque. Soient P et p deux ensembles parfaits discontinus situés respectivement sur des arcs de Jordan sans point multiple F'et y, les extrémités de ces ares n’appartenant pas aux ensembles. Supposons que les coordonnées d’un point de F s'expriment en fonctions continues d’un paramètre T variant de o à 1. Faisons correspondre aux points de F les points de l'axe des T dont l’abscisse est leur paramètre, À F correspond un segment de. droite F' et à P un ensemble parfait partout discontinu P' situé sur [”. Faisons de même pour p : à y correspond un segment de droite y’ et à p un ensemble parfait discontinu p' sur y”. Or, on peut étendre à la totalité de 1” et de y’ une certaine correspondance entre P' et p' et il en résulte l'extension à la totalité de tout F et de tout y d’une certaine correspondance entre P et p. (Ceci ne s'applique naturellement pas à une correspondance quelconque entre Pet p.)

La même propriété a évidemment lieu si F et y sont des courbes fermées. Elle a aussi lieu, dans le cas des courbes ouvertes, si certaines extrémités de ces courbes appartiennent aux ensembles sous la réserve que, si un point de P est extrémité de F, le point correspondant de p soit aussi extrémité de Y.