DE LEURS VOISINAGES

ENTRODUCTION:

Du point de vue de l’Analysis Situs, on ne considère pas comme distinctes deux figures F et f s’il est possible d’établir entre ces figures une correspondance ponctuelle qui soit univoque et con-. tnue dans les deux sens. On dit alors que ces figures sont homéomorphes. Mais l'identité des deux figures F et f apparaît comme plus parfaite, lorsqu'il est possible d’étendre la correspondance entre ces figures à des points qui n’en font pas partie. Dans cet ordre d'idées, en supposant que F est située dans un espace E et dans un espace e, nous chercherons à déterminer deux nouvelles figures F; et f1, situées respectivement dans E et e et ayant les propriétés suivantes :

a. F, content F; f, contient f; F, et f, sont homéomorphes et la correspondance entre F et f est un cas particulier de la correspondance entre F, et f;;

b. Tout point de F est centre d’une hypersphère de rayon non nul, dont tout l’intérieur appartient à F;, et tout point de f est centre d’une hypersphère de rayon non nul, dont tout l’intérieur appartient à f1.

En raison de l’invariance du nombre de dimensions d’un espace, ce problème n’a de sens que si les espaces E et e ont le même nombre de dimensions. Trois cas sont alors possibles :

19 On peut prendre pour F, tout l’espace E et pour f, tout l’espace e. Nous dirons alors que la correspondance entre F et } s’étend à la totalité de leurs espaces;

20 On peut déterminer F, et f,, mais on ne peut pas prendre pour ces figures tout E et tout e. Nous dirons que la correspondance entre F et f s’étend à leurs voisinages, mais pas à tout l’espace;

39 Il est impossible de déterminer deux figures F;, f, satisfaisant aux conditions a et b ci-dessus. Nous dirons que la correspondance entre F et f ne peut s'étendre à aucun voisinage, ou encore que ces figures sont homéomorphes seulement en elles-mêmes.

Étant données deux figures homéomorphes situées dans des espaces ayant le même nombre de dimensions, le problème fondamental qui se pose consiste à chercher dans lequel de ces trois cas se trouvent les deux figures. L’objet de ce travail est l'étude de ce problème dans quelques cas particuliers simples. Nous nous bornerons à l’espace à deux et à l’espace à trois dimensions et aux figures formées soit de courbes de Jordan sans point multiple, soit d’ensembles parfaits partout discontinus bornés.

La première Partie est consacrée aux courbes de Jordan sans point multiple. On appelle courbe de Jordan dans l'espace à n dimensions, l’ensemble des points dont les n coordonnées x,, æ, …., æ, s’expriment en fonctions continues d’un paramètre { qui prend toutes les valeurs d’un certain intervalle (&, 8) (extrémités comprises), qu’on peut toujours supposer être l'intervalle (0, 1). C’est ce que nous ferons dorénavant.

Une courbe de Jordan est dite ouverte et sans point multiple, ou encore est dite un arc de Jordan si, quels que soient #! et 4” distincts dans lintervalle (o, 1) les deux points de la courbe correspondants sont distincts. La courbe est dite fermée et sans point muliiple, si les mêmes conditions sont réalisées, sauf pour le point de paramètre o et le point de paramètre 1 qui sont confondus.

Deux arcs de Jordan sans point multiple sont homéomorphes.

L'HOMÉOMORPHIE DE DEUX FIGURES ET DE LEURS VOISINAGES. 3 Car, pour réaliser la correspondance, il suffit d'associer les points donnés par une même valeur de t.

On définit de même la correspondance qui prouve l’homéomorphie de deux courbes de Jordan fermées sans point multiple.

Le Chapitre T étudie les courbes planes. Je démontre que deux telles courbes (toutes deux ouvertes ou toutes deux fermées) sont dans le cas 19, c’est-à-dire que leur correspondance peut s’étendre à la totalité de leurs plans. Cette propriété a déjà été établie par plusieurs Auteurs et ia correspondance a même été réalisée par représentation conforme (1). La méthode que j’emploie a l’avantage de ne faire intervenir que des considérations tout à fait élémentaires, comme celle des chaînes qui ont été définies par M. de la Vallée Poussin et dont je rappelle les propriétés à la Section IL. La considération de ces chaînes m'amène à réaliser des correspondances entre polygones plans et ce sont ces correspondances que j'étudie tout d’abord à la Section L. J'indique à la fin du Chapitre diverses applications 1mmédiates des résultats obtenus. En particuber, je prouve que, étant données, dans un même plan, deux courbes de Jordan sans point multiple (toutes deux ouvertes ou toutes deux fermées), on peut passer de l’une à l’autre par une déformation continue du plan n’altérant qu’une région bornée de ce plan. Cette propriété sera fréquemment utilisée dans la suite,

Le Chapitre IT est consacré aux courbes de Jordan de l’espace à trois dimensions. {ct, chacun des trois cas prévus peut effectivement se présenter. Si l'on considère des courbes ouvertes tracées sur un plan, une sphère ou un tore, on est toujours dans le cas 1°. I en est de même si l’on considère des courbes fermées planes ou sphériques. Si l’on considère une courbe fermée C tracée sur un tore et une courbe c tracée sur un plan, une sphère ou un tore, on se trouve au moins dans le cas 29, mais on n’est pas toujours dans le premier

(1) Voir les travaux de M. Carathéodory (Math. Ann., Bd 72, 1912, p. 107, et Bd 73, 1913, p. 307 et 323). Au sujet de la correspondance homéomorphe entre domaines plans et des déformations homéomorphes du plan, on pourra consulter des travaux de M. Tietze (C. R. Acad. Sc., t. 157, 1913, p. 509; Rend. del Circ Mat. di Polermo, t. 38, 1914, p. 247). £

l LOUIS ANTOINE.

cas. Si nous prenons pour € une circonférence, et que nous cherchions les conditions nécessaires et suffisantes pour que la correspondance entre € et c s’étende à tout l’espace, nous devons faire intervenir les coeflicients d’enlacement « et 8 de C avec l’axe et le lieu des centres des méridiens du tore qui porte C. Nous trouverons alors que la condition cherchée est que l’un au moins des nombres & et 8 soit égal à o ou à 1. Quand les nombres &, 8 sont différents de o et de 1, ces deux nombres sont premiers entre eux.

Lorsque deux des courbes dont il vient d’être parlé sont dans le même espace et que leur correspondance peut s'étendre à la totalité de l’espace, on peut encore passer de l’une à l’autre par une déformation continue n’intéressant qu’une région bornée de l'espace.

De la considération des courbes tracées sur le tore, je déduis (Section IV) un arc de Jordan F dont la correspondance avec un segment de droite ne s’étend à aucun voisinage. Cette propriété est due à la forme de F au voisinage d’un point remarquable, et je montre que tout arc de l'ayant ce point comme point intérieur (au sens strict) ne peut pas être tracé sur une surface sans point multiple; en donnant au mot surface le sens qu’il a ordinairement en Analysis Situs. |

J’indique enfin à la Section V une autre singularité : l’existence de deux courbes non enlacées et telles cependant que chacune soit coupée par toute calotte simplement connexe sans point multiple ayant l’autre pour frontière.

Les démonstrations données dans ce Chapitre s’appuient sur quelques remarques relatives aux courbes enlacées et aux surfaces simplement connexes. Ces remarques s'étendent à un espace quelconque et je les établis à la Section I dans toute leur généralité.

Dans la deuxième Partie, j'étudie le même problème pour les ensembles parfaits partout discontinus bornés.

Le Chapitre I est une étude des propriétés générales des ensembles fermés discontinus. J’y indique un procédé permettant de définir très simplement tout ensemble de cette nature dans un espace quelconque. Il en résultera immédiatement : 1° qu’un ensemble parfait borné, partout discontinu, est toujours situé sur un

arc de Jordan sans point multiple; 29 que deux tels ensembles sont homéomorphes (1). Le fait qu’un ensemble parfait discontinu est situé sur un arc de Jordan laisse prévoir les différences profondes qui existent entre ces ensembles, au point de vue du problème qui nous occupe, suivant qu’on les considère dans un espace à deux ou dans un espace à trois dimensions.

Dans le cas des ensembles plans (Chap. IT), la correspondance peut s'étendre à tout le plan et peut être réalisée par des procédés analogues à ceux décrits pour le cas des courbes de Jordan.

Pour le cas de l’espace à trois dimensions (Chap. IT), je donne des exemples réalisant les trois cas possibles. Je définis un ensemble discontinu P dont la correspondance avec un ensemble situé sur une droite ne peut s’étendre à aucun voisinage. Ce fait tient à ce que P jouit d’une propriété assez curieuse et d’allure paradoxale : l’ensemble discontinu P est coupé par toute surface simplement connexe sans point multiple, qui contient, à son intérieur, des points de P sans les contenir tous. à

Je déduis encore de P deux ensembles discontinus P,, P, dont la correspondance peut s’étendre à leurs voisinages, mais pas à tout l’espace.

Il en résulte les mêmes propriétés pour les arcs de Jordan qui contiennent ces ensembles P, P;,, P.. Nous avons ainsi un nouvel exemple de deux arcs homéomorphes seulement en eux-mêmes et un exemple de deux arcs tels que la correspondance ne puisse s'étendre qu’à leurs voisinages et pas à tout l’espace.

Enfin, de la propriété énoncée sur P, je déduis un exemple, plus frappant encore de la singularité signalée à la fin de la première Partie : une circonférence C et un arc de Jordan C’ tels que toute calotte simplement connexe sans point multiple, ayant C pour frontière, coupe C'; 1l y a une infinité non dénombrable de points d’intersection qui sont situés sur l’ensémble discontinu P.

(*) Ces deux propri‘tés ont déjà été signalées, il y a une dizaine d’années, par M. Denjoy. Sa démonstration diffère légèrement de celle que j'indique. Cette démonstration n’a pas été publiée, mai; M. Denjoy a bien voulu me la communiquer. Je tisns à l’en remercier ici.

Lu)

Les singularités signalées montrent des différences très profondes entre l’espace à deux dimensions et l’espace à trois dimensions. On voit pourquoi des problèmes, très simples dans le cas de deux dimensions, deviennent tout de suite très compliqués quand on les aborde dans toute leur généralité pour l’espace à trois dimensions. |

Il me reste en terminant à témoigner ma bien vive gratitude à M. Lebesgue, qui a bien voulu orienter les débuts de ce travail et qui ne m'a jamais ménagé ses précieux conseils.