Je vais démontrer élémentairement le théorème suivant

Soient deux polygones plans P et p limités respectivement par deux contours polygonaux L et { sans point multiple et ayant le même nombre de sommets. P et p sont homéomorphes et la correspondance entre P et p peut être réalisée de manière que :

10 Let l se correspondent côté à côté, sommet à sommet, la correspondance entre deux côtés étant une similitude ;

20 Pet p peuvent être décomposés en un nombre fini de triangles se correspondant par homographie.

Un cas particulier très simple, auquel je ramènerai le cas général, est celui où L et { n’ont que trois sommets. P et p sont alors des

triangles. Il existe une correspondance homographique (et d’ailleurs une seule) faisant correspondre ces triangles sommet à sommet, côté à côté, la correspondance entre côtés étant une similitude. Cette correspondance homographique donne la solution du problème.

2. Supposons maintenant P et p quelconques. Pour simplifier je considère un polygone convexe p’ limité par un contour l’ ayant autant de sommets que L et {. Si je peux établir la correspondance indiquée au n° 1 entre P (qui est quelconque) et p', elle pourra aussi s'établir entre p et p' et il en résultera la correspondance cherchée entre P et p.

Je montrerai dans un instant que si P à plus de trois côtés, on peut, en joignant deux points M,,M,,convenablement choisis sur L, le décomposer en deux polygones P;,, P, ayant chacun moins de côtés que P. La droite joignant les deux points m,, m, de l' qui sont homologues de M;, M,, décomposée p' en p, et p,.

Il suffit de réaliser la correspondance demandée pour P, et p, d’une part, pour P, et p,, d'autre part, pour que la correspondance entre P et p' en résulte.

On est ainsi ramené au cas de polygones d’un nombre moindre de côtés et, en continuant ainsi, on aboutira au cas des triangles.

3. 51 P a quatre côtés au moins et s’il est convexe, on peut prendre pour M, et M, deux sommets non consécutifs de L. Si P n’est pas convexe, il a au moins un angle supérieur à deux droits, soit l’angle A. Et soient À,B, C, D, ..., X, Y, Z, A les sommets successifs de L. La demi-droite Ax, prolongement de BA au-delà de À, rencontre P; soit N le premier des points de rencontre quand on va de À vers &. N n'appartient ni à BC, n1 à ZA. S'il n’appartient pas non plus à YZ, je peux prendre M, en À et M, en N.

S'il appartient à YZ, et si le segment AY ne contient pas de points de L, je prends M, en À, M, en Ÿ. Sinon, en faisant tourner . une demi-droite, à partir de Ax, vers Ÿ, il y aura une première position Ay telle qu’en partant de À on rencontre L avant de rencontrer YZ, soit Q le premier point rencontré par Ay à partir

de À; je puis prendre M, en A, et M, en Q, car Q est un sommet de la digne CD =. XV

Ceci conduit parfois à des polygones ayant des côtés consécutifs portés par une même droite, mais ces polygones ne sont nullement exclus de nos considérations. De sorte que nous aurions pu supposer que les deux lignes L et ! n’avaient pas initialement le même nombre de côtés, et, en subdivisant les côtés de l’une d’elles, revenir au cas que nous avons étudié 1c1.