INTRODUCTION

J'expose, dans ce travail, une théorie de Tintégration des équations différentielles linéaires, qui est entièrement analogue à la célèbre théorie de Galois sur la résolution des équations algébriques. La proposition fondamentale en est la suivante :

A chaque équation linéaire d*ordre n correspond un groupe continu fini de transformations linéaires homogènes à n variables^ qui jouit de propriétés semblables à celles du groupe de substitutions d'une équation algébrique.

M. Picard avait établi l'existence de ce groupe, mais sans en énoncer complètement la double propriété (*).

Mon point de départ est Tétude des fonctions rationnelles des intéivraies (formant un système fondamental) d'une équation linéaire et des dérivées de ces intégrales. Elle comprend une théorie de la transformation des équations linéaires, analogue à la théorie de la transformation des équations algébriques, et conduit à une proposition qui correspond au théorème de Lagrange sur les fonctions rationnelles des racines d'une équation algébrique. L'existence du groupe de transformations d'une équation linéaire donnée et les propriétés du groupe s'en déduisent. L'intégration de l'équation donnée au moyen d'équations auxiliaires est alors liée à la réduction progressive de son groupe

(' ) Comptes rendus ( i883) et Annales de Toulouse (1887).

2 E. VESSIOT.

de transformations. La méthode à laquelle on arrive ainsi est la seule possible, si l'on s'astreint à n'employer comme équations auxiliaires que des équations jouissant de certaines propriétés caractéristiques. Elle donne la condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation linéaire soit intégrable par des quadratures, et de là résulte, en particulier, l'impossibilité d'intégrer, au moyen de quadratures, les équations linéaires générales d'ordre supérieur au premier.

La théorie des groupes de transformations, de M. Sophus Lie, sert de fondement à ce travail. C'est d'ailleurs en étudiant sa belle méthode d'intégration des systèmes complets que j'ai été amené à m'occuper des équations linéaires, et les idées générales de l'illustre savant norvégien sur l'intégration des équations différentielles m'ont constamment guidé. Aussi je tiens à lui exprimer ici toute ma reconnaissance pour la bonté avec laquelle il a bien voulu, pendant mon séjour à Leipzig, m'initier à ses théories si fécondes.

Ce travail est divisé en trois Parties. Dans la première, j'expose quelques principes, indispensables pour la suite, sur les groupes de transformations. Ils sont presque tous empruntés à l'Ouvrage de MM. Lie et Engel (*). F^a démonstration du théorème du Chapitre I, n° 4, m'appartient, ainsi que les développements du Chapitre II, dont les résultats ne peuvent d'ailleurs être inconnus à M. Lie.

La deuxième Partie contient l'exposition de la théorie générale de l'intégration des équations linéaires, telle que je l'ai esquissée en commençant.

La troisième Partie est consacrée aux applications. Je les ai limitées aux équations du deuxième et du troisième ordre. J'arrive a cette conclusion, qu'il ne peut pas se présenter dans l'intégration de ces équations de particularités intéressantes autres que celles qui ont été déjà signalées, notamment par Laguerre et Halphen.

Devant l'impossibilité d'une bibliographie complète, je me suis borné à citer les Mémoires qui m'ont été utiles. J'ai indiqué en passant, notamment au sujet des équations auxiliaires, quelques lacunes, sur lesquelles je me réserve de revenir.

(*) Théorie der Trati^formationsgruppen. Unter Miiwirkung von D*^ Engel, béarbeitet von Sophus Lie (Teubner, 1888).