CHAPITRE I

SUR LBS GROUPES DE TRANSFORMATIONS ET SUR LES INVARIANTS DIFFÉRENTIELS.

1. Principes fondamentaux. — Nous commençons par rappeler quelques propositions, qui sont fondamentales dans la théorie dos groupes de transformations, et qui sont d'ailleurs bien connues.

Soient •

(i) x'i—fi{x^, .. .,a7„; a„ ...,0;.) (/= 1,2, ...,/^)

les équations d'un groupe continu fini de transformations. Les fonctions x\^ ... ,x]^ des indéterminées a?!, . ..,a?;i et des paramètres (essentiels) éïi , . . . , £Z;., définies par ces relations, satisfont k des équations aux dérivées partielles de la forme

y l ^— 1,2, >••} Il ^ n — . I, 3, . . ., f )f

qui peuvent encore s'écrire

Si l'on pose alors

(4) ^k/=^Ui(jCu "-y^n) ^ (^*= 1,2, .. .,/•),

(*) SoPHUS Lie, Théorie der Tratisformationsgruppen, I, p. 3.|.

4 E. VESSIOT.

le groupe peut être considéré comme défini par les r transformations infinitésimales qui ont pour symboles

c'est-à-dire que l'ensemble des transformations du groupe se confond avec l'ensemble des transformations de tous les groupes à un paramètre engendrés par les transformations infinitésimales dont le symbole général est

ou e^, .. .,6^ sont des constantes arbitraires ( * ).

On peut enfin, pour définir le groupe donné, remplacer les transformations infinitésimales (4) p^r r combinaisons linéaires de ces transformations, qui soient elles-mêmes linéairement indépendantes.

Inversement, pour que r transformations infinitésimales indépendantes (4) définissent un groupe continu fini de transformations a r paramètres, il faut et il suffit qu'elles satisfassent à des relations de la forme

(5) (X/, X;t)r=:2ca., X, (/,A-=: 1,2, . . ., r),

où les quantités c,^, sont des constantes (^).

Ces constantes définissent la composition ou l^ slruciure du groupe (').

2. Groupes complexes. — Outre les groupes que nous venons de considérer, il en est qui ne peuvent pas être définis par un seul système d'équations. Tel est, par exemple, le groupe de toutes les transformations de coordonnées rectangulaires du plan, qui ne peut être représenté que par l'ensemble des deux systèmes d'équations

j:' 1— x cos a — y sin a,

y 1= X sin a -+- 7 cos a ;

x' zzzx cos a 4- jsin a, /' = j? sin a — j cos a.

(1) Sopiius Lie» Trcuisformationsgruppen, I, p. 75. (ï) Ibid.y I, Ch. 9.

(') Ibid., I, Ch. 17.

Nous appellerons, pour abréger, un tel groupe un groupe complexe.

A l'égard de ces groupes M. Lie a obtenu le résultat suivant (*).

Tout groupe complexe est défini par un groupe G, engendré par des transformations infinitésimales, et par un certain nombre de transformations finies T|, .. .,T,n.|, laissant le groupe G invariant (^); dételle sorte que l'ensemble de ses transformations se compose des m familles de transformations

(6) TqG, ïiG, ..., T„i-.iG.

To désigne la transformation identique. De plus les transformations!, doivent vérifier des relations de la forme

où S représente une transformation du groupe G, mais aucune relation de la forme

Si G a r paramètres, nous dirons aussi que le groupe complexe (6) a r paramètres.

Dans la suite, à moins que le contraire ne soit expressément spécifié, nous ne considérerons que des groupes non complexes, c'est-à-dire engendrés par des transformations infinitésimales.

3. Invariants différentiels (^ ) . — Nous n'aurons à considérer que des invariants différentiels d'une nature très simple. Dans les équations (i), qui définissent un groupe de transformations, nous supposons que a?|, . . ., ^rt sont des fonctions d'une variable indépendante t\x\, ....^), sont alors d'autres fonctions de cette variable, et leurs dérivées successives, prises jusqu'à l'ordre h par exemple, sont liées à a?,, .. ., x^^ et à leurs dérivées jusqu'à Tordre h par des relations qui se déduisent, par différentiations, des équations (i), et qui définissent avec elles un

(* j SoPHUs Lie, I, Ch. 18.

(») Nous (lisons, avec M. Lip, quQ T laisse le groupe G invariant, si le groupe!-* GT est identique au groupe G.

(')Sopiius Lie, Trans f ôr niat iortsgr uppe/t , l, Ch^p^^.

G E. VESSIOT.

groupe de transformations aux variables

djoi dx,^ d'^Xx d^x„

Tout invariant (absolu) de ce groupe prolongé sera dit un invariant différentiel d'ordre A du groupe donné.

Il est alors évident que la dérivée d'un invariant différentiel, prise par rapport à t, est un nouvel invariant différentiel, et c'est là une remarque qui nous sera très utile dans la suite.

Les transformations infinitésimales du groupe (i), prolongé jusqu'aux dérivées d'ordre A, s'obtiennent d'après les règles données par M. Lie et sont

"iv-Sî-cë-Is-'-Tl, - -2k.î«>-) J

d -zzi ,^, - d

dt '"' dt*"

Les invariants différentiels d'ordre inférieur ou égal à A sont les intégrales du système complet formé de celles des équations

qui sont linéairement indépendantes. Il en résulte que ces invariants différentiels s'expriment en fonction d'un nombre limité d'entre eux, qui constituent un système d'invariants fondamentaux.

4. Groupes simples et groupes composés (*). — On dit qu'un sousgroupe H d'un groupe G est invariant dans G si, quelle que soit la transformation T appartenant à G, le groupe T"* HT est identique au groupe H. Si les deux groupes H et G sont définis par leurs transformations infinitésimales, on reconnaît l'invariance de H dans G au moyen du théorème suivant :

Pour que le groupe

( Il ) \l . . . X,;|

M)SoPHU8 LiB. Transformatiotisgruppen, I, (ihap. 15, 17 et 21.

srR l'intégration DRS EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.

soit invariant dans le groupe

il faut et il suffit qui il existe des relations de la forme

où les ^iffs sont des constantes.

Nous dirons encore que H est un sous-groupe invariant maximum de G, s'il est invariant dans G, sans être contenu dans un autre sousgroupe invariant de G.

Un groupe de transformations est simple s'il ne contient pas de sousgroupe invariant; dans le cas contraire, il est composé.

Étant donné un groupe composé G, on peut trouver au moins une suite de sous-groupes

G, ll|, H], ..., ll/n~|y

tels que chacun d'eux soit un sous-groupe invariant maximum du précédent et que le dernier soit simple. C'est ce que nous appellerons une décomposition normale du groupe G, et nous nommerons indices de cette décomposition les nombres X^, Xa, ..., X;;, définis de la manière suivante ; X^ est la différence entre les nombres de paramètres de G et d'un sous-groupe maximum (*) de G contenant H4 ; X^ est de même la différence entre les nombres de paramètres de H^ et d'un sous-groupe maximum de H« contenant H^, et ainsi de suite; enfin X^ est la différence entre les nombres de paramètres de H;„.| et d'un sous-groupe maximum de H,„,.

Cela posé, nous pouvons énoncer le théorème suivant, qui intervient dans les applications de la théorie des groupes aux questions d'intégration.

Théorème (^). — Dans toute décomposition normale d'un groupe, les indices sont les mêmes, à l'ordre prés.

(1) C'est-à-dire ayant le plus de paramètres possible.

(^) L'énoncé de ce théorème nous a été communiqué par M. Sophus Lie.

8 K. VESSÏOT.

Soient en effet deux décompositions normales d'un groupe G

(I) GHiH,. . .H,;,i,

(II) GKiK,...Kp i;

nous pouvons supposer que H| et K, ne coïncident pas, sans quoi, on démontrerait le théorème pour le dernier des sous-groupes qui serait le même dans les deux suites. Deux cas peuvent donc se présenter :

Premier cas. — H, et K, n'ont pas de transformation infinitésimale commune; ces deux groupes sont, par exemple,

(H,) Y,Y,...Ya,

^ IV.] j A| A] • • • A/*

Les transformations infinitésimales

définissent un groupe qui est invariant dans G; il se confond donc avec G puisqu'il contient H^, par exemple.

De plus, H, (et de même K,) est simple, car, s'il contenait un sousgroupe invariant Y<, . . . , Ya, les transformations

définiraient un sous-groupe invariant de G contenant K^, ce qui ne peut être. Soient alors

deux sous-groupes maximum de H, et de K, ; on voit facilement que

sont : le premier, un sous-groupe maximum de G contenant H<, et, le second, un sous-groupe maximum de G contenant K,. Donc les indices de composition sont, pour la suite (I),

et, pour la suite (II),

le théorème est donc vrai.

SUR L INTÉGRATION DES F.OrATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 9

Deuxième cas. — H, et K| ont, en commun, un certain nombre de transformations infinitésimales, formant un groupe L,

(L) XiXs...Xa.

Les transformations infinitésimales de H, et de K4 sont alors respectivement

(îîl) X, Xt. . .X^Yi Yj. . .Y;;.,

( IV I ) /K\ ]^f . • • \-/i ij\ ijn • ■ • £*f •

F/ensemble des transformations

constitue un groupe qui est invariant dans G et se confond par suite avec lui. De plus, L est un sous-groupe invariant de H< et deK|, et même de G ; car tout crochet (X^, Yy) doit être fonction linéaire des X et des Y\ puisque ceux-ci forment un groupe H^, et fonction linéaire des X et des Z, puisque K^ est invariant dans G ; il est donc fonction linéaire des X seuls; et de même pour les crochets (X,,Zy). Enfin, L est un sous-groupe invariant maximum de H| (et aussi de K|) ; car si

était un sous-groupe invariant de H|,

serait un sous-groupe invariant de G contenant K^, ce qui est impossible.

Si donc on effectue une décomposition normale de L

on en déduira deux décompositions normales nouvelles de G, à savoir

(!') GHfLLi . . .L^i,

(IF) GKiLLi ..V,.

Je dis que ces deux suites ont les mêmes indices de composition. En effet, un raisonnement facile montre que si

lO K. VESSIOT.

sont des sous-groupes maximum de H, et de K4 contenant L, est un sous-groupe maximum de G contenant H,, et

Jvj • > • rk.fi£à\ • • • Ê*l X j • . • M. le'

un sous-groupe maximum de G contenant K,; de sorte que les indices des deux suites (T) et (IF) sont respectivement

c'est-à-dire les mêmes.

On est donc conduit à démontrer le théorème pour les suites (I) et (T), (II) et (ir) ; c'est-à-dire pour les groupes H^ et K,. En leur appliquant le raisonnement fait pour G et en continuant ainsi de proche en proche, on finira par retomber sur le premier cas. Le théorème est donc démontré.

5. Groupes intégrables (*). — Parmi les groupes composés, il en est qui jouent un rôle spécial dans les questions d'intégration. Ce sont ceux que M. Lie a nommé les groupes intégrables.

Un groupe de transformations est dit intégrable s'il contient un sousgroupe invariant ayant un paramètre de moins que lui, celui-ci de même, et ainsi de suite.

On voit que les indices de composition d'un groupe intégrable sont tous égaux à l'unité, mais cette propriété ne leur est pas particulière.

Nous n'indiquerons ici, sur les groupes intégrables, que le remarquable théorème suivant, dû à M. Engel (^).

Théorème. — Pour qu'un groupe soit intégrable, il faut et il suffit quil ne contienne aucun sous-groupe à trois paramétres ayant la structure du groupe projectif général à une variable.

(*) S. Lie, TransformcUionsgruppcn, I, p. a65.

(*) Beric/ue der Kônigl, Sachs. Gesellschaft der Wissenschaften, (i August 1887.)

SUR l'intégration des équations DIFFÉRENTIFXLES linéaires. II