IX
^%P\f ^iPi—'^iPu ^lPi9 ^xP^y J^iPiJ ^•^s/'s+fAU
^lPi9 ^tPl9 ^\PU ^iPi9 ^iPi
^\P\9 ^lP\9 J^\Pl9 X\Pt9 ^ZP\9 ^5/>î> X%PZ
^\P\9 ^\P\9 ^\Pi9 ^tP%9 ^lPi9 ^\P%9 ^IPZ
Les groupes (VI) et (VI)', (VII) et (VU)', (IX) et (IX)' sont dualistiques. Le groupe (IX) est le plus général laissant fixe la droite ^^3 = o ; le groupe (IX)' est le plus général laissant invariant le point a?, = a?2 = o. Tous les groupes trouvés sont algébriques, sauf ceux qui renferment les constantes X et pi ; ces derniers sont algébriques
quand le rapport -est rationnel (*).
(*) Les groupes linéaires homogènes à trois variables ont été tous déterminés par M. Lie.
74 E. VESSIOT.
2. Sur l'intégration de l'équation du troisième ordre. — Considérons l'équation générale du troisiènne ordre
Zp
d}x lit}
3«7-77 4- r.rrrr O.
dt
Elle a pour groupe de transformations le groupe linéaire homogène général. Ce groupe contient un sous-groupe invariant à huit paramètres, qui est le groupe linéaire spécial ; ce dernier est simple et contient des sous-groupes à six paramètres, par exemple
^iPu ^iPl—^iPîf ^\PU t^\PiJ ^2/?8, ^%pz
Il résulte donc de notre théorie que l'intégration de l'équation doit se ramener à une quadrature, et à l'intégration d'une équation (non linéaire) du second ordre.
C'est ce que l'on peut montrer comme il suit. Posons
u dépend de l'équation du second ordre
D'autre part, l'invariant du groupe linéaire spécial
satisfait à l'équation
de sorte qu'il s'obtient par une quadrature
H — e-'^Sp'it,
Je dis que, si l'on a effectué cette quadrature et intégré l'équation (6), l'équation proposée (5) se trouve par là même intégrée. Soient,
en effet, w,, m^» "a» " quatre intégrales de l'équation (6). Si l'on pose
fj
Xs
a?4, iTa» iCs ne sont définis chacun qu'à une constante près, de sorte qu'on peut les assujettir encore à vérifier la relation (7), A étant une des valeurs de l'expression (9), et, en outre, l'équation
X \ -4— Xm -\- X%
On a alors
(m — Wi)^-i-h (« — a^)x^-\' (u — iii)Xi =
et, en différentiant.
et, par suite,
^M ^2> ^a étant des fonctions connues. On a, d'autre part,
ÂA .X'j «4/2 «^j
u, -H ^^î W, -h MÎ W, -h U
et, par suite,
donc enfin
-^'x^Plu ^Î=P?2» ^»=P?J,
Remarque L — La présence d'un radical cubique dans les formules précédentes tient à ce que l'intégration des équations (6) et (8) réduit le groupe de transformationsy?/ii>5 de l'équation au plus grand sous-
uw 4 %Â^ ik «X- I
groupe commun à A, — S -^ > -^ > c'est-à-dire au groupe discontinu formé des trois transformations
76 E. VESSIOT.
de sorte qu'il faut encore l'extraction d'une racine cubique pour le réduire à la seule transformation identique.
Remarque IL — Si le groupe de transformations de l'équation est le groupe linéaire spécial, la valeur de A est connue sans quadrature, c'est-à-dire que/>est la dérivée logarithmique d'une fonction rationnelle; Fintégration de l'équation n'exige donc que la seule intégration de l'équation (6).
3. Nous laissons de côté le cas où l'équation est intégrable par quadratures, nous bornant sur ce sujet aux indications générales données au Chapitre VI, n** 2(11* Partie). Nous allons supposer successivement que le groupe de transformations de l'équation se confond avec chacun des groupes précédemment trouvés.
Groupe IX. — C'est le groupe de ~ • Cette fonction étant rationnelle,
on en déduit a;, par une quadrature; on est alors ramené, par le procédé classique, à intégrer une équation linéaire du second ordre, et l'on a ensuite x^ et x^ par deux nouvelles quadratures. Donc, en résumé, une équation linéaire du second ordre et trois quadratures (indépendantes), ou une équation de Riccati et quatre quadratures.
Groupe (ixy. — Ce cas se ramène au cas précédent par la considération de l'équation adjointe. On peut opérer autrement : le groupe (IX)'
est le groupe de -j- r(x ^ x[^ — x.yx[); Xf et x^ sont donc intégrales
d'une équation linéaire du second ordre à coefficients rationnels. Cette équation étant intégrée, on a or, par trois quadratures successives.
Groupe ( VIII). — Les deux fonctions — et ^ -CC^^-^à ~ ^2^1) sont rationnelles l'une et l'autre. On a x^ et X2 en intégrant une équation linéaire du second ordre, eix^ par une quadrature.
Groupe ( VII), — Tout se passe comme pour le groupe (IX), sauf que l'intégration de l'équation linéaire dont dépendent^ \~) ^^di\~^)
se ramène à celle d'une équation de Riccati. Cela tient à ce que la fonction
^ ^ /£,\ d^ /^\ __ £ /û^\ d^ /^\ dt \cr,/ dl^ \xj dt \a:J dt* \a:J
SUR l'intégration des équations différentielles linéaires. 77 s'obtient sans quadrature quand on connaît x^^, puisque la fonction
admet le groupe, et se trouve par conséquent rationnelle.
Groupe ( Vil)'. — On ramène au cas précédent en passant à l'équation adjointe.
Groupe (VI). — a?., est rationnel. On a donc x^ et x^ en intégrant une équation linéaire du second ordre et en effectuant deux quadratures. L'une de ces quadratures est même inutile, car A est rationnel, et, par
suite, connaissant 073, a?, et f — j y on aura 07, sans intégration nouvelle.
Groupe (F/)'. — On ramène au cas précédent en passant à l'équation adjointe.
Groupe (V). — L'équation linéaire du second ordre qui a pour intégrales x^ et X2 est à coefficients rationnels. De plus la fonction
est rationnelle, de sorte que, cette équation une fois intégrée, x^ est également connu.
Groupe (II). — x^ est rationnel et x^x'^ — x^x^ également; a?, et x^ dépendent donc d'une équation de Riccati seulement.
Résumé. — Tous ces cas n'offrent donc rien de bien intéressant. Dans l'ensemble ils sont caractérisés par ce fait que l'équation en — ou l'équation analogue correspondant à l'équation adjointe a une intégrale rationnelle. On a alors par une quadrature (qui peut disparaître dans certains cas) une intégrale de l'équation ou de son adjointe, et l'on est ramené, par le procédé classique, à intégrer une équation linéaire du second ordre.
4. Il nous reste à examiner les deux cas où le groupe de transformations de l'équation appartient au type (I) ou (IV).
L'invariant du groupe (I) est rrj -h^r^ ^- ^ij, celui du groupe (IV) V. II
^8 E. VESSIOT.
■j ^x\ -+- x\ -4- x\). Le second cas se ramène donc au premier après
une quadrature, et nous sommes conduits au problème suivant, déjà traité par Laguerre (*) et Halphen (*).
Problème. — Intégrer une équation linéaire du troisième ordre, connaissant t expression y en fonction de la variable indépendante, d'une forme quadratique, à coefficients constants, de ses intégrales.
Le groupe (I) étant simple, et admettant des sous-groupes à deux paramètres, l'intégration doit se ramener, d'après notre théorie, à celle d'une équation du premier ordre. Nous allons montrer qu'effectivement tout revient à intégrer une certaine équation de Riccati.
En désignant ^^vx^x,^x^ un système fondamental d'intégrales, convenablement choisi, nous pouvons supposer que la forme quadratique connue est
(il) x\ — jr, J73 = a.
Les équations finies du groupe linéaire homogène qu'elle admet s'obtiennent facilement : considérons en effet la forme quadratique
Si l'on y fait une substitution linéaire à déterminant un
le discriminant a n'est pas altéré et les coefficients deviennent
(12) j ;r,= X)v'x,-f-(Xp'-f-pX')^,4-/JLfx'^j
(liJ.'—lxV-^i),
Ces relations définissent un groupe linéaire et homogène à trois paramètres : c'est donc le groupe cherché.
La première et la troisième des équations (12) montrent que x^ et a?, sont intégrales d'une même équation différentielle du second ordre.
( * ) Comptes rendus, 1 879.
(«) Ibid,, t. CI.
dont les coefficients doivent s'exprimer rationnellement au moyen de oc, des coefficients de l'équation linéaire donnée et de leurs dérivées. Nous allons former cette équation. Auparavant nous remarquons que chacune des fonctions
Pï — '^S^î j (-^l^S "*" ^^'3^1 )>
— rjcc, — j (J7,.r3 -h .^S'^i )> P — ^j*''j — s ('^i'^3 "i" «^s-^i )
s'exprime rationnellement au moyen des quantités connues. En effet, en différentiant cinq fois de suite la relation (ii), et en se servant de l'équation linéaire donnée pour faire disparaître les dérivées dea:,,^::^, x^ d'ordre supérieur au second, on obtient cinq équations linéaires, pour déterminer ces cinq quantités. Le déterminant de ces équations ( * ) n'est nul que s'il existe une équation linéaire du cinquième ordre dont a soit une intégrale. En vertu de la maniëre dont elle est formée, cette équation admet pour intégrales chacune des fonctions
de sorte qu'il existe entre ces six fonctions une relation linéaire et homogène à coefficients constants, c'est-à-dire entre x^^ .r^, x^ une relation quadratique et homogène à coefficients constants. Cela revient à dire que a est identiquement nul, cas singulier que nous écartons pour l'instant. Nous pouvons donc, dans ce qui suit, considérer comme connues les six fonctions
