D = -AS

ce qui montre que le premier membre de l'équation (i3) n'est jamais, ni un carré, ni un produit de facteurs linéaires. La relation

xî

c'est-à-dire

dx;

nous sera également utile. Signalons enfin l'équation à laquelle satisfait x^

vTj

iJC 1 aX A

c'est

-à-dire

<P(.r„:r;,jc;)i=iD.

Je dis maintenant que tout revient à intégrer l'équation (i3). Soient

SUR l'intégration des équations différentielles linéaires. 8l

en effet i^, et e/2 deux intégrales quelconques de cette équation; on prendra a?, = K|tt|, a?3 = K^u^, K, et Kj étant des constantes dont on déterminera le produit en se servant de la relation (i5); on tirera ensuite X2 de l'équation (1 1), et l'intégration sera achevée.

Occupons-nous donc de l'équation (i3) (*). Son intégrale générale étant de la forme

on peut choisir s de manière que cc\ fait, c'est-à-dire de manière que

sx^ soit, en X, [jl, un carré par-

SX^

satisfasse à une équation linéaire du second ordre. Il suffit à cet effet de prendre pour s l'une des racines de l'équation

{x\ 4-507,)* — {x\-^ SX^) (^'3 -H SXz) ^=0,

c'est-à-dire (16)

Je suppose s ainsi choisi, et je cherche d'abord l'équation en ç = x\'{- sx^ ; partons des relations

if' =zx:-\-sx, -f-

Leur déterminant peut s'écrire

is'—Zq s — 3p

Je multiplie deux fois de suite par ce déterminant les deux membres

(1) Les équations de cette nature ont été considérées par M. Appell (fournal de Liou^ ville, 1889). La réduction de l'intégration que nous indiquons équivaut au procédé indiqué par Halphen (Comptes rendus, t. CI).

E. VESSIOT.

de Téquation (ï3), et j'obtiens

avec

F(a:,/, z) — oLx^-\- «ij^-h at-3*-f- 'i^yz -h i^^zx -+- i^^xy.

*^^-2cÂ7'

Ai3 A.3

Aii = F(5, 1,0), A„=F(.v',5, 1), A33= FC.?"— r, 'xs' — 3y, .y — 3/?),

A3, = (5'— r) F,(.î, 1,0) -h (25'— 87) F,(.s 1 ,0) -h (5 — 3/^) FaC^, 1,0),

Aa,= {s"— r)Fi(5',.ç, 1) -h (25'— 3y)F,(.s',.v, i)-t-{s~ 3/>) Fj(.ç',.ç, i).

Or on a

4l, =r F(5, 1,0) — ai'^'-f- 2[3iA* -h 3Î1 — o.

et l'on trouve, en différentiant, Si donc on pose finalement

. . I rfA.n

2 dt

l'équation cherchée s'écrit

I dn

3 fif<

1 dM

c'est-à-dire

m^oo'ii — 0'

,dVL ,

-1- In

On a, par suite, pour Téquation en w,

^ ' 2H dt 4 [H 4U* \dt J ]

C'est donc bien une équation linéaire; on voit de plus que, le coefficient de çp' étant la dérivée logarithmique d'une fonction connue, l'intégration de l'équation (i8) se ramène simplement à celle d'une équation de Riccati

Les valeurs de x^ se déduisent de celles de ç et par conséquent de w en résolvant les équations (17). Il nous reste à montrer que le déterminant 6 de ces équations n'est pas nul. Cela résultera de son expression au moyen des quantités a,af,a2, [3, ^««(S^, que Ton obtient, ainsi que celle de H, de la manière suivante : multipliant le déterminant D deux fois de suite par 6, on obtient, en se servant de relations déjà employées,

Une transformation de déterminant facile donne d'autre part

Remarquant enfin que

on obtient les formules annoncées

Cas particulier. — Revenons au cas où a = o. La valeur générale de Xf est déjà de la forme (Xç h- fx^»)^. L'équation enw = \lx^ doit donc être déjà une équation linéaire.

Supposons, pour simplifier, que, par une transformation bien connue, on ait fait disparaître le second terme dans l'équation linéaire donnée, c'est-à-dire que l'on ait/? = o. On trouve, par différentiations successives.

84 E. VESSIOT. — SUR l'iNTÉGRATION, ETC.

et l'équation (i3) est alors

1 Xx .v\ — x^ -h 3 qx\ r=z o.

Si donc on pose x^ = tr*, iv est fourni par Téquation

Si fVjiVo en est un système fondamental d'intégrales, on prendra

et l'équation proposée sera intégrée.

Vu et approuvé :

Paris, le 8 avril 1892.

Le DOTEN DE LA FaCULTÊ DBS SciBNCBS,