BIANCO LINO, IMPRIMEUR DE LA COUR

Abstraction faite d'autres phénomènes importants, l'astronomie contemporaine doit surtout être caractérisée par le combat qu'elle livre contre les erreurs systématiques.

Les erreurs systématiques sont ainsi appelées en opposition et avec les erreurs accidentelles et avec celles auxquelles on peut remédier en calculant des corrections, parce qu'on connaît la nature et le mode d'action des sources d'erreurs. Mais ces différences sont assez vagues. H y a des erreurs sur l'origine desquelles on peut avoir des doutes, encore longtemps après qu'on a trouvé la loi mathématique qui les représente comme une fonction de quelque circonstance se rapportant aux observations. Et si les limites entre les erreurs systématiques et les erreurs accidentelles sont incertaines, ce n'est pas seulement parce qu'il est douteux qu'on puisse, en thèse générale, attribuer des erreurs au hasard. En effet^ ce qui caractérise les erreurs accidentelles, c'est, d'une part, qu'en comparant les résultats donnés par les répétitions d'une observation avec toutes les circonstances qui l'accompagnent, on ne doit pas pouvoir constater de relation entre les erreurs et les circonstances en question, et, d'autre part, que, pour pouvoir être traitées comme accidentelles, il faut, lorsqu'on range les erreurs d'après leur grandeur et que le nombre des répétitions est suffisamment grand, qu'elles révèlent l'existence d'une loi qui mette la fréquence des erreurs tombant entre des limites arbitrairement choisies en relation avec ces limites elles-mêmes.

Pour compléter la définition des erreurs accidentelles, on demandera peut-être que cette loi prenne la forme d'une fonction spéciale, à savoir l'exponentielle

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où ^0 ^^^ 1^ valeur la plus probable et m l'erreur moyenne. Mais même si l'on ne veut pas ranger parmi les erreurs systématiques celles dont la loi est autre que cette exponentielle, qui est la base d'un emploi direct de la méthode des moindres carrés, il y a des cas où la différence entre les deux espèces d'erreurs peut être très douteuse.

Dans plusieurs domaines, notamment dans celui des erreurs dites personnelles, qui semblent avoir une origine physiologique, et dans les séries d'observations servant à fixer les valeurs qui déterminent les particularités relatives à rinstallation et au mode d*action d'un instrument, il se présente des cas où Ton ne voit que trop clairement Timpossibilité d'exprimer la fréquence des différentes erreurs en fonction de leur grandeur, et où, lorsqu'on ordonne chronologiquement les observations de la même valeur, il semble qu'il se manifeste une dépendance entre le temps de l'observation et les erreurs, en sorte qu'on pourrait être autorisé, en tout cas provisoirement, à appeler ces erreurs systématiques. Mais lorsqu'on a essayé de les corriger dans la supposition qu'elles étaient des fonctions mathématiques du temps de l'observation, l'espoir de débarrasser par ce moyen les observations des erreurs dont il s'agit a assez souvent été déçu. Lorsqu*on croyait avoir trouvé la formule de correction convenable et en faisait l'essai sur des séries d'observations continuées pendant un temps suffisant, on aboutissait constamment à ce résultat qu'il était impossible de représenter les erreurs comme des fonctions du temps, ou du moins d'employer la formule pour calculer à l'avance les erreurs personnelles ou les constantes des instruments.

Peut-être qu'en pareil cas on obtiendrait souvent des résultats plus satisfaisants en déterminant plus exactement la relation de ces erreurs avec les erreurs accidentelles. Si les erreurs dont il s'agit ne sont pas simplement des erreurs accidentelles, il est au moins possible qu'elles résultent d'un concours de plusieurs sources d'erreurs accidentelles, car la proposition bien connue qu'une combinaison de différentes sources d'erreurs accidentelles, agissant chacune selon sa loi, peut être représentée comme une source unique d'erreurs accidentelles, avec une loi qui dépend de toutes les autres, présente une exception qui semble ne pas avoir été toi^ours suffisamment remarquée. Cette proposition cesse d'être vraie lorsque quelques-unes des sources d'erreurs exercent une action telle que, parmi les observations, qui sont d'ailleurs indépendantes les unes des autres, il y en a plus d'une qui est influencée par chaque erreur provenant de ces sources. Supposons, par exemple, qu'une série de valeurs o^ , o, , 03 . . . Oq, qui pourraient avoir été considérées comme Tobjet proprement dit des observations, aient, sous l'influence d'une source d'erreurs accidentelles, reçu des accroissements e\ , e', . . . . e'. , d'après ime loi qui peut être supposée exponentielle, mais qu'on prenne pour objet de l'observation non les valeurs mêmes de mais les sommes successives de ces valeurs ordonnées suivant leurs indices, par conséquent

Oj = Oi + o.^

et qu'en outre on soit forcé de procéder ainsi, parce que d'autres sources importantes d'erreurs accidentelles affectent ces sommes d'erreurs e'\^ «"^ , .... «"«, suivant une autre loi que nous pouvons également supposer exponentielle, les erreurs totales

ne suivront en général ni la loi exponentielle ni aucune autre loi, mais, lorsqu'elles seront ordonnées par rapport aux indices de e**^ présenteront des particularités qui ressemblent beaucoup à ce qu'on trouve dans les aperçus chronologiques mentionnés plus haut, concernant les erreurs personnelles et les résultats d'observation» faites sur les constantes des instruments, il y a aussi de très bonnes raisons pour expliquer les phénomènes en question de cette manière ou d'une façon analogue par une complication d'erreurs accidentelles, et, sous ce rapport, les erreurs personnelles se comportent à peu près comme celles qui proviennent des constantes des instruments, les organes des sens pouvant être considérés comme des instruments. Les erreurs seront en partie des erreurs d'aperception, qui doivent varier indépendamment d'une observation à l'autre, de même que les erreurs e" de notre exemple, en partie des erreurs qui dépendent de l'état de l'instrument au moment de l'observation, et pour ces dernières il n'est pas en général permis de supposer qu'elles sont toiyours indépendantes de Tétat de l'instrument pendant les observations précédentes, en tant que cet état ne se laisse pas déterminer suivant les circonstances, comme la température, la pression barométrique, etc.

Par contre, en ce qui concerne l'état de l'instrument, aussi longtemps qu'on se sert du même, il faut, à chaque observation, tenir compte de l'état où il se trouvait lors de l'observation précédente. On peut, il est vrai, pour beaucoup d'instruments, indiquer un état normal dont ils ne s'écartent jamais qu'en deçà de certaines limites, et, quand ils sont dérangés de leur position normale, il y a sans doute souvent plus de probabilité pour un retour vers celle-ci que pour un écart plus considérable. Cependant je suis très porté à croire que de telles variations accidentelles d'un instrument, qui le font osciller autour d'une position normale de manière qu'on doit toujours considérer celle-ci comme la plus probable (ces erreurs se combineraient alors avec les erreurs d'aperception «"), sont assez rares et, en tout cas, moins fréquentes que les variations où l'influence de l'état normal est insensible et où un «statu quo» est la règle, les variations accidentelles de l'instrument se produisant de manière que son état, à un moment donné, est aussi l'état h plus probable au moment suivant, d'où il suit que les erreurs se somment comme les e*. Quelques instruments présenteront peut-être encore une troisième espèce de variations qu'on pourrait appeler typiques à côté des précédentes, à savoir celles où l'état réel à chaque moment est égal à la moyenne entre l'état réel au moment précédent et l'état le plus probable au moment suivant.

J'ai cherché à développer la théorie des erreurs quasi -systématiques qui, de la manière indiquée dans (1), proviennent de deux sources hétérogènes, et j'espère avoir contribué par là à réduire le domaine des erreurs systématiques. Assurément, il serait bien plus avantageux d'apprendre à calculer les corrections qui feraient complètement disparaître les erreurs systématiques que de les rapporter seulement à la catégorie des erreurs accidentelles, et d'indiquer des moyens pour l'emploi de la méthode des moindres carrés dans

des cas où elle n'était auparavant pas applicable; mais ce n'est pas tout mal qui peut être extirpé avec la racine, et il est bien possible qu'on ait çà et là affaire à des erreurs dont les sources et les lois, pour être découvertes, exigent qu'on divise les erreurs observées en deux classes, à savoir celles qui exercent leur influence sur les observations indépendamment les unes des autres et celles dont l'action s'accumule.

Que cela soit possible, la preuve en est qu'il existe depuis longtemps une solution du problème pour un cas spécial. Si une série d'observations est divisée par de longs intervalles en un certain nombre de groupes, et si les observations dans chaque groupe se succèdent si rapidement qu'on puisse presque les regarder comme simultanées, le problème ne présente alors aucune difficulté; les répétitions faites dans les différents groupes servent à calculer, d'une part, les nombres moyens qui donnent lés valeurs les plus probables pour ces groupes, et, d^autre part, les erreurs moyennes qu'on doit s'attendre à rencontrer tant dans ces nombres moyens que dans chaque observation; quant aux valeurs les plus probables tombant entre les intervalles des groupes, on les obtient par interpolation dans l'hypothèse d'une variation uniforme du groupé précédemment observé au suivant, et les différences qui se sont produites dans les longs intervalles peuvent toujours être utilisées pour juger de la stabilité de l'instrument. Le problème doit donc pouvoir aussi se résoudre lorsque les intervalles sont remplis par des observations éparses, el que les répétitions dans les divers groupes deviennent peu à peu de moins en moins nombreuses. La seule différence, c'est qu'il sera un peu plus difflcile d'obtenir les résultats désirés.

Le principe pour la solution de ces questions n'est nullement artificiel: il faut seulement avoir soin, en mettant le problème en équation, de n'omettre aucune équation pouvant servir à compléter la description du problème, et de ne rien éliminer si ce n'est d'après les règles de la méthode des moindres carrés. 11 convient peut-être déjà de faire observer que le moyen analytique que j'emploie pour obtenir la solution, une fraction continue, est bien un peu insolite dans les calculs de l'astronomie pratique, mais qu'il n'est en aucune façon incommode.

Compensation d'une série d'observations d'une constante d'instrument. Nous supposons que x exprime quelque particularité d'un instrument (par exemple l'inclinaison d'un axe), laquelle serait constante si ce dernier était parfaitement stable, mais qu'en réalité l'instrument a varié d'un moment à l'autre, et que, par conséquent, la «constante d'instrument», ^, au lieu de rester absolument constante, a subi des changements qui doivent être calculés par une série d'observations de œ. Nous supposons en outre que chaque variation de œ^ d'un instant à l'autre, est purement accidentelle et suit une loi exponentielle déterminée par la condition que la valeur de sa est à chaque instant la valeur la plus probable pour l'instant suivant, tandis que la valeur moyenne des variations momentanées, /u, est connue. Si donc nous désignons par œ^^ œ^ , , . , Xn les valeurs que x doit être supposé avoir eues dans une série de moments <o ) *i . • • ■ ^« (en ordre chronologique), pendant lesquels on a fait des observations de œ ou pour lesquels, on désire de connaître x^ sera alors, d'après l'hypothèse, la valeur la plus probable de A'rt+j — Xa et m^ = 2/z* (entre les limites a et a + M, le carré de l'écart moyen

pour cette différence, sera connu. Les poids absolus de ces équations auront pour valeur V = -— ô- . On aura ainsi les n équations «,«+1 «*

^1 — ^0 = 0> poids V

^2 — ^1 "^ ^> poids V

•îtn — ^n-l= 0, poids V

Nous supposons de plus que les valeurs de a observées dans les temps ^q? ^i • • * ^n sont affectées d'erreurs accidentelles, suivant des lois exponentielles, et que nous connaissons les valeurs les plus probables (avant la compensation) ^^ , z^ , , . . z» provenant des observations, ainsi que les erreurs moyennes m|, m^ . . . . m» ou les poids t;^,

î?2 . . • . v«, en général Va = — r» On obtient ainsi les n-f 1 éc^uations

^0 — ^0 = ^> poids Vq z — ^. = 0, poids v,

Zn — Xn=^ 0, poids Vn

qui, conjointement avec (2), renferment toutes les conditions Indépendantes les unes des autres qui doivent servir à déterminer les n-\~\ inconnues Xq^ œ^ •••^n, que nous nous proposons de trouver avec leurs erreurs moyennes après la compensation.

Remarque. SI, parmi les temps t, il y eu a quelques-uns où Ton n*a pas fait d'observation, et pour lesquels on demande seulement de connaître les valeurs les plus probables de xa. il faudra poser les poids correspondants va = 0, ce qui rend les valeurs de za arbitraires (mais non infinies).

Si maintenant on traite les équations (2) et (3) par la méthode des moindres carrés, il en résulte les n-[-\ équations :

"^l^l "^^ Vd7oH~ (^"|~ ^1 + *^)^1 — ^^2

— VXa-X^(v + Va'\-V) Xa V Xa±i > (^)

VaZ.

Vn^iZn-i= —V A'„2+ (« + Vn-1 + ^) ^«-1— W ^«

Dans ces équations il faut d'abord éliminer les x» correspondant à Va = 0, par conséquent aux observations fictives, qui n'y figurent que pour servir à la détermination de la valeur de X eii dehors des temps des observations réelles. Mais de t'a =-^ il suit que

(ara — «a-i):— = |ir«+i — «,) : — = («.+i — ««) : (— ■ + — ) <S)

a— l,fl tftfl+l a— l.a a,«+i

de sorte que Xa pourra être déterminé aussitôt qu'on aura trouvé ^Ta-i et œ^^ par une simple interpolation entre ces valeurs, dans la supposition que les variations de x sont inversement proportionnelles aux poids entre les limites de Tintervalle considéré, ou directement proportionnelles aux carrés des écarts moyens ou à Tintervalle de temps lui-môme, en tant qu'il y a eu à chaque moment une chance égale pour un déplacement de Tinstrument. Si la première ou la dernière observation, Zq ou z^^ est fictive, et par conséquent si Ton demande les valeurs de la constante de Tinstrument avant et après la période où il a été fait des observations, il suit alors de t;o ==- que ^o ="^i> ^« = ^î ^» = ^n-i^ et les valeurs de œ qu'on obtient pour le premier et le dernier moment des observations réelles sont donc les valeurs les plus probables respectivement pour les temps qui précèdent et pour ceux qui suivent.

Les équations (4) montrent en outre, ce qui aussi va de soi, que Télimination de œay lorsque fa = 0, n'apporte dans ces équations d'autre changement que de réduire le système des équations à ce qifon aurait obtenu immédiatement en omettant l'observation fictive; on n'avait qu'à poser

a— l,a+l 41— 1, a 9ta-\^