OU V

et à passer directement de l'équation

a— 2,a— 1 «— 2,«— 1 a—Un-^i u — li«i-l

^ Vu-^iZa-f-i = —V Xa^i-\-(V+Va^i+V) .r^+i — t? Xa^2

a~-l,a+l a-l.a+l fl+i,fl+2 «+-1,0+2

en laissant de côté l'équation de VaZ^. Nous pouvons donc, lorsqu'il s'agit de calculer de véritables exemples, nous dispenser d'introduire des observations fictives, et nous savons maintenant comment, avec les valeurs de x correspondant aux temps des observations réelles, on peut trouver x pour un autre temps quelconque.

Les équations (4) doivent naturellement être résolues de la même manière que les équations normales de la méthode des moindres carrés, et ce travail est facilité ici par la forme relativement simple des équations; mais, pour en tirer parti et présenter tout de suite la solution sous la forme la plus commode pour le calcul, il faut avoir recours à quelques quantités auxiliaires. Nous devons d'abord, au lieu des poids Va et Va,a+i, întroduirc deux autres séries de nombres, déterminés par les formules récurrentes :

Wa+l = Vai-i + U (6)

a,«-hl

et ± = ±|± (7)

a, â-jri «i«-hi

En supposant Uq = t?o > ^^ calcule facilement Ua et u jusqu'à u et Un à l'aide d'une table

de nombres réciproques.

On déduit ensuite des z une série de valeurs yo ) ^i • * • y») Qui, dans la suite du calcul, doivent remplacer les z^ et dont chacune représentera en même temps la valeur correspondante de /u, dans Thypothèse que toutes les observations avec des indices plus élevés ont été laissées de côté, d'où, en tout cas, y» = ^n* Ces valeurs sont données (pour des indices croissants) par la formule récurrente

ou plus commodément par

Wa+l (y«+l — !/a) = Va+i (Za H — I/a) ] OU J (8)

conjointement avec yo = -^rQ.

En opérant ces substitutions dans (4), on trouvera que les valeurs de a sont déterminées par la formule récurrente (pour des indices décroissants)

W«ya = (î/a + V) ^« — V aa^i (9)

OU plus commodément par

V (Xa — ^a+i) = M (ya — «a+i) (9 »)

OU «•«+! fl»a+l

Wa(^a— yj = w (.r«+i — yj l9b)

conjointement avec a^. = y«.

Que non-seulement cela soit exact, mais que (9) soit justement aussi la forme type du résultat de l'élimination suivant la méthode des moindres carrés, c'est ce qu'on peut démontrer par la méthode d'induction générale. Car, pour a = 0, (9) est identique avec la première équation (4), et si l'on suppose que (9) est valable pour tous les indices jusqu'à a, et, par conséquent, que l'élimination de jtq, ^i . . .^«-i a conduit à un système de « — a+t équations, à savoir (9) et les n -- a dernières (4), l'élimination de ^a entre les deux premières de ces équations

Va+l^a+i= — V ^« + (u + Va-\-i + V) IVa fl — ^ ^«+2 ,

les seules qui renferment encore ara, se fera en multipliant la première par

a, ii+l g, o-hl

(voir (7))

et en ajoutant le produit à la seconde, ce qui donne d'après (7)

W yfl+ Va+iZa^i = (m + î^a-t-l't" ^) ^^fi ^ ^ ^«"1-2 a,o+l a.a+1 a-f-1,a-h2 €i+l,«+2

et d'après (8) et (6)

«+l,a+2 «-M.IC+2

dont raccord avec (9) prouve rexaclitude de la proposition, à condition seulement que a<n. En outre, on voit facilement que la dernière élimination (de «««i) conduit à Unt/n

En développant l'expression explicite de m„ au moyen de (6) et de (7), on trouve la fraction continue

tJij Vl+ ï

et, si Ton rejette un nombre quelconque des premiers termes, les fractions continues formées par les termes restants seront alternativement u„ et — •

Vu l'importance que cette fraction continue a pour notre problème, on peut dire avec certitude que des solutions plus simples ne deviendront possibles que lorsque la fraction continue prendra une forme plus simple, et par conséquent qu'on obtiendra des solutions approximatives d'un calcul plus facile seulement dans les cas qui s'en rapprochent. Comme remplissant cette condition, on pourrait d'abord penser au cas où la fraction continue devient périodique, mais il n'en résulte aucune simpliflcation sensible dans le calcul pratique. Il en est tout autrement dans le cas où la fraction continue est interrompue

parce qu'un dénominateur partiel devient infini, c'est-à-dire lorsque »« = oo ou r = 0, et

dans celui où la fraction continue est réduite à un nombre plus petit de termes parce qu'un dénominateur partiel devient nul, c'est-à-dire lorsque r. = ou r = oo .

Lorsqu'une observation peut être considérée comme exemple d'erreur, ©« = 00, ou

que la série des observations est interrompue par un long intervalle ou un intervalle

pendant lequel on peut craindre que l'instrument n'ait subi un dérangement, i; = 0, la

fraction continue est interrompue ou se divise en deux fractions continues indépendantes Tune de l'autre. Il en résulte que le calcul des a se fractionne aussi en deux parties; dans le premier cas, de manière que u ^= v et Za ^^ 2/a == ^a, et, par suite, que les deux

«»a+l ff,«+l

séries sont reliées entre elles par la valeur commune Xa = Za\ dans le second cas, de manière que Wa+i = r^+i et x^^^^ya^ mais ya^i = *«+!) en sorte que les deux séries n'ont entre elles aucune liaison, et sont séparées au moins par une valeur intermédiaire de /c, qu'on ne peut déterminer. Des firactionnements de ce genre pourront dans beaucoup

d^autres cas avoir un grand avantage pour le calcul; mais celui qu^on en retire ici n'est pas grand, car on pourra presque toujours fractionner arbitrairement le calcul sans autre inconvénient que celui-ci, qu*un double calcul peu compliqué des u, des y et des x autour du point de partage aboutira rapidement à relier les parties qui avaient été traitées séparément. Ces considérations prouvent seulement que, lorsqu'on a le choix, il faut fractionner de manière à faire entrer dans les deux parties une valeur bien déterminée de z^ ou interrompre le calcul en un point où il y a un grand intervalle entre deux observations consécutives, dont Tune sert à terminer la première partie, et Tautre à commencer la seconde.

Relativement aux cas où le nombre des termes de la fraction continue est susceptible de réduction, nous pouvons nous limiter à celui de v = oo , comme nous avons déjà,

tf.a+l

à un autre point de vue, considéré le cas Va = et vu que, là où il s'agit de trouver osa pour une époque pour laquelle il n'existe pas d'observations (ou seulement des observations méritant peu de confiance et n'ayant qu'un poids insignifiant), on doit calculer les valeurs les plus probables au moyen d'une interpolation simple entre les deux époques d'observation les plus voisines qui ont précédé et suivi l'époque en question, dans l'hypothèse d'une variation uniforme dans l'instrument. Par contre si v = oo , ce qui suppose

que les temps t^ et <a+i des observations se succèdent si rapidement que la position de l'instrument ne peut avoir varié dans l'intervalle, il est évident qu'on est autorisé, en ayant égard aux poids, à former des moyennes de ces observations consécutives et, par conséquent, à considérer

avec le poids t?a + Vi,+i

comme observé au lieu de Za et Za+i ) ce qui est aussi confirmé par notre théorie, laquelle donne pour t? = oo

tf— l,a a— 1,0

et *ptf+i = ^.

Si, dans ce qui précède, j'ai eu soin de ne pas m'écarter du procédé d'élimination propre à la méthode des moindres carrés, c'a été pour pouvoir tirer avantage, dans les déterminations des erreurs moyennes, de l'importante proposition que je connais seulement par les communications verbales de M. le professeur Oppermann (congrès des naturalistes à Copenhague, 1873), à savoir, d'une part, qu'il existe des systèmes de fonctions linéaires d'observations qui, en général, peuvent être considérées comme des observations indépendantes les unes des autres, et, comme telles, prendre la place des observations réelles, notamment dans tous les calculs concernant les erreurs moyennes des fonctions des éléments; et, d'autre part, que les premiers membres des équations résultant de l'élimination par la méthode des moindres carrés, ici les équations (9), représentent précisément un pareil système de fonctions qui peuvent être prises pour des observations indépendantes les unes des autres.

Par conséquent, dans les équations

M„iyn-i= (w„i+v) a?„i — t? a?„

»— l,n n— l,it

«n yn = Wi.^n

les produits uq^o j • • • ^a^a > • • • ^nyn sont à considérer comme des valeurs observées indépendamment les unes des autres, de manière que le carré de Terreur moyenne de Uaya est

^(^uy*) = Ua-\-v

par suite les valeurs de y elles-mêmes peuvent aussi être regardées comme des observations indépendantes les unes des autres, de sorte que Ton a pour les carrés de leurs erreurs moyennes

avec la seule exception que

M^iyn) = APM =— (Ha)

Si maintenant on repréîsente explicitement les a comme des fonctions linéaires des y, il

sera très facile de calculer Terreur moyenne d'une valeur quelconque provenant de la

compensation, et donnée d'avance comme fonction linéaire des a. Mais comme

les coefficients des équations

^0 = cyo+ cyi + cy2+ . . , + c yn^i + cyn

0,0 0,1 0,2 0,fi— 1 0,n

A'i = cyi-\-cy2-\-...-^c yn-^i+cyn

1,1 1,2 l,fi— 1 l,n

^2 = <?y2+...+ C yn-l+Cy«

^11-1= cyn-^i + ^y»

seront déterminés par

et par c = pour i<a.

±i(l^^tl) = c ^--+îpour6>a

j l \ Uô / a+1,6 W«

Pour leb carrés des erreurs moyennes on aura donc

et en général

— « ffft"* — ** V^-o «•*/

de la première de ces formules on déduit la formule récurrente (pour des indices décroissants)

Comme cas spécial de la formule générale, nous remarquons surtout celui qui donne le carré de Terreur moyenne d'une fonction linéaire rxa + «^a+i de deux a consécutifs

Ua — u / ^' \^

en effet, comme fonction linéaire seulement des y avec des indices plus élevés, a^^i peut être considéré comme une observation indépendante à côté de ya* En posant r »» 1 et 8 = — 1 , il vient

Ua — u /Ua — u \2

Les équations (14) et (15) sont très commodes pour calculer les erreurs moyennes qui, après la compensation, peuvent rester dans les équations (2) et (3), lesquelles résultent directement des conditions fondamentales du problème. Avec leur aide on peut aussi transformer Téquation générale de ]kP{raa-{-8a!a+i) en la suivante

AP(rXa + «^«-h) = (»• + «) {r^M + 8M^(Xa^i)) — r8AP(Xa — ^«+i).

Si maintenant on se rappelle que, suivant (5), les a pour lesquels il n*existe pas d'observation réelle sont déterminés par les x qui correspondent aux observations précédente et suivante les plus voisines, comme étant une fonction linéaire de ces derniers — si Ton veut rxa + «^a+i , '^ + * ^^Qt égal à 1 — on sera très porté à employer cette valeur de J/^ (r^^a + ^^«-h) dans le calcul de Tincertitude moyenne des x qui ne sont pas déterminés par des observations correspondantes. Mais ce serait une faute grave dont il faut bien se garder dans des recherches de ce genre. Car même si Xf, «= rxa -[- 8Xa^ , il n'est pas permis pour cela de poser M^(x^) = iP(rxa-\'8Xa-\-i) dans les cas où l'équation x^ = rxu -f 8Xa-^i est elle-même le résultat de la compensation et par suite n'a pas une valeur absolue, mais est seulement valable pour une approximation ayant pour mesure une erreur moyenne dont le carré sera M^(x^) — Jf * (r^'a + «^a+i). M^(Xb\ doit donc être déterminé directement par le même moyen qui a donné «», à savoir l'introduction d'une observation fictive. Les conséquences de cette introduction s'expliquent peut-être le mieux par le fait que les schémas primitifs des v, des u, des y et des x

tf,tf+l

Vai-i

Ua^i

se changent en

Ut,

Va+1

conformément aux relations suivantes

Wa+l

ya+i

tf*

iTx

Ot?»

•îPa+l

Ut = U

UaV a, 6

OÙ par conséquent

et

a, 6 6,<ff-l

U (w« — Wé) a,al-l

Relativement aux y considérés comme des quantités observées indépendamment les unes des autres, tout le changement se réduit donc à ce que Vifa primitif, qui avait le

poids Wfl — M, est remplacé par deux autres, à savoir i/a avec le poids Ua — u^ et y* =y«

avec le poids u^ — u, de sorte que les valeurs elles-mêmes sont identiques et la somme des

poids est égale au poids primitif. Mais, quelque petit que paraisse être ce changement, il a cependant une signification réelle, mais seulement par rapport à la détermination de AP(Xb), En effet, d'après (14), on a directement

OD a en outre par un double emploi de (14)

qui, pour ti» = u, donne

Ua — U / " V

c'est-à-dire Téquation (14). On a donc

pAfiM + a -p)MHa!,^i) = — ^^ + '-^ '-^ m^a^i)

et

(Ua — u^) (w* — u)

JiP(x,) = pilf»(a!.) + (1 -p)AP{a^.^i) + ^-î^^ (1 - u 3f»(^.+ir)

par conséquent, suivant (15)

M^(xt) = pilf«(«.) + (1 —p)Mi{x,+i) +/>(! -/>) ( — î!^ — A/«(^. - ar„^.t) )

ce qui donne pour résultat

Si, dans ces formules, on fait t? = 0, cas dans lequel on aura à déterminer les a

et leurs erreurs moyennes en dehors de la période que comprennent les observations, où dans un intervalle où Tinstrument peut avoir subi une variation telle que la série des observations doive être considérée comme complètement interrompue, il en résultera suivant (7) qu'on devra aussi avoir u = 0, Si Ton n'a pas en même temps v == 0, on aura

p = \^ xt = Xa et M^(xt) == — = 1 , ce qui est d'ailleurs naturel.

CumcnuCaBL j» ok voÊBgtiBKSiaM. juiaiiiiiia.

^ ^ =>» V 3- > =ît

TÇT

SBfl» nNK. i« anuiere mu - r^oaiAiM z^ — ^ ïAt^c ^ neftsirr uix ■«jMr'SiiJtJft :« iv«e ^ oti&iauie jrei— 3' 4T7S- :e» TçnJHuaiTîSv ^i rîcr^iô ». ma oDstmcrua l'u Drrrss'iaa itt ax-:ai ^ i nsu'ja

^, »e immcre :ae Ct — ""* ^^ *^ **. '*r hulo. » dp?* "^ Ci—* — '« =

Co — 1^0 = Co — oq et on place ensuite ^^ au-dessous de Oit à une distance égale à celle dont rjo précède Cn

1 1 Ui

ce qui donne «i — ç?i = d — j^q c^» par conséquent, diaprés (6), «i — Ci = 1 = • SI Ton mène

alors la droite i^of'i ^^ parallèlement à celle-ci par Vi, la ligne t^iU^, ^7, est déterminé de manière que

Cl — î7i = 1 :«i et Ca — yi = I :w.

En continuant ainsi, aussitôt que r^a est trouvé, on construit ^a+i au-dessous de e/a+i de façon que

0a4-i — ç>a+i = C«+i — î?«= 1 :t>+l:tta = l:tt (suivant 7),

et par suite t/a+i — Ca+i = — — (suivant 6);

puis on construit l'abscisse ija-\-i en menant ^^-i-if/a+i =6:7«^a+if et ainsi de suite jusqu'à ce que r^n soit trouvé (sur la figure la ligne ijiUi coïncide par hasard avec une partie de 7i?>a)*

Cj Après avoir élevé des ordonnées verticalement au-dessus de tous les points t^», on pourra y construire les points ya , qui , par la longueur ya — rjtiy. représentent les quantités auxiliaires ya . On construit d'abord ^0 de façon que ^q — 7o = ^^q — Coi et Joint ensuite 2^0 ^ ^t P&r une droite qui coupe précisément l'ordonnée de t^^ en y^ . Sur la droite j/jS, est situé y, et ainsi de suite; en général y^-^-i se trouve à l'Intersection de l'ordonnée de rja-^-i avec la droite qui joint y a et za+i (voir les équations 8).

Lorsque les points ya ont été déterminés jusqu'à yn , on peut, à l'aide d'une construction rétrograde successive, représenter les résultats de la compensation par une série de points xa, qui, étant situés verticalement au-dessus ou au-dessous des points za, c*est-à-dlre comme ceux-ci sur l'ordonnée de Ca» peuvent être considérés comme les positions compensées des points 2*. Parallèlement à Taxe des abscisses on mène par yn une droite qui coupe l'ordonnée de Cn au point Xn] puis on Joint les points yn^i et Xn par une droite dont l'Intersection avec l'ordonnée Cit— is^n—i donne le polnt.arn— 1> et ainsi de suite, la ligne qui joint y» et Xé-^-i rencontrant généralement l'ordonnée C«2a au point xa» conformément aux équations (9 a) et (9 b). Le dernier x, c'est-à-dire Xq, une fois trouvé, on peut encore continuer en menant par a^o ^^^ parallèle à l'axe des abscisses.

Ce n'est pas seulement aux points Xq, Xi ... xn-^i, mais aussi, suivant (5), pour d'autres abscisses quelconques et par conséquent pour un temps quelconque, que la ligne brisée a^o» ^n ^3 * • ^ ^n, additionnée des lignes parallèles à l'axe des abscisses pour les parties de — 00 jusqu'à Xq et de xn à l'Infini, représentera les variations de la constante de l'Instrument de Ja manière qui, d'après la compensation, doit être regardée comme la plus probable. SI les observations ont à l'origine été rendues positives par l'addition d'une constante arbitraire, tl faudra naturellement la retrancher des ordonnées Xa — Ca lorsqu'on voudra mesurer la quantité xa.

Détermination des unités pour les deux espèces de poids.

Après n'importe quelle compensation, surgit toujours la question de savoir si les erreurs qu'elle laisse subsister dans les observations satisfont aux suppositions qu'on a faites sur leur nature, et sur lesquelles la compensation repose; si Ton ne peut ou ne veut pas la résoudre, le résultat ne saurait être considéré que comme hypothétique.- H faut entre autres chercher à éclaircir si les suppositions, relatives à des erreurs moyennes ou à des poids, sur lesquelles est basée une compensation d'après la méthode des moindres carrés, s'accordent avec ce qu'on peut déduire à posteriori du tableau des erreurs restantes. La question se présente souvent sous cette forme particulière, qu'on ne connaît pas à priori les poids des différentes équations de condition, mais bien quelques systèmes de rapports existant entre eux, desquels seraient sufûsants pour la détermination des poids, si l'on connaissait en outre un petit nombre d'unités de poids, une pour chaque système; il faut

donc ranger ces unités de poids parmi les inconnues du problème, et, par suite de la nature compliquée de ce dernier, on en est réduit à la méthode indirecte de commencer avec des unités de poids purement hypothétiques, et, après s*en être servi pour calculer la compensation, de déduire des erreurs restantes des valeurs nouvelles et en général plus approchées des unités de poids, valeurs avec lesquelles on recommence le calcul jusqu*à ce que les unités de poids à posteriori après la dernière compensation présentent un accord suffisant avec les unités de poids à priori avant cette compensation. On n*échappe entièrement à ces répétitions que dans un seul cas, à savoir lorsqu*une unité de poids commune à toutes les observations a été inconnue; dans ce cas, la valeur absolue de Tunité de poids est sans influence sur le résultat de la compensation, et on la détermine par la

formule

où / est Terreur restante dans une des équations, n le nombre de ces dernières et m celui des éléments, ou peut-être par

si Ton doit, sous tous les rapports, ranger Tunité de poids inconnue parmi les inconnues du problème, ce qui cependant est un peu problématique. Les exemples de cas avec plusieurs unités de poids inconnues sont très fréquents en astronomie; il suffit, à cet égard, de nommer les poids des ascensions droites et des déclinaisons dans la détermination d'une orbite. Les exemples d*un traitement exact de cas avec plusieurs unités de poids inconnues sont assez rares.

Dans les problèmes spéciaux que nous traitons ici, on sera ordinairement forcé de recommencer au moins une fois la compensation avec des poids plus exacts. Car, tandis qu*on connaîtra assez souvent les rapports entre

et entre

Vqj ro,

... Vn

Il — 1,«

on ne connaîtra pas toujours assez exactement Tunité des poids v^,, et le plus souvent on sera placé dans des conditions encore plus défavorables vis-à-vis de Tunité des poids v .

Par suite notamment d'une circonstance que nous allons mentionner, on ne pourra éviter de recommencer la compensation; cependant il semble y avoir lieu de supposer que la convergence dans la détermination des unités de poids sera en général si grande que le travail ne deviendra pas facilement impraticable.

Lorsqu'une compensation a été calculée sur la base d'une unité hypothétique E^ pour les poids t?o, vi . . . v«, et d'une autre E„ pour le groupe t?, v, . . . r, il est évident

0,1 1,2 fi— 1,11

qu'il faut corriger E^ par les difi'érences Za — ^a et E„ par les différences Xa — ^«+i. Nous avons n+ 1 différences de la première espèce, n de la seconde, et n-f 1 éléments ^0, ^1 ...^Pi sont déterminés par toutes les 2n+l équations. A ces éléments il faut

peut-être encore en ajouter 2 (pour E^ et E^)\ mais, à cause des grandes valeurs que n aura toujours dans des recherches de ce genre, cette question devient tout à fait secondaire, et je ferai dans ce qui suit abstraction de cette possibilité en m*en tenant à n+1 pour le nombre des éléments. On peut donc pour les unités de poids cherchées poser

j^ ^ n+ 1 — f jg7 ^ n — 7i

OÙ cependant on ne sait encore autre chose de f et de g;, si ce n*est que leur somme représente le nombre des éléments

il s'agit de déterminer quelle est la partie de ce nombre qui appartient à chacun des deux groupes. Dans d'autres problèmes où les équations sont très nombreuses relativement aux éléments, cela n'a pas grand* chose à dire, et on pourra souvent se contenter de répartir également le nombre des éléments; mais ici on n'a jamais deux fois plus d'équations que d'éléments, et un exemple montrera facilement que la répartition doit quelquefois être très inégale. Supposons en effet qu'une constante d'instrument n'a été observée qu'à deux époques essentiellement différentes, mais chaque fois avec de fréquentes répétitions se succédant sans interruption et sans qu'on ait eu à craindre un changement réel dans l'instrument; il sera alors facile de voir que tj se rapprochera de la limite n — 1, tandis que f se rapproche de 2. En général, il sera donc nécessaire, pour déterminer f et 3; dans des cas plus compliqués, d'examiner en détail, pour chacune des équations de condition, dans quelle mesure elle contribue au nombre f ou 37, qui doit être retranché de celui des

équations, ou combien il faut ajouter respectivement à Va(Za — ^a)* ou à v (^« — a?fl+i)*

pour avoir le droit de supposer que la somme obtenue doit en moyenne être égale 4 1 pour chaque équation. Sous la dernière forme de la question, la réponse est facile; car après les compensations , Xa et Xa — Xa^i sont aussi affectés d'une incertitude ayant respectivement pour mesure les erreurs moyennes M(Xa) et M(Xa — a?«+i), voir (14) et (15). Comme cette incertitude, par suite de la circonstance que la somme des carrés des écarts multipliée par le poids doit par la compensation être réduite à son minimum, est justement cause que cette somme de carrés est moindre que si les observations avaient été comparées avec les valeurs vraies, il est du moins très vraisemblable qu'on opère exactement en ajoutant au carré de chaque écart le carré de Terreur moyenne qui -reste après la compensation. C'est en procédant d'une manière analogue qu'on démontre sommairement la règle générale, que le nombre des observations doit être diminué de celui des éléments dans la formule qui sert à déterminer a posteriori les poids. Dans le cas qui nous occupe, on verra sans grande difScuIté à l'aide des formules (12) et (13) que

IVaM^(Xa) + 2V iP(Xa— ^«+l) = n + 1.

Pour les deux groupes d'équations on trouve de cette manière

Tj = 2v iP(Xa—Xa-Yi)

«fO+1

et en remarquant que ces valeurs de f et de ^ sont indépendantes de chaque multiplicateur commun de E^ et de E„^ et ne varient ordinairement que peu par une variation de E^:E^^ nous aurons pour la détermination des unités de poids

n — 2v idP(œa — A'fl+i) ) (17)

Le signe indiquant que nous avons calculé avec des poids justes et absolus la dernière répétition de la compensation sera donc E^ = \ et J&» = 1 .

Il faut remarquer ici que, tandis que Va iP(Xa) ne semble pas pouvoir être simpliûé avec quelque avantage par (6) et (14), on a suivant (7) et (15)

équation qui nous fait voir que, lorsque v est relativement grand et par suite »« — ^

petit, V M^(Xa — ^a+i) sera en général un peu plus petit que 1, en sorte que les différences «,«+1

Xa — ^a+1) ^^^^ l6s cas OÙ Ics tcmps ta ct ta^t dcs obscrvatious diffèrent peu les uns des autres, ne pourront pour ainsi dire contribuer en rien à la détermination de E^. Il suit de là que les valeurs compensées de^a et de Xa^i^ dans des cas pareils, ne présenteront guère de différence sensible, et nous en tirons la règle générale qu'avant de procéder à un.e compensation de ce genre, on peut et on doit réduire tous les groupes d'observations de cette espèce à de simples moyennes séparées seulement par de petits intervalles; avec un peu de précaution on évitera facilement de pousser trop loin cette réduction, qui évidemment épargne beaucoup de travail. Naturellement, dans la détermination de Tunité de poids J?r, il ne faut pas négliger d'utiliser les observations qu'on réunit dans les moyennes. En opérant ainsi, on réussira souvent, avant la compensation proprement dite, à obtenir une si bonne détermination de E^ que la compensation finale ne lui fera subir qu'une modification insignifiante. Il est plus difficile de s'assurer à l'avance d'une détermination suffisamment approchée de ^». A cet égard, je conseillerai de faire un calcul provisoire en prenant pour principe de pousser d'abord jusqu'à Textréme limite permise la réduction d^s observations consécutives en moyennes, et de considérer ensuite ces moyennes comme des valeurs compensées de x^ en faisant complètement abstraction des observations éparses qui ne peuvent servir au calcul de moyennes ; on se procure ainsi une série de valeurs

Xa^ Xb^ Xc^ XDy Xe*

En même temps il faut réunir les poids v fixés provisoirement avec une unité arbitraire,

de manière que

— = y — y etc.

Si l'on calcule alors l'unité de poids E^ d'après la formule

iV+ 1 étant le nombre des moyennes xa employées etc., cette détermination sera en générai un peu trop grande, mais pourra cependant être utilisée comme une première approximation.

Mais, même si Ton a été conflrmé par une compensation dans Tidée que les poids employés sont justes, dans Thypothèse que les lois des erreurs sont des exponentielles, il reste encore pour la critique plus de place qu'on ne le croit généralement. Les lois asymétriques ou les lois avec plusieurs maxima se présentent, il est vrai, rarement; mais, le cas échéant, elles exigent une autre manière de procéder. Quant aux erreurs systématiques, il n'est pas facile de s'en délivrer complètement.

, Compensation d'après des fonctions linéaires d'éléments inconnus.

Lorsque, en suivant les règles exposées plus haut, on aura terminé une compensation pour une série d'observations avec complication de deux sources d'erreurs accidentelles de nature différente, on ne sera naturellement pas dispensé de soumettre les deux tableaux des erreurs ainsi trouvées à un nouveau contrôle. Il est en effet possible que les résultats présentent des manques indiquant que la complication est d'une autre espèce que celle relativement simple dont il est question ici. 11 se peut également qu'après avoir séparé les deux espèces d'erreurs, on soit en état de découvrir dans les tableaux des traces d'erreurs systématiques proprement dites, erreurs qu'on ne pouvait constater tant qu'elles étaient cachées par la complication entre les erreurs d'observation proprement dites et les déplacements de l'instrument, mais qui apparaissent ensuite si distinctement, qu'on peut avoir l'espoir de les éliminer en calculant des corrections basées sur quelque circonstance secondaire se rapportant aux observations. D'ailleurs nous avons jusqu'ici seulement considéré le cas où des observations chargées d'erreurs compliquées concernaient un phénomène qui en soi pouvait être supposé constant. Il nous reste donc encore à exposer en peu de mots comment on doit s'y prendre, lorsque le phénomène observé varie suivant des lois qui peuvent être exprimées par des fonctions linéaires avec un certain nombre de coefQcients inconnus, en même temps que les erreurs sont de l'espèce compliquée dont il est question ici. Il suffira de traiter le cas où la loi du phénomène observé est Za = pfa-^qffa, équatiou dans laquelle C«) qui est la valeur vraie de l'observation faite dans le temps ^«j dépend de deux éléments inconnus p. et j, tandis que /« et ffa sont des nombres connus qui dépendent de ta. Les observations sont supposées affectées de deux espèces d'erreurs, les unes, Xa (correspondant à y, qui, par suite de l'état variable de Tinstrument ou pour une cause analogue, seraient inévitablement les mêmes pour chaque observation faite avec cet instrument dans la temps ta^ mais qui varient accidentellement d'un moment à l'autre, de sorte qu'on a les équations

aa — ^«+i'= (2)

avec les poids correspondants v, comme plus haut; les autres qui, accidentellement et

indépendamment les unes des autres, influent sur les différentes observations de manière que leur action combinée donne pour les valeurs véritablement observées z^ au lieu de C«9 et par suite les équations

Za = ^a+pfa + qga (18)

avec les poids Va correspondant aux équations (3) dans le problème sous sa forme plus simple. Avec n-|- 1 observations (indices de à n) on disposera donc de 2n-{- l équations pour la détermination de n-f-S inconnues ^oi ^i.. .â?,, p et q. D*après la méthode des moindres carrés on aura alors

ro^o = (vo + »)«o— va!i -f- + vofop + v^g^q

n^t = t7 «0+ («? + Vi + V)Xi—V a?2+ + VifiP + ViQiq

Vo^a = —V œ^^i + (V + 1?.+ V) Xa — V ^«^.l+ . . . + V^aP + M«?

Vn^n = —V ^,-1 + (» + Vn) X^ + V»/„p + «^nfi^»?

[t?/;t] = ro/o^o + t?i/l^i + + t?«/« A-« + + V^fnOin + (t?/*]i> + \^fg\ q

\vgz\ = roJ^o^oH- Vl^'l^l + + «?aS'a«a+ + ^«.^««i» + [«/^IjP + I^*J?

oii en général [t;r«] = t?oro«, + riri«i-|- • • . • + ^n*'»i^«* ^^t^^ Télimination entre ces équations nous employons toujours les valeurs de t/. et de u déterminées par (6) et (7),

a,«-hl

de sorte que la fraction continue (10) joue également ici un rôle essentiel. Nous nous servons en outre des mêmes quantités auxiliaires qui ont été désignées plus haut par y, mais que nous désignerons ici autrement, à savoir par \z\\ on aura ainsi \z^\ = zo et

Va V

plus deux couples de valeurs {f] et [g] déduites d'une manière analogue de/ et de g et déterminées par (/oj =/o, [go] = go et par

Ua V

Ua-f-V «,a+l

et en outre quelques quantilés auxiliaires plus compliquées, quoique aos

(/2(> W«t, if], {f9i o« t^*i toutes les cinq calculées d'après la même formule générale récurrente

«-+if.+i»«+i( = t>.^-l . r,+, . «.+, + u.ir^,} — {u,— u) { r.\ avec la valeur initiale ir^it] = n««-

Par l'emploi de ces quantités auxiliaires les n -^ I premières deviendront

et doDDcroDt, pour la détermination de p et de q, les deux équations

«.ll/,e,l - (Ah«-i1 = «.((/-*( — l/.t*)P + «.(l/^«! — i/-! M.((ff-M — lWt«»i) = "-(t/.?-! — (/-US-))'' + ""('?-*' ""U

qui sont analogues aux équations qu'on aurait trouvées par la méthode fap-{-ga<i avait été une simple errear accidentelle, par conséquent à

\vfz\ = [vP\p + \vfg\q \vgz\ = [vfg\p + [v9'^\q.

On peut donner aux formules récuyrrentes pour les valenrs auxiliaires simples. Pour {r.^} ou posera, conformément à {8)

et pour fd^-i^a-)-!) on a

w.-h(|''"+i*-+i1 — V-\ l«-i} = frt-ifr.+iJ'.+i — ir.i \s,\) + u.[{r^,\ ou

«■+i(l»-.+.M-il — '■-+i«--n) + w ('■-+i*.+i — C.) I».t) + «-(''■«) '*■' "

et, en introduisant une nouvelle série de quantités auxiliaires, on peut en tirer des formules qui se prêtent à un calcul pratique, de sorte que (RS) est déterminé par

a U ((RS) — {Va} [8a]) = Ua[{r^a) — (»•«) {8a)) (23)

tandis qu'à Taide de cette équation, on calcule {ra+iSa^) par

Wa+l(l^a+l»o+l) — ^a+l«a+l) = « ((K5) — ra+i««i-l) (24)

Nous donnerons encore la formule

qui peut avoir de l'importance comme contrôle pour (23)^ (24) et (22).

Après avoir établi les formules fondamentales du problème, je ferai seulement remarquer que si fa est constamment =/ pour tous les indices, on aura aussi {/«J =/

et Ifa^a] =/{''«}) <i'oû il suit que le terme constant,^, est indissolublement lié aux a, en sorte que ^a+^ prend la place de au dans les équations (20) dont ravant-dernier terme disparaît, tandis que la première des équations (21) devient une identité et la seconde se simpliQe. Par conséquent, si Téquation du phénomène observé renferme un terme constant, celui-ci ne pourra être séparé des erreurs a. Cette solution s'applique donc sans changement aux équations de la forme Ca = o+p/a^ qga>

Exemple de calcul.

Il ne sera sans doute pas inutile d'éclaircir par un exemple le cas le plus simple de toute cette théorie. A cet effet je choisis une série d'observations ayant pour but de déterminer l'erreur de l'index du micromètre du cercle méridien de Copenhague, et qui ont été faites à Toccasion de la détermination, pendant l'été de 1879, de la différence de longitude entre Lund et Copenhague. J'ai attribué le même poids à chaque observation de la coïncidence entre le fil mobile et le fil central fixe; je suppose en outre que le point de coïncidence entre les deux fils, lequel évidemment n'a pas été complètement invariable, a varié d'un moment à l'autre d'une manière purement accidentelle, et que sa variation moyenne a été la même dans chaque élément de temps, et par conséquent t;

inversement proportionnel à ^a+i — ^at que le micromètre ait été employé on non dans l'intervalle; mais, comme on le verra, jai essayé de vérifier cette dernière hypothèse par une recherche spéciale. Je suis naturellement parti de la double supposition que les deux lois des erreurs étaient exponentielles et exemptes d'erreurs systématiques, mais il est douteux que la dernière ait été complètement justifiée.

Comme unité pour les observations j'ai pris Vioo de tour de vis = 0*2633, et, pour économiser la place, j'ai rejeté les dixaines, centaines etc. de cette unité qui sont communes à toutes les observations. D'après cela, les unités de poids Ep et U^ doivent être déterminées de manière que Ep = 1 signifie que l'erreur moyenne d'une coïncidence

était 0*2633 , tandis que £« = 1 exige que le déplacement moyen de Tinstrument dans un

jour ait été de 0*2633. Ep a provisoirement été déterminé par les répétitions directes réduites en moyennes, comme on a 36 équations indépendantes les unes des autres, chacune avec le même poids qu'une coïncidence, qui ont fourni une somme de carrés des écarts = 2*902, ce qui a donné E^ = 12*4.

Par une compensation provisoire qui reposait sur des suppositions en partie inexactes, j'avais trouvé Ep = 12*5 et -B,, = 24*8. Avec ces valeurs j'ai calculé celles de

Va et de v, qui avec Za constituent les données dans la suite du calcul. Pour simplifier «,«+1

ce calcul, j'ai en réalité opéré partout avec les doubles poids., mais pour plus de clarté je donne les résultats du calcul comme si cela n'avait pas eu lieu. Une exactitude de 2 chifires a été suffisante.

Va

Ua

Za

Za'

VaiZa-^a)^

OOIOO

- •oi

+ •oe

bTb

+ •Ol

iS'O