CONCLUSION

16. Le but de celle seconde Partie était, comme je Tai déjà dit dans Tlnlroduclion, de montrer que Vélendue de I^ensemble des points singuliers joue un rôle essentiel dans la façon dont une fonction analytique uniforme se comporte aux environs de ces points singuliers.

Dans les exemples que j^ai donnés, j'ai choisi de profcrence des ensembles purement ponctuels.

Oo sait que la propriété caractéristique de ces ensembles est la salivante :

Soit 2^ un point quelconque d'un ensemble E, purement ponctuel, que je suppose fermé. Du point ^ comme centre décrivons un cercle F de rayon p : quelque petit que soit le rayon p, les points de E qui se trouvent dans Tinlérieur de F ne partagent pas ce cercle en régions séparées. En d'autres termes, on peut aller d'un point z intérieur à F et ne faisant pas partie de E à un autre point z quelconque, dans F, par un chemin continu (sans sortir de F) et sans rencontrer des points Ç de l'ensemble E.

J'ai choisi de préférence des ensembles purement ponctuels, parce que ces ensembles étant les plus simples semblaient, par ce fait même, devoir jouir d^s propriétés particulières au point de vue qui nous occupe. Il n'en est rien, comme nous l'avons vu.

Le fait qu'un ensemble de points singuliers est purement ponctuel ne constitue pas un critérium suffisant pour distinguer les fonctions analytiques uniformes d'après la manière dont elles se comportent aux environs des points singuliers. Le véritable critérium paraît être Vétcndue de l'ensemble des points singuliers. En effet, pour un ensemble purement ponctuel quelconque, nous avons vu que les circonstances les plus diverses sont possibles, tandis que, en précisant Vétendue de l'ensemble des points singuliers, on obtient des résultats dignes d'intérêt.

Vu et approuvé :

Paris, le 28 janvier 1905. Le Doyen de l\ Faculté des Sciences, Paul APPELL.

Vu et permis d'imprimer :

Paris, le 28 janvier 1905.

Le Vice-Rbgteur de l'Académie de Paris,