ENSEMBLES D'AIRE NON NULLE

15. Nous avons montré jusqu'à présent qu'une Fonction analeptique uniforme, dont les points singuliers forment un ensemble de longueur nulle, devient nécessairement infinie lorsque l'on s'approche d'un point singulier. Donc, elle ne peut pas être bornée. Dans le cas où les points singuliers forment un ensemble de longueur finie, non nulle, la fonction peut être bornée.

Considérons maintenant le cas où les points singulrers forment un ensemble d'aire non nulle. Je me propose de montrer, par un exemple, que dans ce cas la fonction peut être non seulement bornée, mais continue même aux points singuliers.

Je définis d'abord un ensemble parfait d*a ire non nulle :

D'un rectangle R je retranche les points d'une région R| en forme de croix, de façon que le domaine restant se compose de quatre rectangles séparés, situés duns les coins dtt rectangle primitif. Sur chacun de ces rectangles j'opère de la même façon et ainsi indéfiniment.

Je suppose que la somme

des aires cnk des régions retranchées Ra est inférieure à l'aire a du rectangle K. L'ensemble E des points 1^ = \ -\- îri non retranchés, a poiir aire le nombre a — t.

Je désigne par z = x -{- iy \es points qui ne font pas partie de l'enseujble E, et par (V = Il -{- iç un point quelconque du rectangle R, sans distinguer s'il appartient ou non à l'ensemble E.

Cela posé, définissons dans R une fonction continue quelconque o(Uj v) : pour fixer les idées on peut supposer que tf est une fonction réelle et positive.

5o D. POMPEIU.

Formons mainlenanl Tinlé^rale

étendue au rectangle R. On peut encore récrire sous la forme suivante

— r- / ao),

rfw élant l'élément d*aire et «' le centre de gravité de cet élément De cette intégrale retranchons successivement les intégrales

•"«-(no

étendues aux régions R^.

Posons maintenant

F (2) est la fonction analytique cherchée. On peut voir, en eflet, en s'appujanl sur les propriétés bien connues du potentiel, que F(v) est une fonction continue dans tout le plan. Ses points singuliers fout partie de rensemble E. La fonction F(.s) est continue aussi en ces points.

Remarquons, d'ailleurs, que Ton peut défînir plus simplement la fonction V{s) en faisant usage de la définition générale de l'intégrale, donnée par M. Lebesgue.

Désignons par J/ une fonction égale à (p pour tout point ^ de l'ensemble E, et égale à zéro pour tout autre point.

On aura

La condition imposée à l'ensemble E d'avoir une aire non nulle est ëvidemmcnl essentielle : autrement la fonction F (s) serait identiquement nulle.