INTRODUCTION

Briot el Bouquet (') avaient remarqué que, pour établir la formule de Cauchy

il n^est pas nécessaire de supposer qu'au point fixe ^ la fonction /{u) admet une dérivée : il suffit que /(a) soit continue en ce point, (^ette remarque peut être traduite par un théorème :

Soit /(u) une fonction de variable complexk [el, par ce mot, je ne désigne pas une fonction analytique, j'exprime seulement la dépendance la plus générale entre deux variables complexes : «> = /(«/)]. Je suppose que cette fonction f{u)^ définie dans un certain domaine D, ail met une dérivée pour tout point de D, sauf peut-être pour un point Ç, intérieur à D. Si la fonction f{u) est continue au point Ç, elle admet une dérii^ée en ce point.

On voit, par ce théorème, que pour une fonction de variable complexe le fait d'être continue en un point entraîne, sous certaines conditions, la nécessité d'avoir, au même point, une dérivée.

(*) Théorie des fonctions elliptiques, p. 137. — Briot, Théorie des fonctions abéliennes, Introd. XVIi.

2 D. POMPEIU.

Il est clair qu'au lieu d'un seul point ^ on peut supposer qu'il y en a, dans D, un nombre fini quelconque : le théorème subsiste. Mais alors il est naturel de se poser fe prolvlème général suivant (que j'appellerai problème de Briot et Bou-quel) :

Soient R une certaine région, dans le plan de la variable complexe m, et /(u) une /onction définie dans R.

Les points de la région R sont de deux sortes :

i" Points u = z pour lesquels on sait que la fonction /(u) admet une dérivée ;

2'* Points « = Ç pour lesquels on sait seulement que /(u) est continue.

Quelle est, pour les points Ç, la distribution la plus générale à r intérieur de R, de façon que la fonction f(u) admette une dérivée en tout point Ç?

Cauchy, le fondateur de la théorie des fonctions d'une variable complexe, s'est occupé à plusieurs reprises des rapports qu'il y a entre la continuité et la monogénéilé d\ine fonction de variable complexe, mais ne s'est pas posé le problème sous la forme que nous lui donnons ici.

Dans la célèbre Dissertation inaugurale de Riemann on peut trouver le problème qui nous occupe posé (pour un cas particulier) à peu près dans les mêmes termes qu'ici.

Dans sa Thèse Sur les lignes singulières des fonctions analytiques, M. Painlevé s'est occupé du cas où les points ^ forment une ligne rectifiable.

M. llarnack, dans un Mémoire : Anwendung der Fourier'schen Beihe auf die Théorie der Functionen einer complexen Verànderlichen (*), a traité le cas d'un système discret de courbes.

Enfin dans ses Leçons sur la Théorie analytique des équations différentielles (19* Leçon et surtout p. 4^7)» M« Painlevé a élé amené à envisager le problème qui nous occupe sous la forme même que nous lui donnons ici.

Quant à la méthode qui m'a servi dans cette recherche, j'ai cherché à tirer tout le parti possible du procédé employé par M. Gouisat dans sa belle démonstnition du théorème fondamental de (^auchj [Acta mathematica, t. IV et Transactions of the American math. Society, 1900).

(^e travail comprend deux Parties.

f^a première esl spécialement consacrée au problème de Briot et Bouquet. Elle comprend cinq Chapitres.

(*) Mathem. Annalen, Bd. XXI.

Après avoir posé des définitions dont j*ai besoin dans la suite, je donne dans le premier Chapitre les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction de variable complexe soit holomorphe.

Dans le second Chapitre, je montre qu'un ensemble dénombrable fournit une solution du problème de Briot et Bouquet.

Dans le troisième Chapitre, je m'occupe des ensembles fermés. J'introduis la notion à* ensemble réductible d'ordre un et cette notion me permet de donner la condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble fermé quelconque fournisse une solution du problème de Briot et Bouquet.

Le quatrième Chapitre contient une extension des résultats obtenus dans les Chapitres précédents.

Enfin un cinquième Chapitre contient quelques propositions relatives aux ensembles d*aire nulle.

La seconde Partie traite des singularités des fonctions analytiques uniformes.

On a abordé, à divers points de vue, l'étude des singularités d'une fonction analytique uniforme. Dans ce travail, je me suis attaché à montrer que Vétendue de l'ensemble des points singuliers joue un rôle essentiel dans la façon dont la fonction se comporte aux environs des points singuliers.

En appliquant les résultats obtenus dans la première Partie et faisant usage du procédé de démonstration qui m'a été si souvent utile, j'ai pu obtenir quelques résultats qne je crois nouveaux, relatifs aux singularités des fonctions analytiques uniformes.

J'ai étendu à des points singuliers formant un ensemble de nature particulière la propriété caractéristique des points singuliers essentiels; j'ai démontré un théorème relatif au cas où les points singuliers forment un ensemble d'aire nulle et j'ai donné des exemples de fonctions analytiques présentant des singularités d'une nature particulière. Enfin, dans la Conclusion qui termine cette seconde Partie, j'ai essayé de montrer dans quel sens Vétendue de l'ensemble des points singuliers peut servir comme critérium pour une classification des fonctions analytiques uniformes.

Les principaux résultats contenus dans ce travail ont été communiqués à l'Académie des Sciences {Comptes rendus, 26 mai 1902 et 28 novembre 1904)* Dans la Note parue le 26 mai 190a, il est question aussi des applications à la théorie du prolongement analytique ; ces applications seront exposées à part dans un Mémoire qui fera suite au présent travail.

D. POMPEIU.