LE PROBLÈME DE BRIOT ET BOUQUET

1 . Le mot fonction de variable complexe est assez souvent employé pour désigner une fonction analytique. Dans tout ce qui suit j'emploie ce mot dans son sens général pour exprimer la dépendance entre deux ensembles de nombres complexes. Soit z une variable complexe : à chaque valeur de 2, appartenant à un certain domaine, on fait correspondre un nombre déterminé w\ on exprime celle correspondance en écrivant

2. Soity(z) une fonction de variable complexe déHnie dans un domaine D. Si cette fonction admet une dérivée au point 2 ^ a, intérieur à D, je dirai que f{z) est monogène au point a.

Prenons, comme exemple, la fonction f{^z] qui, pour a = j? -h y^, est égale à x^-^ y'^ : celte fonction est monogcne au point >3 = o.

Voici un exemple plus général. Soit g^z) une fonction de variable complexe définie dans un cercle C et continue dans ce cercle. Je dt'^finis, dans C, une ûouvelle fonction G(z) par le procédé suivant :

G(2) prend au point 2^, pris dans le cercle, une valeur quelconque G(2o)> pour un point 2, autre que ^o^ j^ pose

G(*) = G(«,)+ / gi,z)dz.

Tinlégrale étant prise le long du chemin rectiligne ZqZ.

Il est facile de voir que la fonction G{z) est continue dans C, mais elle est aussi monogène au point Zq et sa dérivée, en ce point, est égale à ^(^o)*

3. Si une fonction de variable complexe est monogcne pour tous les points intérieurs à un domaine connexe D, on dit qu'elle est holomorphe dans D.

4. Si le domaine D n'est pas d'un seul tenant ou si la fonction f{z) n'est pas monogène pour tous les points du domaine D, je dirai que f{z) est synectique dans D.