M. RIQUIER
PROFESSEUR A' L\ FACULTE DES SCIENCES DE CAEN ('j.
Généralités.
l. Un système d*équations différentielles est dit iimnèdial quand toutes ses équations sont du premier ordre et fournissent immédiatement certaines dérivées des fonctions inconnues, exprimées en fonctions composées des variables indépendantes, de ces fonctions inconnues elles-mêmes et de leurs autres dérivées.
Quand ce sont toutes les dérivées des fonctions inconnues qui se trouvent ainsi exprimées par les équations données, aucune dérivée ne peut figurer dans leurs seconds membres, qui sont alors essentiellement finis, et Ton a un système d'équations différentielles totales.
Quand, au contraire, c'est une partie seulement de ces dérivées qui constituent les premiers membres des équations données, les autres
(I ) Ce MémoirOi relatif aux syslèmes d'équations différentielles partielles, fait suite ù un autre Mémoire, relatif aux systèmes d'équations différentielles totales, et publié dans les Annales de l'École Normale (novembre et décembre 1889). Les chiffres suivis d'un astérisque renvoient le lecteur aux divisions du Mémoire de 1 889. et les chiffres non suivis d'un astérisque à celles du présent Mémoire.
/| MÉRAY RT ttFQUIER.
dérivées peuvent, en totalité ou en partie, entrer dans les seconds membres, qui sont alors éventuellement différentiels; et, au lieu d'un système d'équations différentielles totales, on a ce que nous appellerons un système d'équations différentielles partielles. Ces systèmes sont ceux dont nous allons nous occuper, en complétant la définition de leur caractère immédiat par une restriction essentielle que nous spécifierons au moment voulu (8).
Pour disposer nettement les équations d'un pareil système, il faut les écrire dans les cases d'un quadrillage rectangulaire, dont les lignes correspondent aux variables indépendantes, et les colonnes aux fonctions inconnues, en plaçant l'équation qui a, par exemple, -^ pour
premier membre dans la case qui appartient à la fois à la ligne (/) et à la colonne {s). Des cases en nombre quelconque et occupant des positions arbitraires peuvent évidemment rester inoccupées dans ce Tableau.
2. Dans un système d'équations différentielles partielles, il y a, relativement à chaque fonction inconnue, une distinction essentielle à faire entre les diverses variables indépendantes.
Nous appellerons variables />n>2c//?a/e5 d'une fonction inconnue déterminée celles par rapport auxquelles sont prises les dérivées de cette fonction qui constituent dans le Tableau du système les premiers membres des équations de la colonne correspondante. Pour la même fonction, toutes les autres variables seront paramétriques. Par exemple, si les variables indépendantes sont a?, j, 2, t seulement et si la colonne {s) ne contient que les deux équations :
dx
ds Tz
to
la fonction inconnue s aura x, z pour variables principales, y, t pour variables paramétriques.
Le partage dont il s'agit ne s'efTectue pas nécessairement de la même manière pour toutes les fonctions inconnues, telle variable pouvant fort bien être à la fois principale pour une de ces fonctions et paramétrique pour une autre.
3. Cette distinction entre les variables en entraine une non moins importante entre les diverses dérivées d'un même ordre quelconque k d'une fonction inconnue déterminée. Nous appellerons genre de l'une de ces dérivées le nombre de ses différentiations génératrices, distinctes ou non, qui doivent être effectuées par rapport à des variables principales de la fonction dont il s'agit.
D'après cela, l'ordre k des dérivées de cette fonction contient : r* le seul genre o si pour elle toutes les variables sont paramétriques ; 2° les A -+- 1 genres
si les variables sont les unes paramétriques et les autres principales ; 3^ le seul genre k si toutes les variables sont principales.
Dans un ordre quelconque, nous appellerons Siussi paramétriques les dérivées de genre o, et principales toutes celles de genre >o.
Enfin, nous nommerons quelquefois classe d'une dérivée principale le nombre
où X: et X désignent respectivement l'ordre et le genre de la dérivée considérée. Partageons en groupes les dérivées principales de toutes les fonctions inconnues, en plaçant dans un même groupe celles qui sont à la fois du même ordre et du même genre; puis, rangeons ces divers groupes de telle manière qu'en passant de l'un quelconque d'entre eux au suivant l'ordre des dérivées ne décroisse jamais, et que leur genre aille en augmentant si les deux groupes appartiennent au même ordre : cela étant, la classe d'une dérivée principale déterminée se trouve être précisément égale au rang du groupe qui la contient. Dans l'exemple ci-dessus, la fonction inconnue s a, dans le premier M. et R. a
ordre, les dérivées de genre o ou paramétriques
ds ds dy' dC
et les dérivées principales de genre i
ds ds
^""^ di' Tz
Elle a, dans le second ordre, les dérivées de genre o ou paramétriques
d}s d*s d^s dy^' d^t' df^'
les dérivées principales de genre i
dx dy ' dx dt ' dz dy dz dt
et les dérivées principales de genre 2
d^s d}s d^s^ ^^^ 5^' dxTz' dz^'
et ainsi de suite.
Enfin, les dérivées principales des groupes (a), (p), (y) sont respectivement celles des classes i, 2, 3.
4. D'après ce qui précède, les équations différentielles d'un système immédiat partiel expriment toutes les dérii^ées principales premières des fonctions inconnues en fonctions composées des variables indépendantes^ de ces mêmes fonctions inconnues et de tout ou partie de leurs dérivées paramétriques premières.
5. La distinction entre les divers groupes d'intégrales d'un système immédiat d'équations différentielles partielles s'opère suivant les mêmes règles et a les mêmes conséquences que pour les équations différentielles totales.
Les intégrales seront dites ordinaires, si les valeurs des variables indépendantes, prises conjointement avec les valeurs correspondantes des intégrales elles-mêmes et de leurs dérivées paramétriques pre-
mières, n'excèdent les limites d'olotropie d'aucune des composantes figurant dans les seconds membres, tout au moins tant que les variables indépendantes restent comprises entre certaines limites.
Les intégrales seront dites singulières, si, dans les mêmes circonstances, les composantes des seconds membres ne restent jamais olotropes en même temps.
Les intégrales ordinaires peuvent seules faire l'objet d'une théorie générale; elles vont maintenant nous occuper exclusivement.
6. La substitution d'intégrales ordinaires connues dans les équations d'un système immédiat partiel en transforme tous les seconds membres en des fonctions composées, habituellement différentielles, des variables, des intégrales et de leurs dérivées paramétriques premières. D'après la définition même des intégrales ordinaires, les règles établies pour les fonctions composées sont applicables à ces seconds membres (tout au moins entre certaines limites), et Von peut, en conséquence (i5*), différentier indéfiniment les relations du système partiel considéré.
Les nouvelles équations ainsi obtenues, jointes à celles du système, fournissent certaines expressions de toutes les déris^ées principales des intégrales; car, des différentiations convenables, exécutées sur une équation convenablement choisie, peuvent évidemment amener dans le premier membre une dérivée principale déterminée; mais elles n en fournissent jamais pour leurs dérivées paramétriques, parce que les dérivées principales du premier ordre, qui forment les premiers membres des équations différentielles proposées, sont toutes du genre i, et que ce genre ne pourra jamais diminuer par des différentiations quelles qu'elles soient.
Si donc on veut employer toutes ces équations à la reconstruction des développements des intégrales ordinaires considérées, il faut de toute nécessité connaître non seulement leurs valeurs initiales, mxiis encore celles de toutes leurs dérivées paramétriques. Il faut encore que ces équations puissent être rangées dans un ordre de succession tel que chacune ne contienne dans son second membre (outre les variables indépendantes, les intégrales et leurs dérivées paramétriques ) que les dérivées principales figurant dans les premiers membres des équations antérieures.
8 HÉRAY ET K1QUIER.
Si Ton veut, comme au n^ 25*, trouver par la méthode des coefficients indéterminés tous les groupes d'intégrales ordinaires qui peuvent exister en partant de valeurs initiales arbitrairement choisies pour elles et leurs dérivées paramétriques de tous ordres, la seconde des conditions ci-dessus énoncées est encore nécessaire au succès de l'opération.
7. Dans la théorie des équations différentielles totales, nous n'avons pas eu à nous préoccuper de la seconde condition, parce que la succession voulue s'est trouvée réalisée d'elle-même, en rangeant les formules dites primitives d'après leurs ordres croissants. Mais ici, les choses se passent d'une manière infiniment moins simple, parce que la présence des dérivées paramétriques dans les seconds membres des équations du système immédiat partiel considéré rend généralement l'ordre du second membre égal à celui du premier dans les relations qui s'en déduisent par différentiations. Et il arrive effectivement que cette seconde condition n'est pas remplie pour certains systèmes de la nature de ceux que nous avons définis au n® 1.
Nous les excluons absolument de nos raisonnements, et nous réserverons désormais le nom de systèmes immédiats à ceux qui satisfont à la condition générale dont il s'agit.
8. La restriction qu'il faut ajouter à la définition du n° 1, pour qu'elle devienne celle d'un système immédiat dans le sens ci-dessus expliqué, consiste à exclure de divers seconds membres certaines dérivées paramétriques. Nous ne sommes pas en mesure de la formuler d'une manière absolument générale et précise; mais il nous suffira, et au delà, de considérer les systèmes satisfaisant à la condition que :
M, i^ désignant deux /onctions inconnues quelconques, aucune dérivée {paramétrique) de v ne figure dans les seconds membres des équations de la colonne (m), si quelque variable principale de ç est paramétrique pour u.
Tous ces systèmes, comme nous allons incessamment le constater, remplissent la seconde des conditions énoncées au n^ 6, ^i, pour plus
de simplicité dans le langage, ce sont eux seuls que désormais nous qualifiemns d 'immédiats.
9. Eclaircissons ce qui précède par quelques exemples. Le système
du -, / du dv\
dx ^\^^y^"^'^ d/ dx)
dv -. / du dv\
dy-''y[^'y''"'''-dydx)
qui satisfait à la définition du n^ i, n'est pas de ceux que maintenant
nous nommerons immédiats^ soit parce que ^ figure dans le second
membre de l'équation de la colonne (m), bien que la variable j, qui est principale pour ^, soit paramétrique pour m, soit encore parce que
^ figure dans le second membre de l'équation de la colonne (v).
Au contraire, le système
du „ / du\
dx = H"''^'"'"'dy)
dv ^ ( dv\
rentre dans la catégorie dont il s'agit, nonobstant la similitude complète de ce Tableau et du précédent, parce que ^> -j- ont disparu respectivement des seconds membres des colonnes (m), (^).
Il en est de même plus généralement toutes les fois que dans les équations de chaque colonne ne figurent les dérivées (paramétriques) d'aucune des fonctions inconnues qui correspondent aux autres colonnes.
lO MÉRAY ET RIQUIER.
Tel est encore le système
iy)
du ^T / du dv\
dv ,r / du dv\
malgré la présence de toutes les dérivées paramétriques dans les seconds membres.
De même, plus généralement, tout système dans lequel le partage des variables (en principales et paramétriques) s'opère de la même manière relativement à toutes les fonctions inconnues.
C'est dans cette dernière catégorie que se rangent les équations dites aux dérwées partielles^ soit isolées, soit simultanées. Le Tableau contient alors soit une, soit plusieurs colonnes dans lesquelles toutes les cases d'une même ligne sont seules occupées.
A la rigueur, on peut encore y placer les systèmes adéquations différentielles totales^ puisque dans un pareil système, les variables sont toutes principales pour chacune des fonctions inconnues.
10. Il est à remarquer que, sauf le cas d'un système différentiel total, le nombre des dérivées paramétriques pouvant éventuellement figurer dans les seconds membres d'un système immédiat donné est au moins égal à i pour chacun de ces derniers. Considérons, en effet, une équation quelconque du système, et supposons qu'elle ait pour premier membre une dérivée de la fonction m, par exemple : si, pour cette dernière, les variables, indépendantes ne sont pas toutes principales, le second membre pourra contenir les dérivées paramétriques de M, et, dans le cas contraire, il pourra contenir les dérivées paramétriques de toutes les autres fonctions.
11. Il nous faut approfondir maintenant la question effleurée au n^ 8.
Considérons une relation différentielle subsistant entre les diverses
fonctions d'un groupe d'intégrales ordinaires du système immédiat donné et à laquelle la règle des fonctions composées soit applicable, et supposons qu'elle satisfasse en outre aux deux conditions ci-après :
I® Le premier membre est une dérivée principale de quelque intégrale, et les diverses dérivées qui, outre les variables indépendantes et les intégrales elles-mêmes, figurent éventuellement dans le second membre, sont, les unes d'ordres inférieurs à celui du premier, les autres d'ordre égal, mais de genres moindres.
2® Si l'on considère, d'une part, la fonction dont une certaine dérivée principale figure dans le premier membre, et, d'autre part, l'ensemble des fonctions dont quelque dérivée principale ou paramétrique d'ordre égal figure dans le second membre de la relation dont il s'agit, toutes les variables qui sont paramétriques pour la première fonction le sont aussi pour chacune des dernières.
Pour abréger, nous appellerons immédiate toute relation différentielle satisfaisant à cette double condition, comme aussi l'expression fournie par elle pour la dérivée principale contenue dans son premier membre. Nous nommerons en outre classe d'une relation immédiate celle de la dérivée principale en question.
12. Les relations immédiates jouissent de deux propriétés importantes que nous allons démontrer :
I® Toute relation déduite d^une relation immédiate par des différentiations quelconques est elle-même immédiate.
Il suffit, évidemment, d'examiner le cas où le nombre des différentiations se réduit à i.
Or, en vertu de la seconde des conditions énoncées au numéro précédent, si cette différentiation n'augmente pas le genre de la dérivée
figurant dans le premier membre de la relation sur laquelle on l'exécute, elle n'augmentera pas non plus le genre des dérivées d'ordre égal qui peuvent figurer dans le second; et, si elle augmente d'une unité le genre de la première, elle augmentera d'une unité au plus le genre de chacune des dernières. Donc, après comme avant la différentiation, les dérivées figurant dans le second membre seront, les unes d'ordres inférieurs au premier, les autres d'ordre égal mais de genres
12 MERÀY ET RIQUIER.
moindres, et la première conditioD ne cessera pas d'être satisfaite. Quant à la seconde, la chose s'aperçoit immédiatement sans qu'il soit nécessaire d'insister.
2° Toute relation déduite d'une relation immédiate en substituant à telles ou telles des dérivées principales qui figurent dans le second membre de cette dernière des expressions immédiates quelconques des dérivées en question'est elle-même immédiate.
Nous désignerons par ((o) la relation immédiate sur laquelle on eiïectue les substitutions dont parle l'énoncé : il suffit évidemment d'examiner le cas où le nombre de ces dernières se réduit à i. Cela étant, puisque la première des conditions énoncées au numéro précédent se trouve satisfaite dans les deux relations que l'on combine, elle le sera nécessairement encore dans celle qui résulte de leur combinaison. Quant à la seconde, en désignant par k l'ordre de la relation (o)), elle ne cessera évidemment pas d'être satisfaite si Ton effectue dans le second membre une substitution portant sur quelque dérivée d'ordre inférieur à k. Examinons ce qui arrive lorsqu'on y . effectue une substitution portant sur quelque dérivée d'ordre k, A cet effet, soient
la relation (co); ù\v l'une des dérivées d'ordre k contenues dans son second membre;
une expression immédiate de ^\v; et ù\wy ... les dérivées d'ordre k qui figurent dans cette dernière. La relation (co) étant immédiate, ainsi que l'expression considérée de l'j^v, toute variable paramétrique pour u l'est-aussi pour v, et, l'étant pour v, l'est pour w, La seconde condition ne cesse donc pas d'être satisfaite après qu'on a substitué à t\v l'expression immédiate dont il s'agit.
13. Soient (o)) une relation immédiate de classe y 4-1 ; (A) un système de relations immédiates en nombre fini, toutes de classes inférieures ày-Hi, et fournissant une expression au moins pour chaque dérivée principale des classes 1,2,... ,y. Des relations (A) extrayons
SUR LA CONVERGENCE DES DÉVELOPPEMENTS DES INTÉGRALES ORDLNAIRES. l3
un groupe (A') fournissant pour chacune de ces dernières une expression et une seule; dans le second menibre de (w), substituons aux dérivées dont il s'agit leurs expressions tirées de (A'), et répétons l'opération en faisant successivement pour le groupe (A') tous les choix possibles. L'ensemble des opérations que nous venons d'indiquer s'appellera, pour abréger, remplacer dans la relation (ou) les dérivées principales des classes i , 2, . . . , y par leurs expressions tirées de ( A ).
14. Cela posé, supposons les équations données identiquement satisfaites par quelque groupe d'intégrales ordinaires : substituons ces intégrales aux fonctions inconnues correspondantes dans les diverses équations du système, et désignons indifféremment par (A^) ou (B,) l'ensemble des relations immédiates qui résultent de cette substitution. Effectuons ensuite sur chacune de celles-ci et de toutes les manières possibles une différentiation (première) susceptible d'amener dans le premier membre quelque dérivée principale de seconde classe, et soient (A^) le groupe des relations résultantes, (Bo) celui qu'on obtient en remplaçant dans chacune des relations (Aa) les dérivées principales de première classe par leurs expressions tirées de (B,) (13) : en vertu des deux propositions démontrées au n^ 12, le groupe total [(A2), (Ba)] fournit des expressions immédiates pour les diverses dérivées principales de seconde classe. Effectuons maintenant sur les diverses relations des groupes
(AO ou (BO, (A,), (B,)
toute différentiation (première) susceptible d'amener dans le premier membre quelque dérivée principale de troisième classe, et soient (A3) le groupe des relations résultantes, (B3) celui qu'on obtient en remplaçant dans chacune des relations (A3) les dérivées principales des deux premières classes par leurs expressions tirées de (B,), (Bj) : le groupe total [(A3),(B3)] fournira de même des expressions immédiates pour les diverses dérivées principales de troisième classe. Et ainsi de suite indéfiniment.
