AO, (A,), (A

M. et R. 3

l4 MÉRAY ET RIQUIER.

nous distinguerons : i*' le sous-groupe des Te\sii\ons primitives, obtenu en adjoignant aux relations du système proposé toutes celles qui s'en déduisent par de simples différentiations; 2® le sous-groupe des relations intermédiaires, composé de toutes les autres du groupe (3). Nous nommerons ultimes les relations

i^Ois) (BJ, (B,), (B3), ...

dont les seconds membres ne contiennent aucune dérivée principale.

Désignant par

les relations primitives des classes respectives i , 2, 3, . . . , nous aurons encore à considérer le groupe

entièrement composé de relations ultimes, et défini comme il suit : les relations (D|) coïncident, comme (C,), avec celles du système proposé (A,) ou (B|); les relations (D^) s'obtiennent en remplaçant dans (Cj) les dérivées principales de première classe par leurs expressions tirées de (D,) (13); les relations (D,), en remplaçant dans (Cj) les dérivées principales des deux premières classes par leurs expressions tirées de (D,), (Da); et ainsi de suite indéfiniment. Les relations (D,), (D^), (D3), . .. ainsi obtenues se nommeront primitii^o-u/times.

Nous désignerons enfin par (F), faute d'une dénomination appropriée, le groupe obtenu en adjoignant aux relations (C,), (Bo) et (Cj) toutes celles qui se déduisent de (Bo) et (C,) par de simples différentiations. Les formules du groupe (F) autres que (B^) font toutes partie du groupe (3).

Les expressions fournies pour les dérivées principales des intégrales ordinaires du système donné par les diverses relations ci-dessus définies seront affectées des dénominations correspondantes.

16. Sur ces diverses relations et expressions, il importe de faire les remarques suivantes :

1** Parmi les différentiations qui concourent à engendrer une dérivée principale, on peut distinguer les différentiations principales et les différentiations paramétriques : si celles de la première sorte intéressent

SUR LA CONVERGENCE DES DÉVELOPPEMENTS DES INTÉGRALES ORDINAIRES. l5

toutes une seule variable, la dérivée principale est dite simple; si elles intéressent au contraire plusieurs variables distinctes, la dérivée est A\iei complexe . Cela étant, on apercevra facilement, comme au n*^ 23*, (\\x^une dérivée simple a une seule expression primilii^e, tandis qu'une dérivée complexe en a autant que ses différentiations génératrices intéressent de variables principales distinctes.

2® Il n'existe pas d'expressions intermédiaires pour les dérivées principales du premier et du second ordre.

Dans le premier ordre, les relations primitives, comme les relations ultimes, coïncident avec les équations du système donné.

Dans le second ordre, le nombre des expressions ultimes d'une dérivée principale quelconque est précisément égal au nombre de ses expressions primitives, c'est-à-dire à i ou à 2 suivant que cette dérivée est simple ou complexe. Effectivement, si la dérivée considérée est du premier genre (et par suite nécessairement simple), la seule manière d'en obtenir une expression ultime consiste à remplacer dans son expression primitive les dérivées principales du premier ordre par leurs valeurs tirées des équations proposées. Si la dérivée considérée est du second genre, toutes ses expressions ultimes s'obtiennent en éliminant de ses diverses expressions primitives tant les dérivées principales du premier ordre que celles du second ordre et du premier genre : or chacune des dérivées à éliminer n'admet, comme nous venons de le voir, qu'une seule expression ultime.

Dans les ordres supérieurs au second, la multiplicité des expressions d'une même dérivée complexe s'accroît lorsqu'on passe des formules primitives aux formules ultimes, ainsi que nous l'avons remarqué pour les équations différentielles totales. Mais, de plus, pour un système immédiat partiel, cette multiplicité peut s'étendre même aux dérivées simples, parce que leurs expressions primitives peuvent fort bien renfermer des dérivées complexes, susceptibles, comme nous l'avons vu, de plusieurs expressions ultimes.

3** Toute expression primitive, intermédiaire ou ultime, est entière par rapport aux composantes des seconds membres du système donné et à leurs dérivées partielles, comme aussi (^lorsqu'il y a lieu) par rapport aux diverses dérivées des intégrales qui ne sont pas à la fois paramétriques et du premier ordre.

l6 MÉRAY ET RIQUIER.

4*^ Les variables x^ v, .... les fonctions inconnues w, r, ... et leurs déridées principales ou paramétriques de tous ordres étant considérées pour un instant comme autant de variables indépendantes distinctes ^ pour que les formules primitives et intermédiaires soient vérifiées par des valeurs particulières données des variables dont il s'agit, il Jaut et il suffit que les formules ultimes le soient.

L£S groupes (3) e/ (3 bis) sont ainsi équivalents l'un à l'autre.

)" L^ groupe des relations primitives équivaut de même soit à celui des relations primitivO'Ultimes, soit à celui des relations (F) (15).

6^ Nous nommerons simple tout groupe indéfini de relations primitives, intermédiaires ou ultimes, fournissant, pour chaque dérivée principale, une expression et une seule. Si l'on attribue aux variables, aux fonctions inconnues et à leurs dérivées paramétriques des valeurs numériques quelconques, les relations successives d'un pareil groupe, rangées d'après leurs classes croissantes, fournissent pour chaque dérivée principale une valeur numérique déterminée et une seule.

Si, sans attribuer de valeur numérique particulière à aucune de ces diverses quantités, on élimine du second membre de chaque équation les dérivées principales qui y figurent à l'aide des équations antérieures, on obtient un groupe simple équivalent au premier, et entièrement composé de relations ultimes.

17. A partir de valeurs initiales données x^^y^, ... des variables indépendanteSy les développements par la série de Taylor des intégrales ordinaires dont on admet Inexistence pour le système immédiat considéré, ' peuvent être reconstruits dès que l'on connaît S'cule/nent leurs valeurs initiales et celles de leurs dérivées paramétriques de tous ordres.

Effectivement, les seconds membres des formules ultimes ne contenant que les variables indépendantes, les intégrales et leurs dérivées paramétriques, Thypothèse numérique x = x^, y=yo^ ... les transforme tous en des quantités connues et fait connaître, par suite, les valeurs initiales de leurs premiers membres, c'est-à-dire de toutes les dérivées principales des intégrales dont il s'agit.

En résumé, on connaît donc ainsi les valeurs initiales de ces intégrales et de toutes leurs dérivées sans distinction, c'est-à-dire ce qui est nécessaire pour construire les développements cherchés.

18. Quand les variables principales d'une intégrale prennent leurs valeurs particulières initiales, cette intégrale se réduit à une fonction de ses seules variables paramétriques, que nous nommerons sa détermination initiale. Dans le système (i), par exemple, la détermination initiale de u est une fonction de y^ celle de \^ une fonction de x. Dans le système (2), celles des intégrales w, v sont toutes deux des fonctions de y.

Si, pour une certaine intégrale, toutes les variables de la question sont principales, sa détermination initiale se réduit à une constante : c'est ce qui arrive toujours dans un système d'équations différentielles totales.

Si, pour une autre, les variables sont toutes paramétriques, sa détermination initiale est fonction de toutes les variables.

19. La connaissance des déterminations initiales de toutes les intégrales permet aussi bien la reconstruction de leurs développements.

Il est clair, en effet, que les valeurs initiales d'une intégrale et de ses dérivées paramétriques sont précisément celles de sa détermination initiale et de ses dérivées de tous ordres. La connaissance des déterminations initiales équivaut donc exactement à celle des valeurs initiales des intégrales et de leurs dérivées paramétriques, laquelle, d'après le théorème du n° 17, suffit à la reconstruction de leurs développements.

20. Au lieu de reconstruire, comme nous venons de l'indiquer, les développements d'intégrales dont l'existence est supposée connue, cherchons maintenant s'il existe quelque système d'intégrales ordinaires ayant pour déterminations initiales des fonctions de leurs divers groupes de variables paramétriques cAome^aw Aoyar^^, mais jouissant, bien entendu, de la double propriété d* être toutes olotropes pour les valeurs initiales des variables indépendantes, et d* avoir, ainsi que leurs dérivées premières, des valeurs initiales qui, prises conjointement avec celles des variables, laissent ausd olotropes les composantes des seconds membres des équations données.

Un pareil système d'intégrales, lorsqu'il existe, est évidemment unique, et son existence dépend des trois conditions suivantes, comme s'il s'agissait d'un système total.

l8 MÉRAY ET RIQUIER.

I. Nonobstant la multiplicité des expressions ultimes d'une même dérivée principale d'une intégrale hypothétique (16, 2*^), les valeurs initiales quelles fournissent de diverses manières pour cette dérivée doivent toujours être numériquement égales les unes aux autres.

II. Les développements construits par la méthode des coefficients indéterminés, comme s il s'agissait d'une simple reconstruction (t7), doivent avoir quelque système de rayons de convergence tous différents de zéro.

III. Leurs sommes doivent satisfaire effectivement à toutes les équations du système immédiat proposé.

La dernière de ces trois conditions ne peut manquer d'être remplie si les deux premières le sont^ alors même qu'on se bornerait à considérer dans celles-ci les valeurs initiales fournies par les seules formules primitivo-ultimes. Effectivement, les valeurs initiales des variables indépendantes, des fonctions définies par les développements dont nous venons de parler, et de leurs dérivées principales ou paramétriques de tous ordres, vérifient par hypothèse les formules primitivo-uUimes, donc aussi (16, 5**) les formules primitives. La substitution des fonctions considérées dans chaque équation du système en transforme donc les deux membres en des fonctions de rc, y, .. . numériquement égales, ainsi que leurs dérivées semblables, pour x = x^, y =y^^ ... et, par suite, identiquement égales entre elles (7*).

Nous n'avons ainsi à nous occuper que des deux premières conditions.

21. La réalisation de la première peut s'opérer soit par une adaptation convenable de la nature des fonctions choisies pour déterminations initiales des intégrales hypothétiques à celle des seconds membres des équations du système, soit par une corrélation spéciale entre les seconds membres, en vertu de laquelle la condition dont il s'agit se trouve remplie indépendamment du choix des fonctions prises pour déterminations initiales.

Nous exprimerons l'existence de cette dernière corrélation en disant que le système immédiat proposé est passif. Quant aux intégrales ordinaires des systèmes non passifs, qui sont loin d'exister toujours, nous les nomm^von^ exceptionnelles y comme nous l'avons fait au n® 27* pour les équations différentielles totales.

22. Pour qu'un système immédiat d'équations différentielles partielles soit passif, il faut et il suffit que les deux expressions ultimes de chaque dérivée complexe seconde d'une fonction inconnue quelconque soient égales identiquement^ cest-à-dire quelles que soient les valeurs attribuées aux variables^ aux fonctions inconnues et à leurs dérivées paramétriques premières et secondes, ces trois sortes de quantités étant considérées pour un instant comme autant de variables indépendantes distinctes.

Si le système est passif, les diverses expressions ultimes de chaque dérivée principale, et en particulier de chaque dérivée complexe du second ordre, doivent être identiquement égales, d'où résulte immédiatement que la condition posée est nécessaire. Nous prouverons qu'elle est suffisante en raisonnant comme il suit.

Toute expression ultime d'une dérivée principale s'obtient en différentiant un certain nombre de fois l'une des équations proposées, et remplaçant après quelques-unes de ces différentiations, en particulier après la dernière, les dérivées principales qui figurent dans le second membre par telles ou telles de leurs expressions ultimes. Cela posé :

I. Si l'égalité identique entre les diverses expressions ultimes de chaque dérivée principale a lieu jusqu'à la classe j^i inclusivement, toutes les expressions ultimes d'une dérivée déterminée de classe y H- i , obtenues en effectuant sur une même équation du système proposé l'opération ci-dessus indiquée, sont identiquement égales entre elles de quelque manière que cette opération soit conduite,

1° En premier lieu, si Ton n'opère de substitutions qu'après avoir opéré la dernière différentiation, la relation ultime à laquelle on est conduit est toujours la même; car la formule primitive résultant des seules différentiations est indépendante de l'ordre dans lequel on les exécute, et pour chacune des dérivées principales, de classes nécessairement inférieures ày + i, qu'on en doit éliminer, les diverses expressions ultimes sont par hypothèse identiques.

2° Si l'on ne change pas l'ordre relatif des différentiations, le résultat de l'opération ci-dessus indiquée est indépendant de toutes les autres conditions dans lesquelles on l'effectue.

Supposons en eflet que les différentiations, dont nous désignerons le nombre par k^ soient exécutées dans un ordre déterminé, certaines d'entre elles étant suivies de substitutions déterminées; soient ar celle des variables indépendantes par rapport à laquelle la dernière doit avoir lieu, et

(4) oa=/(^, /, ...,",«'»•.•, <r, •.., 7, . ..)

la relation immédiate sur laquelle on a à l'exécuter. Dans cette formule Sa désigne une certaine dérivée principale d'ordre k^ et a, ..., T, ... les diverses dérivées respectivement principales et paramétriques dont le caractère immédiat de la relation autorise la présence

dans le second membre. Les dérivées -y-» •••et celles des dérivées

dx

^y ••• qui sont principales sont au plus de la classe y; car elles figurent éventuellement dans le second membre de la relation immédiate que l'on déduit de (4) au moyen d'une différentiation relative à x^ et, par suite, sont de classes inférieures au premier membre

^ qui est de classey-f- 1. Chacune de ces dérivées, comme aussi chacune des dérivées principales a, ..., a donc une expression ultime unique, d'où résulte en particulier que, si l'on désigne par

les expressions ultimes des dérivées

dx

etpar(-T-j> ••• les résultats que donne la règle des fonctions composées quand on effectue sur S, ... une différentiation relative à x, les diverses expressions ultimes S^, ... peuvent s'obtenir en élimi-

nant respectivement des diverses expressions (^)» ••• les dérivées

principales (de classes nécessairement inférieures à y) qui peuvent y figurer.

Cela posé, au lieu de différentier par rapport à j? la relation (4)* ce

qui donne

ddff df df du df dv df da df dz

ûf J7 <ij? ûf M dx dv dx ' ' ' ' d(j dx ' ' dx dx

puis de remplacer, d'une part, les dérivées principales <7, . . ., -r-? ■ • • par les expressions ultimes S, . . ., S^., . . ., d'autre part, celles des dé-

' , dit dv dr • M. ' ' 1 I

rivées ^-j ^-, •••^ ^, ••• qui sont principales par les expressions

ultimes correspondantes, il revient évidemment au même de différentier par rapport à a? la relation

ce qui donne

d^ 4f . ^du d/dv ^f(^^\ i[^

dx dx du dx dv dx ' ' ' dit \dx / ' ' ' dr dx ' ' '

puis de remplacer par leurs expressions ultimes les dérivées principales qui peuvent alors figurer dans le second membre.

Ainsi on peut, sans changer le résultat, remplacer dans le second membre de (4) les dérivées principales par leurs expressions ultimes, ce qui donnera une expression ultime de S^, effectuer seulement alors la dernière différentiation, et remplacer finalement par leurs expressions ultimes les dérivées principales introduites par cette différentiation dans le second membre. Si l'on observe maintenant que S^^, puis les dérivées dont il s'agit, étant déclasses inférieures ày -4-1, ne sont susceptibles chacune que d'une expression ultime, le point qui nous occupe se trouve entièrement démontré.

3*^ Considérons deux quelconques des expressions ultimes dont il s'agit actuellement de constater l'identité, et qui se déduisent, comme nous l'avons expliqué , par différentiations et substitutions, d'une même équation du système proposé. Si, sans changer de part ni d'autre l'ordre relatifdes différentiations, on n'opère de substitutions qu'après la dernière d'entre elles, on tombe sur deux expressions ultimes respectivement identiques aux deux précédentes (2*'), et l'on sait d'ailleurs (i*') qu'en procédant ainsi le résultat est indépendant de l'ordre

des différentiations.

M. et R. • 4

22 MKRAY ET RIQUIER.

II. Si l'égalité identique entre les dii^erses expressions ultimes de chaque dérivée principale a lieu jusqu'à la classe j^ 3 inclusii^ement, les deux expressions ultimes d'une même dérivée principale de classe y 4- i , déduites de deux équations distinctes du système proposé par l'opération indiquée plus haut, sont nécessairement identiques.

Supposons, par exemple, que les deux équations dont il s'agit soient

du du

(^^ di ' dy

L'une des différentiations à exécuter sur la première est nécessairement relative à j. Tune des différentiations à exécuter sur la seconde nécessairement relative à x, et celles qui restent ont lieu de part et d'autre par rapport aux mêmes variables. Or les expressions ultimes d'une même dérivée principale étant identiques jusques et y compris la classe y, on peut, sans changer les résultats (I), opérer de la manière suivante sur chacune des équations (5) : i*^ effectuer d'abord la différentiation relative à j s'il s'agit de la première, relative à x s'il s'agit de la seconde, et remplacer dans les seconds membres les dérivées des deux premières classes par leurs expressions ultimes; 2** exécuter ensuite les différentiations restantes et remplacer finalement dans les seconds membres toutes les dérivées principales par leurs expressions ultimes. En vertu de l'hypothèse, les résultats sont identiques après la première partie de l'opération, et par suite aussi après la deuxième.

III. Pour les trois premières classes (ou, ce qui revient au même, pour les deux premiers ordres), l'égalité identique entre les diverses expressions ultimes d'une même dérivée principale a lieu d'elle-même si cette dérivée est simple (16, 2°), et résulte de l'hypothèse si cette dérivée est complexe. On en conclura, par l'application répétée des propositions ci-dessus énoncées (I, II), que cette égalité identique a encore lieu pour la quatrième classe, puis pour la cinquième, et ainsi de suite indéfiniment.

23. Une particularité essentielle à noter est que le système propose est passif sans condition dans le cas ou chaque fonction inconnue na pas plus d'une seule variable principale. Effectivement, le choix de l'équa-

SrR \.\ CONVERGENCE DES DÉVELOPPEMENTS DES INTÉGRALES ORDINAIRES. 23

tien à différentier pour obtenir une dérivée principale déterminée n'a plus alors rien d'arbitraire, et le point à démontrer résulte du numéro précédent (I).

D'une manière générale, le nombre total des conditions de passivité est égal à la somme de ceux qui pour chaque fonction inconnue expriment combien ses variables principales offrent de combinaisons deux à deux. Pour des nombres donnés A, g, de variables indépendantes etde fonctions inconnues, il peut donc varier de o, valeur qu'il prend lorsque chaque fonction inconnue n'a pas plus d'une variable principale,

à g~ -S valeur qu'il acquiert quand aucune fonction inconnue

n'a de variable paramétrique, c'est-à-dire quand le système immédiat est total (29*).

24. De l'ensemble des formules primitives, intermédiaires et ultimes, extrayons un groupe indéfini fournissant au moins une expression pour chaque dérivée principale, et considérons-y, pour un instant, les variables x,y^ . .., les fonctions inconnues u,s^, ... et leurs dérivées principales ou paramétriques de tous ordres, comme autant de variables indépendantes distinctes : lorsque les conditions initiales (19) seront choisies de telle manière que les relations dont il s'agit soient toutes vérifiées quand on substitue, d'une part aux variables x,y, . . ., aux fonctions u, ç', ... et a leurs dérivées paramétriques les valeurs initiales données, d'autre part à leurs dérivées principales des valeurs particulières convenables (formant de toute nécessité un système unique), nous dirons qu'il y a, relativement aux conditions initiales dont il s'agit, concordance numérique entre les relations du groupe.

Dans un groupe simple, quel qu'il soit, la concordance numérique a lieu d'elle-même relativement à des conditions initiales quelconques.

25. Il nous reste maintenant (20) à examiner si, les conditions initiales étant choisies de manière «i assurer la concordance numérique (24) des relations primitivo-ultimes, ou, ce qui revient au même (16, 5*^), des relations primitives, les développements qu'on en déduit pour les intégrales hypothétiques sont convergents. C'est là une condition qui n'est pas nécessairement remplie, et, dans les deux

'2f\ .>IKKA\ ET RTOriER.

paragraphes qui suivent, nous spécifierons précisément un cas très étendu où elle Test toujours, et un autre cas où sa réalisation dépend des circonstances particulières du problème.

Systèmes immédiats qui sont en même temps réguliers ou semi-réguliers. Réduction d'un système immédiat non linéaire à un système immédiat linéaire.

26. Quand les fonctions inconnues d'un système immédiat peuvent être placées dans un ordre tel que toute variable qui est principale pour Tune d'entre elles le soit aussi pour chacune des précédentes, nous écrirons de gauche à droite dans cet ordre les colonnes correspondantes de son Tableau, et nous dirons qu'il est régulier. De cette manière, les fonctions se rassemblent naturellement en groupes jouissant de cette propriété que, pour deux fonctions inconnues quelconques, le partage des variables en principales et paramétriques se fait ou non de la même manière suivant qu'elles appartiennent au même groupe ou k deux groupes différents. A ces divers groupes, et en allant de gauche à droite dans le Tableau, nous assignerons les numéros d'ordre i, 2, 3, ..., et chacun de ces numéros s'appellera le rang de régularité commun des fonctions inconnues du groupe correspondant.

Pour un système de cette espèce, nous écrirons aussi les lignes du Tableau dans un ordre tel que le nombre des cases occupées n'augmente jamais d'une ligne à la suivante quand on le lit de haut en bas. Les variables se rassemblent ainsi en groupes jouissant de cette propriété que deux lignes quelconques du Tableau offrent la même distribution de cases pleines et vides ou dos distributions différentes, suivant que les variables qui leur correspondent appartiennent ou non au même groupe. A ces divers groupes de variables nous attribuerons, de même, les rangs de régularité i, 2, 3, . . ., en parcourant le Tableau de haut en bas.

Par exemple, le système (2) du n® 9 est régulier; plus généralement aussi tout système dans lequel le partage des variables en principales et paramétriques s" opère de la même façon par rapport à toutes les fonctions inconnues : en pareil cas, ces dernières ont toutes le rang i.

SUR LA CONVKKGENC.E l»KS nÉVKLOPPEMKNTS DES ISTÉCiUALES ORIIINAIIIES. 2 )

et les variables indépendantes ont le rang i ou 2, suivant qu'elles sont principales ou paramétriques. Dans cette catégorie se rangent, en particulier, les systèmes d'équations différentielles totales. Le système écrit ci-dessous

(lu

dv d.c

div

dx '"

fin

de

dy

du

dz •••

est encore régulier s'il est immédiat, c'est-à-dire si les dérivées paramétriques contenues dans les seconds membres d'une colonne quelconque n'appartiennent à aucune des fonctions qui. correspondent aux colonnes antérieures. Les fonctions a, ç,w, s y ont respectivement les rangs i, 2, 3, 4» et de même les variables x^y, z, t.

Nous appellerons irrégulier tout système immédiat non régulier, et semi-régulier tout système immédiat et irrégulier pouvant se déduire de quelque système immédiat et régulier par la suppression de certaines équations différentielles. Par exemple, le système (0^^ ^" ^ est irrégulier; tout système immédiat dont les seconds membres ne contiennent aucune dérivée des fonctions inconnues est nécessairement semi-régulier lorsqu'il n'est pas régulier, car on peut alors l'extraire de quelque système d'équations différentielles totales.

27. Nous dirons encore qu'un système immédiat est linéaire quand les dérivées (paramétriques) des fonctions inconnues entrent toutes linéairement dans les équations qui le composent. Chaque second membre se réduit alors a une somme de termes dont l'un est une certaine fonction des variables indépendantes et des fonctions inconnues

'26 MKKAY KT UIOIIKK.

seulement, tandis que l'un quelconque des termes restants est le produit d'une semblable fonction par quelque dérivée paramétrique. Par exemple, l'équation aux, dérivées partielles

du dx

^xi^.yyU,

du\

dy)

constitue un système linéaire si son second membre est de la forme

Il faut aussi rattax:her les équations différentielles totales aux systèmes linéaires, puisque leurs seconds membres ne renferment point de dérivées.

28. Etant donné un système immédiat quelconque, supposons qu'on assigne à ses intégrales ordinaires des conditions initiales choisies au hasard, mais jouissant, bien entendu, de la double propriété énoncée au n^ 20. A l'aide des relations contenues dans un groupe simple déterminé de formules primitives, intermédiaires ou ultimes (n'* 16, 6*^), on peut évidemment, et d'une seule manière, construire des séries entières dont les sommes coïncideront avec les intégrales cherchées, si toutefois ces dernières existent; mais on ne peut affirmer que les développements ainsi construits fournissent des intégrales du système proposé avant de s'être assuré et de leur convergence, et de la concordance numérique des formules primitivo-ultimes relativement aux données initiales. Quoi qu'il en soit de cette dernière condition, si celle de convergence se trouve remplie, nous dirons, pour abréger, que les sommes de nos développements sont des intégrales fictives du système en question satisfaisant aux conditions initiales choisies,

29. Tout système partiel jouissant de la triple propriété d*étre immédiaty régulier et linéaire^ possède un groupe d' intégrales fictives répondant

SUIl LA CONVERGENCE DES DÉVELOPPEMENTS DES INTÉGRALES ORDINAIRES. 27

à des conditions initiales données, et construites à l'aide d'un groupe simple donné de relations primitives, intermédiaires ou ultimes.

Jusques et y compris l'alinéa ill du présent numéro, nous supposerons simplement que le système partiel auquel nous avons affaire est immédiat et linéaire, sans nous inquiéter de savoir s'ir;^est régulier^ou non. Nous nommerons alors

[{, l\ le système dont il s'agit;

'^o'Jo* ••• les valeurs initiales des A variables indépendantes a:, j, ...;

//q, ^0» • •• celles des ^fonctions inconnues u,v, .. .;

u, 9, . . . les déterminations initiales de ces dernières;

(gt) le groupe simple de formules qui, conjointement avec les déterminations initiales, nous servira à construire les développements en séries des intégrales hypothétiques, et que nous pouvons toujours supposer ne contenir exclusivement que des relations ultimes (n« 16, 6«);

'|(x, V, . . ., M, r, . . . ), . . ., les coefficients des dérivées paramétriques dont le caractère immédiat du système [/, /] autorise la présence dans les seconds membres de ses diverses équations;

a)(ar, j, ..., M, ^, ...), ... les termes indépendants de ces dérivées dans les mêmes seconds membres.

Cela posé, nous démontrerons les points suivants :