IV. On CI, quel que soit l'entier positif m

.o V % -^ m(m — i) (62) ôVo^— ^— --hi.

Si m = I , la relation a,,o = H donne immédiatement S|,o = i . Dans le cas contraire, on a, par la combinaison des relations (60), (61),

en ajoutant membre à membre cette dernière inégalité avec celles qui s'en déduisent par la substitution successive de /w — i, m — 2, . . ., 2 à m, et avec Tégalité S,,o = i» on obtient précisément l'inégalité (62).

Y. En vertu de la première remarque faite dans l'alinéa 1, de la relation (62) et de l'hypothèse H > i, on a

mim — i)

Si donc on appelle i le module de x, et que l'on considère dans le développement de l'intégrale hypothétique u la partie indépendante de y, le terme général de cette dernière a un module au njoins égal à

Or l'expression que nous venons d'écrire croît indéfiniment avec m pour toute valeur de Ç supérieure à zéro; car, en y remplaçant//! par /n -h I et prenant le rapport de cette nouvelle expression à la première, on obtient

quantité que l'on démontre aisément être infinie avec m lorsque H est

La partie considérée dans le développement de u est donc une série

divergente, le développement tout entier aussi, et, comme nous l'avons annoncé, les intégrales m, ^ ne sauraient exister.

On arriverait, à plus forte raison, à la même conclusion, si l'on prenait comme déterminations initiales de 1/, \^ des fonctions respectivement olotropes en a? = o, j' = o, et dont les développements par la formule de Maclaurin eussent tous leurs coefficients positifs, ceux de ar et de j ne tombant pas au-dessous de l'unité.

42. On voit par ce qui précède que, pour un système immédiat, même passif, qui n'est ni régulier ni semi-régulier, l'existence des intégrales ordinaires répondant à des conditions initiales données est essentiellement précaire. Elle dépend de la nature des composantes qui figurent dans les seconds membres des équations différentielles, comme aussi de la nature des déterminations initiales, et il peut fort

bien arriver qu'en modifiant les unes ou les autres (sans changer la répartition des cases pleines et vides dans le Tableau du système) les intégrales existent dans un cas et disparaissent dans un autre. Il n'entre pas dans notre cadre d'approfondir davantage cette aride question, à laquelle nous n'apercevons d'ailleurs, dans l'état actuel de l'Analyse, aucune application intéressante.

43. La remarque suivante est essentielle à noter. Un système immédiat qui n'est ni régulier ni semi- régulier peut parfois être privé d'intégrales répondant à certaines conditions initiales, mais il nen résulte pas que son intégration soit impossible; car, en le résolvant par rapport à un autre groupe de dérivées, les cases pleines et vides (i) ne se trouvent plus réparties de la même manière dans le Tableau, ot il peut arriver que le système, sans cesser d'être immédiat (8), devienne régulier ou semi-régulier, par suite, sujet au théorème du n° 36. Il n'y a là, d'ailleurs, rien de contradictoire : si, dans leur ensemble, les équations difTérentielles sont restées les mêmes, ou du moins équivalentes à ce qu'elles étaient primitivement, V économie des conditions initiales a été totalement bouleversée par les changements que cette transformation a opérés dans la répartition des cases pleines et vides, et le paradoxe naissant de la coexistence de ces deux faits que, sous une forme, le système proposé n'a pas d'intégrales, tandis qu'il en possède sous une autre, se résout sans difficulté par cette simple remarque, que les deur groupes de conditions initiales correspondant à ces deux/ormes ne sont pas du tout équivalents.

Par exemple, sous la forme équivalente

du dx

iT du

dv dx

u I dv

le système (58), où nous supposerons H>i, peut être intégré avec