INTRODUCTION

La formule de décomposilion d'une fraction ou fonction ralionnolle R{x), en fractions ou éléments simples, a un double intérêt : d'une part, elle met en évidence les pôles de la fonction avec leurs parties principales; d'autre part, elle permet l'intégration de la fonction en la ramenant à l'intégration des éléments simples.

Ce double point de vue a été étendu par le génie d'Hermite [1]. [1*], [2] à la plupart des fonctions connues de son temps, par exemple aux fonctions ellipticpies, aux fonctions doublement périodiques de seconde espèce et à leurs dégénérescences, aux fonctions rationnelles de sin^ et cos^^ R(sin^, cosj-), aux fonctions de la forme c"''R(.r), e''^-*R(sin;r, cosa?), où w est une constante.

Dans ses recherches Hermite a pris généralement pour élément simple une fonction d'une variable/(:r)devenantinrmieau point J7==o,

im y remplaçant .r par x — a, comme il arrive pour les fonctions rationnelles R(.r) où l'élément simple se déduit de - en y remplaçant X par X — a.

Mais dans .ertains cas, comme on le verra dans l'exemple dc> fonctions doublement périodiques de troisième espèce, il tant avoir recours, pour l'élément simple, à des fonctions de deux vnrial)les

r) r I QLl^

dont l'une est la variable qui ligure dans la fonction à décomposer et dont l'autie coïncide avec les pôles successifs.

L'idée géniale d'Hermite est d'une fécondité telle que chaque auteur, en étudiant des fonctions nouvelles, s'efforce de trouver un élément simple correspondant. C'est ce que Poincaré a fait pour les fonctions fuchsiennes en créant les fonctions zètafuchsiennes [8] comme il avait créé les fonctions thêtafuchsiennes.

En faisant l'exposé général de la théorie de la décomposition en éléments simples, je prendrai d'abord les fonctions rationnelles et celles qui s'j rattachent, puis, d'après Hermite, les fonctions doublement périodiques et la fonction zêta, Jes fonctions doublement périodiques de seconde et troisième espèce, puis les fonctions d'un point analytique, puis les fonctions automorphos d'Henri Poincaré, puis enfin les fonctions f dites triplement périodiques de trois variables

réelles x^ r, z veritiant 1 équation de Laplace -r-^^ i ;rT ^ ~Â~i ^^ ^'

Je consacrerai un numéro spécial à la définition d'un nombre fondamental dans le problème, d'après Poincaré.