CHAPITRE I
FRACTIONS RATIONNKLl.ES ET FONCTIONS ANALOGUES.
\ . Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples. — Une fraction rationnelle R(^) est le quotient de deux polynômes. Supposons que le dénominateur admette la racine a, de l'ordre a, la racine h de l'ordre [3, . . . , supposons enfin, pour nous placer dans le cas le plus général, que la fraction devienne infinie à l'infini et que dans le voisinage de r = oo elle soit développable en une série ordonnée suivant les puissances décroissantes de x de la forme
Dans le voisinage de x =■ a, la fonction sera de la forme
A, Aa A 3; r .• r •
\- , -f-. . . -H — — -1- foinl 1(111 11 me itoiir ,r = a,
dans le voisinage du polo :r = 6, elle sera de même de la forme B, B., B
x — b (x — hf ■ ■ ■ ' {x — hf
-\- fonction finie pour ,i=^ h.
On sait que Gauclij appelle résidus relatifs aux pôles «, b. ... les coefficients A,, B,, .... Eu généralisant cette dénomination, nous appellerons les coefficients
— « I , Al, B 1 , . . . , L 1 , les résidu^ relatifs aux polos
On a alors le théorème suivant | 1^] facile à démontrer d'uno fnçon élémentaire qui résulte aussi de la considération de l'intégrale de Gauchj
/ B(^)rf.r.
prise sur un contour fermé ('nt<uuani les polos.
La somme des résidus dKne fraclion val ionnelle est éi^alc à zéro.
La formule de décomposition bien connue, que je rappellerai sous une forme spéciale, peut alors s'obtenir en appliquant le théorème précédent à la fonction rationnelle en /
Le résidu relatif au point / = a; e>t R(:r); le résidu relatif au point < = 00 est le suivant; on a pour t suffisamment grand
Le coefficient de - dans le t)rodiiit est
a.;X''-{- a,;i x>-^ -i- . . . -!- «1 :r + a,. ; le résidu est ce coefficient changé de signe; au pôle f ^ a, le résidu
se calcule de même ; on a en un point t voisin de a
t — X X — a {x — ap
t — a { t — a )- ■ {( — a ) Le résidu correspondant de ''-p(^) est
Al A2 Aa
On a un résultat analogue pour les autres pôles b, c, ...,/; finalement en écrivant que la somme des résidus de 9(0 esl nulle, on obtient la formule connue
^Ix — a (1 — a)2 ix — a)^]
i2. Fonctions rationnelles de s'\n.x et cosx. — On désigne ordinairement ces fonctions par Pi (sinj?, cosj?). Hermite [1] part d'abord de la transformation en une fonction rationnelle de la quantité transceudante R(sina", cosjp) qu'on obtient en posant
De là résulte en effet
R(sinc?-, COS.*) —
V, et F étant des polynômes.
11 déduit alors de la décomposition en fractions simples de la fraclion rationnelle en z une décomposition de R(sinj?. cos/) en éléments simples qui en donne semblablement et d'une manière immédiate l'intégration.
En mettant en évidence les racines nulles du dénominateur F(::), llermile arrive à la forme suivante, analogue à la décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples :
li ( sinx, cosx; = \\(x ) -i-4>{x),
OÙ II (.^) est la |)arlie entière
U(x) — S[c//^.(cosÂ\r -+- I sïnkx)],
et où ^(x) L'sl la partie dovenant infinie
d col - ( X — a ) d" col ~ ( X — a )
fj) ( x) = cl 1 00 1 - I ./• — a ) + cl, -. -i- . . . + Cl,j
i dx
dx"
f/ col - { X — ,j j a/' col - {x — j)
ci?i cot -(./■— 3) -H (.t?.j -j- h. . . + Ci?/,
2 " rfif: " ' ' ' dxl'
d col - ( 37 — À ) <:/■'•' cot - ( :c — À j
.C", col - ( :r — À ) 4- /,' . — h . . . + Cg
•}. dx ' ' dx-
OÙ l'élément --iniple est cot-.r.
L'intégraliou e>t alors immédiate, la seule intégrale nouvelle étant
/C(jt -(x —
/ ) dx = ■>, log sin - ( .i:' — t ).
',\. Fonctions de la forme e"^^R(;r). — D'après Hermite [I], on décompose d'abord la fraction rationnelle R(.2) on fractions simples, pais co désignant une constante, on déduit de là
,,<ox R ( a? ) = gw-r E ( :r ) -H V Cl 1 ^
-+.y cl..
dx X — a
d" gw'^
dx'^ X — (/
où Ion voit (jiic l'élément >imple est - — qui remplace l'élément - correspondant aux fractions rationnelles.
L'intégration i ('.^■■''V^{.€) dx est alors immédiate. Il s'y introduit une iranscendante nouvelle
qui, par la substitulion e'"'*' = r, devient
expression que l'on appelle log intégral de z.
4. Fonctions de la forme e'"' Pi(sinx, cos:^), où <,) est différent de i ou de /^/, n entier. — Toujours d'après Herniite [1], la fonction R(sin:i?, cosx) étant décomposée suivant la foruuile précédente, on peut mettre la fonction proposée sous la forme
ew-ï R(sin:r, cosa;) = eWAll(.r) -+-\^ I 51 ewa-coti(\/? — a)
+ ,^. ^ [.-coli(..a)]
OÙ \\{x) désigne la fonction entière du JN "2. On voit que l'élément simple est
^W./ col - X.
L'intégration est aisée. Elle conduit à la seule transcendante nouvelle
cp(^) = / t"'''-'" fot, -X dx.
