APPLICATIONS. N6,9 — 10 N

Dans ce cas le nombre ee s'écrit m’.d et les d (diviseurs inférieurs à i) qui conviennent sont : d = 1, d = 2, et d=3. Il y aura donc, cette fois, des décompositions d'ordre 1, 2 et 3.

role

La seule décomposition d’ordre 1 est: © +R+T+e +e+e Les décompositions d'ordre 2 sont :

(ne en ee x air A Cr) Eu Corn EC ÉtUevVren a: N,7. Les décompositions d’ordre 3 : GIE) + (HITS): (+248) + (+242):

sont au nombre de Na. Mais il est à remarquer que la décomposition d’ordre 1 est une décomposition d’ordre 2 et aussi une décomposition d’ordre 3. Il y a donc: (N22-1) décompositions qui sont seulement d'ordre 2 ; (N:," —1) décompositions qui ne sont que d'ordre 3 et [ Nôm —1 — (ES D) — (2 — D] décompositions qui ne sont que d’ordre 6. D’où l’équation : 5 ( [Nôom-1-(N22- 1) — (NE 1] +1+2 (2-1) +3 (Ns2-1) OU Hém — 0 N6,m — 4 Ne — 3 Ne + 2 Him + 4 N2,2 AONNE ES Mais Hô6m — C2. D'autre part, comme m — 6 k, N22 et N3,2 sont cette fois donnés par la formule (6) et : F—1)C —2 nl tes 229 G ) 6 ) L 2 3 . 2 — 2 ÉQURE 3 3

D'où 8 N6,m —=

D'où : SINEE — nee) + 2

(m—2) (m— 4) Ci 2

CL N3,2 — 2 5 2 en. 21 DOUANES — o 1 ie él A Ne DAC: 16 m ES (m ) (m ) an

Nm 720

APPLICATIONS. Né,12 — 80 N6,13 — 1038.

$ 5. Détermination de Ein à partir de Njim-

De même que j'ai calculé N;n en partant de Him, je vais relier à son tour Eim à Nim- Comme Nim est donné, dans tous les cas, par la formule (1), si Eim peut être exprimé en fonction de Nim dans le cas général, alors le problème sera résolu complètement. Je me contente ici de donner les formules qui permettent de calculer très rapidement N;,n pour m quelconque mais i< 5.

On sait que Eim est le nombre des décompositions de m en sommes de i nombres différents et non ordonnés.

l' Casa = 1.01rest évident que Er = "TT:

IF Cast?

A. — m impair. Alors les N2m décompositions sont toutes des sommes de 2 nombres différents. D'où : Esm — Nom Mais

Ge : à ï s Nom = “2-1 puisque m est impair, ou Nom = 5

Donc : Ein = 2

B. — m pair. Alors, des N;,:m décompositions, seule CG + =) ne fait pas partie des E2m. D’Où E2;m — N2,m — 1. Or, ici, la for- Coast (21) m sa

mule (6) donne : Nom — 2 = et En —

ou E2,m == BÉ