ANT SE

sont 2 nombres inférieurs à m, donc premiers à m, et leur produit est, lui aussi, premier à m.

Bb = T et "alors br = p. | Or, avec D =r;, bp =1et br = p deviennent respectivement pr = 1 et r?= p. Et on va prouver que cette dernière congruence n’est qu’une conséquence de la première. En effet, d’après le théorème 1, on sait que 1+p+r—m donc p—m—(r+1) ou p=—(r+1) et en substituant dans pr = lil vient r(r+1)=—1our=—{(r+1) donc r°= p.

Aiïnsi, si pr = 1, la caractéristique 1, p, r, est transformée en elle-même (car b, bp, br devient r, 1, p) par la substitution Prat DT br):

IT. br = 1. Il reste à nouveau deux possibilités :

Ab =/p et Alors Dp="r: LOrtavecubr= p; br ="1 ét bp = r deviennent respectivement : pr = 1 et p’=r. Et, cette fois encore, on va montrer que la deuxième congruence est une conséquence de la première à cause de 1+ p+r — m. En effet, r = m—(p+1) ou r=—(p+1) et pr = 1 s'écrit alors p p+1)=—1 ou p=—(p+ 1) ou p?=r.

Donc, si pr = 1 la caractéristique 1, p, r est encore transformée en elle-même (car b, bp, br devient p, r, 1) par la substitu- Done |r, pr}. (car b =D).

B. b—r et alors bp =p. Mais ce cas n’est pas possible car bp = p ou p (b—1) = 0 est impossible ainsi qu’on l’a vu pour r (b—1)=0.

Et comme p <r, p<1 et r<1 ces 3 substitutions sont toujours différentes et une même colonne cyclique peut donc figurer 3 fois au plus dans sa colonne métacyclique et cette

dernière contient donc au moins - colonnes cycliques distinctes quel que soit m premier. Et pour qu'une des n3,n Colonnes métacycliques possède exactement + colonnes cycliques différentes, il faut qu’elle contienne une colonne cyclique de caractéristique

Pare CleRqUue D Er pe IN Ie pr =.

Théorème 29. — Parmi les nsm colonnes métacycliques avec

. . S à el

m premier, il y en a, au plus, une seule à contenir exactement e colonnes cycliques distinctes.

Ef9 Le

PREUVE. Pour cela, il suffit de montrer que la congruence pr = 1 est satisfaite, au plus, par un couple (p, r). Et ainsi la caractéristique 1, p, r et sa conjuguée 1, r, p seront uniques aussi ; et comme elles fixent deux colonnes cycliques conjuguées, ces dernières se trouveront à leur tour dans une colonne métacyclique unique à jouir de cette propriété. — Soit donc la caractéristique 1, p, r avec pr=1 et p+r—=m—1. On a vu, de plus, au théorème 28 que ces conditions entraînent p°=r et r? = p. On va supposer qu’une deuxième caractéristique existe, soit donc, 1, p', r’ avec p’ r' = 1 et p'+r = m—1 et aussi p?=7r et r'2=p’. De p+r=p'+r" =m—1 on déduit (p+r)? — (p’ + r’) ? ou en effectuant : p?+2 pr + =p?+2pr+r? et comme pr=p'r'=1, p+r=p?Î+r?. Mais r°=p et r'2=p" d'où p’+p=p?+p. Ou, en supposant p>p', p?—p? +p—p'=0. Ou (p—p'}:(p +p'+1)= 0. Mais p et p’ sont inférieurs et premiers à m de même que p —p', on doit donc

avoir: p+p'+1=0 où p=—(p +1). D'autre part, de 1+p'+r —m on tire r =m—(p" +1) ou r=—(p +1) et alors p=—(p’+ 1) s’écrit p=r’ donc r’ — p. Et par suite

p'—=r. Le couple (p’, r°) est donc bien le méme-que (p,r). On peut maintenant passer au calcul de n3,m.

Théorème 30. — Avec m premier et m—3 K—1, les Nm colonnes métacycliques contiennent toutes (m — 1) colonnes cycliques différentes, sauf une seule qui n’en contient que “—. Et l’on a:

Nam = | (10)

PREUVE. En effet, d’après le théorème 27, la colonne métacyclique contenant 1 colonnes cycliques distinctes existe toujours et est unique, donc elle figure ici. D’autre part, le théorème 28 dit que chacune des n3m Colonnes métacycliques possède au moins colonnes cycliques différentes et le théorème 29 précise même qu'il y en a une seule à en contenir *. Il en résulte que les n3 Colonnes métacycliques sont toutes complètes, sauf deux au plus : celle du théorème 27 qui existe toujours et celle du théorème 29 où les mêmes colonnes cycliques figurent trois fois. Mais, d’après le théorème 13, cela n’est possible que si 1e = KN(CnteNROoU Le K ou m—3K+1. Or, ici, on est dans le cas m — 3 K — 1 et l’existence d’une telle colonne métacyclique est impossible. Ainsi, avec m premier et m—3K—1,

APN Arr

toutes les colonnes métacycliques renferment (m— 1) colonnes cycliques distinctes, sauf une qui en contient En et leur nombre

est : m—1 Ns,m =

Mais ici m est premier et le nombre des colonnes cycliques est donné par la formule (4):

Cu Ci (m—1)(m—2) (m—1) (m—2) m—1 = 6 NEC LUE nel oo. nier u N3,m 6 Théorème 31. — Avec m premier et m—3K+1, les n3m

colonnes métacycliques contiennent toutes (m — 1) colonnes cycliques différentes sauf une qui en renferme “+ et une autre qui en possède ©. De plus, leur nombre est donné par:

D 3 Ro mn n+5 (11)

PREUVE. En effet, d’après ce qui vient d’être dit dans la

démonstration du théorème 30, les n;,m Colonnes métacycliques sont {outes complètes sauf celle qui contient = colonnes cycliques et qui existe foujours et celle qui en renferme . et qui

n'existe que si m — 83 K +1. Or c’est précisément notre cas. Il ne reste donc plus qu'à montrer que si m—3K+1 cette colonne métacyclique figure toujours. Pour cela on va supposer qu'on ait m — 3 K +1 et qu’elle n’existe pas. Alors n3m est

forcément donné par la formule (10): nm — = où avec HV CS OR ER RE, Mais m, premier est en tout cas impair et pour cela K doit être pair, donc K = 2 k et T3 rm — Êe 2 =k+ - qui n’est pas un nombre entier, ce qui est impossible. Donc, dès que m —3K +1, la colonne métacyclique

contenant *— colonnes cycliques différentes existe et comme la

TEEN

seule colonne métacylique incomplète avec celle-là est celle qui m

possède + colonnes cycliques distinctes, on a:

m—1 m—1 Na as

13m — 2 À = à m—1 DIN es 0e 2 (m—1) (m2) __m—1 __ m2 D'où: Nm = 2 + —$ 2? à.

m— 1 m —2 À 1 Ou n3m = 2 + Fo

Et on vérifie bien alors que, dans ce

: 3K +6 CAS, Nm est un enfier CAT Nm =

et avec K = 2 k on à n3m = —=k+li.

Ou m+5

CoNCLUSION. — Les formules (10) et (11) donnent respectivement la valeur de n3m pour m—3 K—1etm—3 K+1 et pour m premier. Et comme m premier ne peut pas être de la forme m — 3K, la détermination de n3m avec m premier est complète.

Ce calcul de n3m met en évidence des propriétés sur les congruences que l’on va signaler.

Tout d’abord, il faut et il suffit que m premier soit tel que m=— 3 K+1 pour qu’il existe une colonne métacyclique avec m—1

—; Colonnes cycliques distinctes ; et parmi ces dernières, on

sait qu’il y en a toujours une de caractéristique 1, p, r avec pr = 1 (mod m). Et si on considère, d’une façon générale, dans cette colonne métacyclique une colonne cyclique de caractéristique h, p, r, on peut établir le :

Théorème 32. — Soit m premier et h+ p+r — m. La condilion nécessaire et suffisante pour que la congruence pr = h? (mod m) existe est que m — 3 K + 1. Et le nombre de ces triples différents

(h, p, r) jouissant de cette propriété est égal à ME

PREUVE. En effet, la substitution |x, bx| change la caractéristique h, p, r en bh, bp, br ; et cette dernière ne sera autre que h, p, r ou sa conjuguée que si :

19 bh=p, bp=r et br=h. Ou 2 bh=7r, bp=h et br = p car on ne peut pas avoir bh=h, bp = p ou br=r.

Avec le 1°, de bh = p on déduit brh = pr puisque r est premier à m et comme br =h on a : pr = h?.

Avec le 20, de bh=r on déduit bph = pr puisque p est premier à m et comme bp =h on a: pr =h?. D’autre part, on sait qu'avec h <p <r la caractéristique h, p, r, si elle se répète, figure trois fois dans sa colonne métacyclique et qu’alors m—3K+1. I ya donc 2 SU (h, p, r) différents si on

ne permute que circulairement ou — triples (h, p, r) distincts

si on ne tient pas compte de l’ordre car, avec h,p,r, figure toujours sa conjuguée r, p, h.

On va maintenant appliquer les résultats obtenus.

APPLICATIONS ET VÉRIFICATIONS. On va calculer n3m pour les nombres premiers les plus simples et écrire les colonnes métacycliques sous forme de caractéristiques. Ces dernières sont obtenues comme l'indique le Théorème 24, mais les tableaux ci-après ne renferment, dans chaque colonne métacyclique, que les caractéristiques différentes et les conjuguées ne sont pas notées non plus. De plus, chaque colonne métacyclique est désignée, outre son numéro d'ordre, par («), (8) ou (y) selon qu’elle con-

tient m—1; #7 où 7 colonnes cycliques différentes.

m — m—3K—1 d'où njm—%#t | ns = 1 | 1,1,3;1,2,2;...(1) (f) On a en effet Nas — E — 2 m — 7 m—3kK +1 d’où Nm = | N37 = 2 | PAR 2 083 001.) 0(E) MA, (2) (+ c2 On a, en effet : N3,7 — Se = — 5 colonnes cycliques distinctes. me om 3KR- 1 d'où n,— 22 er D D Do SSD 4 8265 52.0: (D PS 085 36,2% 7:31. 6,1:4:-0)- (y

En effet Nz11 — = — — 15 colonnes cycliques distinctes.

m—13 m—3kK +1 d'où n3m— 3 N313 — 3

PR Pol Re: 0, 94: 0,0, 15..(L)29 (6)

bis (0) el 0 6 om 1307: 248 (0) (e)

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En effet

Ce qui donne 22 colonnes cycliques distinctes. Cio

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3 K +1 d’où n3m

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