IV. Colonnes métacycliques du type

Ces colonnes métacycliques ne contiennent donc que des colonnes cycliques dont les caractéristiques possèdent trois intervalles différents. Et, d’après le théorème 22, on trouvera dans chacune d’elles au moins une colonne cyclique de caracté- FIStIQUERÉ,° D FIAVEC DAT p 7 LA

Théorème 28. — Avec m premier, chacune des n3,m Colonnes

, . . . m—1 . + , métacycliques contient au moins — colonnes cycliques diffé-

rentes, et elle en contient exactement = si elle possède une

colonne cyclique dont la caractéristique 1, p, r (avec p <r, p <1 et r=<1) est telle que pr = 1 (mod m).

PREUVE. Puisque m est premier, chacune des n3M Colonnes métacycliques contient donc au moins une colonne cyclique de caractéristique 1, p, r. De plus, ici, pour ne pas se placer dans le cas du théorème 27, on prendra p <r, p<1l tr =<l: ainsi 1, p, r n’est pas identique à sa conjuguée. D'autre part, d’après le théorème 11, si une colonne cyclique figure p fois dans sa colonne métacyclique, toutes les colonnes cycliques y figurent p fois. L’établissement de ce théorème à l’aide de la caractéristique 1, p, r, n’a donc rien de restrictif. Enfin, d’après le théorème 25, une colonne cyclique, différente de sa conjuguée, figurera exactement 3 fois dans sa colonne métacyclique, s’il existe uniquement 3 substitutions du groupe R = |x, bx| qui transforment sa caractéristique en elle-même ou en sa conjuguée. De ces trois substitutions, il y a évidemment l'identité et il reste à chercher les deux autres et les conditions sous lesquelles ce fait est possible. Soit donc la substitution |x, bx| avec b 1. Elle transforme la caractéristique 1, p, r en b, bp, br où les produits sont à remplacer par leurs restes (mod m). Et il faut trouver les valeurs de b autres que 1 pour lesquelles la caractéristique b, bp, br (après réduction) n’est autre que 1, p, r ou sa conjuguée r, p, 1. Pour cela, comme b -=1, on ne peut donc avoir que bp = 1 ou br = 1,°) d’où les deux cas à considérer :