DENTS AI

20 b (r+ 1) = —1. Alors (6) s'écrit, si on l’ordonne : soit 0.b.b (r+s+ 1) .(m—1) soit 0.b (r+s+ 1).b. (m—1).

A. — Soit 0.b.b(r+s+1).(m—1). Sa caractéristique sera 1,r,s,t si br et b(r+s+1)=r+s. Et, avec b=r, les congruences b (r+1) = —1 et b(r+s+1=r+Ss deviennent respectivement : rfr+1)=—1 et r(+s+1)=r+s ou rfr+s)=s.

D'où les nouvelles conditions simultanées :

fr m+1) = —1 b

@) rs

B. — Soit 0.b(r+s+1).b.{(m—1}). La caractéristique sera 1,r,s,t, si b(r+s+1)=r et b—r+s. Or, avec cette valeur de

jf

b, les 2 congruences b(r+1) =—1 et b(r+s+1)=r s’écrivent respectivement : (r+s) (r+1) = —1 et (r+s)(r+s+1)=r. Et cette dernière se transforme en (r+s)?= — s qui, avec la précé-

dente, donne : (r+s) (s—1)= —(s—1). Ou fs—1) (r+s+1)=0. Ce qui n’est pas possible car s — 1 < m, de même que r+s+1<m.

39 b(r+s+1) = 1. Alors (6) s'écrit, en l’ordonnant, 0.1.b.b (r+1) ou bien 0.1.b (r+ 1).b.

A. — Soit 0.1.b.b{(r+1). La caractéristique sera 1,r,s,t si b—r+1 et b(r+1)=r+s+1. Or, avec b —r+1, les congruences b (r+s+1) = 1 et b (+1) =r+s+1 deviennent respectivement : fr+1) (r+s+1) = 1 et (r+1)}?=r+s+1 ou (+1) —(r+1)=s ou r(r+1)=s.

D'où les conditions simultanées suivantes :

frFD=S és 9 L@+1) (+s+1) =1 b=r+1

B. — Soû 0.1.b(r+1).b. Sa caractéristique sera 1,r,s,t si b(r+1l)=r+1 et b=r ts E1 Mais, br Dre peut s’écrire : (b— 1): (r+ 1) = 0 ce qui est impossible car b—1<m et r+1<m.

DAT es

40 b (r+s+1) = — 1. Alors (8) s'écrit, ordonnée : 0.b.b (r+1).(m—1) ou bien 0.b(r+ 1).b.(m—1).

A. — Soit 0.b.b(r+1).(m—1). Sa caractéristique sera 1,r,s,t si b=r et b(r+1)=r+s qui s'écrit encore, avec b=r, r(t+1)=r+s ou r?=s. D'autre part, b(r+s+1) = —-1 devient avec b=r, r(r+s+1)=—1 ou r+rs+r= —1 qui, avec r2=5s, s'écrit : s+rs+r+1=0. Ou (r+1)(s+1) = 0. Ce qui n’est pas possible puisque r+1<m et s+1 < m.

B. — Soit 0.b (r+1).b.{(m—1}). Sa caractéristique sera 1,r,s,t si b(r+1)=r et b—r+s. Et, avec cette valeur de b, les congruences b (r+s+1) =—1 et b(r+1) =r deviennent respectivement : (r+s) (r+s+1) = — 1 et (r+s)(r+1)=r. D'où les conditions simultanées qui suivent :

| ROUTES) = Tr ve (D) D EE AD ee

99 b(r+ 1) —b = 1 ou br = 1. Alors (8), ordonnée, s'écrit : 0.b.b(r+1).b(r+s+1) ou 0.b(r+s+1).b.b(r+1).

A. — Soit 0.b.b(r+1).b{(r+s+1). Sa caractéristique sera 1,r,s,t si b(r+s+1) —b(r+1)=r et b(r+s+1) = —s. Congruences qui s’écrivent encore : bs= r et b(s+1) = —(s+1)

ou (b+1):(s+1) = 0. Congruence impossible puisque b+1<m et s+1< m.

B. — Soit 0.b(r+s+1).b.b{(r+1). Sa caractéristique sera 1,r,S,t si b(r+1)=—r et b(r+s+1)=s. Et, avec br = 1, ces 2 congruences s’écrivent : = — fr +1) et b(s+1)=s—1. Et, à leur tour, br=1 et b(s+1)=s—1 deviennent, avec Rp r(r+1)=—1 et (r+1)(s+1)=1-Ss ou r (s+1) =

D'où les rte conditions simultanées :

- 60 b—b(r+1) = 1 ou br = —1. Alors (£), ordonnée, s’écrit : 0.b(r+1).b.b(r+s+1) ou 0.b(r+s+1).b(r+1):b.

A Soit 0.b (rE1).b.b(r+s+1). Sa caractéristique sera 1,r,s,t si b(r+s+1)—b=r et b(r+s+1)=—s. Congruences qui s’écrivent encore : b(r+s)=r et b(r+s)+b=—s Où r+Db— s où b——/fr+5s). Et, avec cette valeur de b, les congruences br=—1 et b(r+s)=r deviennent à leur tour : DE) == LEL (nr ES) == Tr:

HT) = PAU Ür(s+1=—2s | Pr ie

NEQUEs

D'où les conditions simultanées suivantes :

T'ES) —=1 ru Le (6) es Mrs)

B. — Soit 0.b (r+s+ 1).b(r+1).b. Sa caractéristique sera 1,r,5,t si b=—r et b(r+s+1)—=s. Mais cette dernière congruence devient, à cause de b=—7r, r (Tr+s+ 1) = —s ou r{r+s)=—(r+s) ou fr+s):(r+1)= 0. Ce qui est

impossible avec r+s<m et r+1< m.

70 b(r+s+1) —b=1 ou b (r+s) = 1. Alors (8), ordonnée, s'écrit : 0.b.b (r+s+1).b(r+1) ou 0.b (r+1).b.b (r+s+1).

À. — Soit 0.b.b(r+s+1).b(r+1). Sa caractéristique sera 1,r,s,t si b (+1) —b(r+s+1)=r et b (r+1) = —s. Or, avec b(r+s) = 1 et b(r+1) = —s, la congruence b(r+1) —b(r+s+1)=r devient : —s—-1-b=r ou b=—/(r+s+1). D'autre part, b(r+1)—b(r+s+1)=r s'écrit bs=—r. Et cette dernière congruence, ainsi que b(r+s)= 1, s’écrivent, avec b=—(r+s+1), sfr+s+1)=r et (r+s)-(r+s+1)=—1.

D'où les conditions simultanées suivantes :

sS(r+s+1)=r "re (7) Se Be RRTNe GE B. — Soit 0.b(r+1).b.b{(r+s+1). Sa caractéristique sera 1,r,Ss,t si b (T+s+1) = r et b(r+1)=s. Or, avec b (r+s)=1, b(r+s+1) = —r devient: b=—(r+1). Et, avec cette valeur de b, les congruences b (r+s)= 1 et b(r+1)=s s’écrivent : (r+1)-(r+s)=—1 et +1} =—s. Et, en

retranchant membre à membre ces deux dernières congruences, il vient : (+1): (s—1)=s—1 ou r (s —1) = 0; ce qui est impossible car r < m et s—1 < m.

80 b—b(r+s+1) =1 ou b(r+s) = —1. Alors (8), ordonnée, s'écrit : 0.b(r+s+1).b.b(r+1) ou 0.b(r+1).b(r+s+1).b.

A. — Soit 0.b(r+s+1).b.b(r+1). Sa caractéristique sera 1,r,s,t si b(r+1)—b=r et b(r+1)=—5s. Mais b(r+1)—b=r s'écrit br =r ou r (b—1)=0. Congruence impossible puisque r < m et b—1 < m.

B.— Soit 0.b.(r+1).b(r+s+1).b. Sa caractéristique sera 1,r,s,t si b=—r et b(r+1)=s. Et, avec b = —r, les congruences b (r+1)=s et b (rs) = =" Itdeviennent rr = x et r.(r+s) = 1.

REC D'où les nouvelles conditions simultanées :

Tr T+1)=—Ss r (r+s)=l 90 b(r+s +1) —b(r+1) =1 ou bs = 1. Alors (8), ordonnée, s’écrit : O0.b.b(r+1).b(r+s+1) ou 0.b(r+1).b(r+s+1).b. A. — Soit 0.b.b(r+1).b(r+s+1). Sa caractéristique

sera 1,r,s,t si b(r+s+1) = —r et b —s. Et, avec cette dernière valeur de b, les congruences bs = 1 et b(r+s+1)=—7r deviennent : $=1 et s(r+s+1)=—7r ou sr+s+s+r= 0

ou avec $ = 1, rs+r+s+1=0 ou r(s+1)+s+1—=0 ou (r+ 1) (s+ 1) = 0. Congruence impossible avec r+1<m et SL 1 < m.

B. — Soit 0.b(r+1).b(r+s+1).b. Sa caractéristique sera 1,r,s,t si b—b(r+s+1)=r et b=—s. Et, avec cette valeur de b, les deux autres congruences bs= 1 et b—b (r+s+1)=r,

qui est —b(r+s)=r, deviennent alors : s°= — 1 et s(r+s)=r. D'où les conditions simultanées :

ee] b—=m—s

Toutefois, ces conditions ne sont satisfaites que si s = J OU —1. "Or. icr la caractéristique L'r.5, test telletque:r -<F. et s-<1; ces conditions ne sont donc pas acceptables.

En effet, comme 1+r+s+t—m, on a: s=—(r+t+1).

Et, avec cette valeur de s, les 2 congruences ci-dessus s’écrivent : HP D GEI)ET

Mt =" ou en simplifiant :

C+rt+2t=—|1l t+2rt+2t+r+2r+1=—1 ou en transformant cette deuxième, compte tenu de la première : PA en, +rt+2r = — 1 ou en retranchant membre à membre ces deux congruences : t—r2+2 (t—r) =0 ou ft—r) (t+r+2)=0.

Et cette congruence est impossible avec r £t et sÆ1, c'est-à-dire s > 1; avec s = 1, ttr+2—m, mais, dès que SL tr +2 << m:

Cut

10° b(r+1) —b(r+s+1)=1 ou bs= —1. Alors (8), ordonnée, s'écrit 0. b.b(r+s+1).b(r+1) ou 0.b(r+s+1)-b(r+1).b.

A. — Soit 0.b.b (r+s+1).b (r+1). Sa caractéristique

sera 1,r,s,t si b(r+1)=—r et b —s. Et, avec cette valeur de b, les deux congruences bs = — 1 et b(r+1) = —r s’écrivent : s=—1 ets (r+1)=—r.

D'où les conditions simultanées :

s? = — 1 DES

Mais, ici encore, les deux congruences ne sont satisfaites que pour r —t; et, comme dans notre cas on a r-<t, ces conditions sont inacceptables. En effet, en remarquant que s=—(r+t+1) ces deux congruences deviennent :

ARE œm+l)=r (+t+1}=—1

HR EE +2 rt+2rt + 2t+ 1 = —|1

Ou, en modifiant la deuxième congruence, compte-tenu de la première :

CR Re = — | (ORNE RENE 34!

D'où par différence membre à membre :

r2—{t2—=0 ou(r+t):(r—t) =0 congruence impossible puisque r+t<m et r—t<m; et que, d'autre part, ici r <t.

B. — Soit 0.b(r+s+1).b(r+1).b. Sa caractéristique sera 1,r,s,t si b—b(r+1)=r et b=—s. Mais b-b(r+1)=r s'écrit br=r ou r {(b+1)—=0. Ce qui est impossible puisque r < m et b+ 1 < m.

Il résulte de cette étude qu’une colonne cyclique de caractéristique 1,r,s,t figurera 2 fois dans sa colonne métacyclique si r et s satisfont l’un quelconque et un seul de ces 8 systèmes de

congruences de Gi) à (8): la colonne cyclique de caractéristique

1,r,s,t sera en effet transformée en elle-même par la substitution |x, bx| pour b — 1 et le b correspondant au système de congruences satisfait. De même, une telle colonne cyclique figurera 3 fois

si deux et deux seuls des systèmes de à sont satisfaits :

et elle sera transformée 3 fois en elle-même par | x, bx | avec b — 1 et les deux b correspondant aux 2 systèmes de congruences