III. Colonnes métacycliques du type

Ces colonnes métacycliques, par définition, ne contiennent jamais des colonnes cycliques conjuguées à elles-mêmes. Aucune de ces colonnes cycliques ne pourra donc avoir une caractéristique de la forme 1, p, 1, q. Par contre, d’après le théorème 22, puisque m est premier, chacune de ces colonnes métacycliques du type 2, possèdera une colonne cyclique, au moins, de caractéristique 1, r,s,t avec r£t et S>£1; c’est-à-dire une caractéristique avec deux intervalles non consécutifs toujours différents qui ne sera jamais identique à sa conjuguée. C’est avec une telle colonne cyclique de caractéristique 1, r, s, t que l’on va maintenant opérer pour trouver toutes les colonnes métacycliques du type 2 qui sont incomplètes. En effet, l’une de ces dernières sera obtenue

ee LaANDAU : Vorlesungen über Zahlentheorie, Erster Band, Satz 80.

MOT EES

chaque fois qu’une ou plusieurs substitutions | x, bx| transformera une colonne cyclique de caractéristique 1, r, s, t en elle-même. Et le problème revient à chercher les nombres b de ces substitutions pour lesquels ce fait se produit.

Soit donc 1, r, S, t avec r <tet s -<1 la caractéristique d’une colonne cyclique choisie dans une colonne métacyclique arbitraire du type 2. Cette colonne cyclique contient en particulier la combinaison 0.1. (r+1).(r+s+1) (a) dont la caractéristique est 1,r,s, m—(r+s+1), c’est-à-dire 1, r, s, t car 1+r+s+t— m. Et la substitution |x, bx| change cette combinaison en : 0.b.b. (r+1).b (r+s+ 1) (B) qui appartient, comme on le sait, à une colonne cyclique de la même colonne métacyclique. Mais à quelles conditions la colonne cyclique de (B) est-elle la même que celle de (a) ? Tout simplement si la caractéristique de (6) n’est autre que 1, r, s,t. Et, pour cela, il faut tout d’abord que cette caractéristique possède un intervalle égal à 1. Or, comme b — 1 est une solution évidente et que b >< m— 1 il reste les dix possibilités suivantes :

99 b(r+s+1)—b(r+1)=1 100 b(r+1)—b(r+s+1)=1 On va alors envisager séparément chacun de ces dix cas.

1° b (r+ 1) = 1. Alors (6) s'écrit, ordonnée, 0. 1. b. b. +s + 1) ou bien 0. 1.b (r+s+ 1).b selon que b (r+s+ 1) ou son reste (mod m) est supérieur ou inférieur à b.

A. — Soit 0.1.b.b (r+s+1). Sa caractéristique sera 1,r,s,t si b—1—r et b(r+s+1)—b=s. Ou b=r+l et b(r+s)=s et, avec b —r+1, cette dernière congruence devient : (r+1)-(r+s)=s ou r+rs+r=0 our(r+s+1)=0; ce qui est impossible car r et r+s+ 1 sont inférieurs à m donc premiers à m qui est lui-même premier.

B. — Soit 0.1. b (r+s+1).b. Sa caractéristique sera PT SACS D (TS. 1) 1=7r et b—b(r+s+1)=s ou b(r+s+1) =r+1 et b (r+s) = —s. Or, avec cette dernière congruence, la précédente s’écrit : —s+b=r+1. Ou

B=r+st2I ou b—r+s+1 car rEs+1<m. Ainsi, on tient l’une des valeurs de b cherchées, mais il faut, de plus, que les deux congruences b (r+1)=1 et b(r+s+1)=r+1 soient satisfaites simultanément. Et ces dernières, avec b=r+s+1, s’'écrivent (r+1) (r+s+1)=1 et br+1)+bs=r+ 1 ou

HÉGreS

1+bs = r+1 ou bs=r ou sfr+s+1)=r. Ainsi, une colonne cyclique de caractéristique 1, r, s, t sera transformée en elle-même par la substitution | x, bx | si, en particulier, les conditions suivantes sont remplies simultanément :