L., AA r2+2ar+b=o

| Ta

ce qui donne Paludtà OR

Ve Ka PAT PERS L

mat Vi r=—a—

Pour détérminer les constantes A et B, on a

FSn DEMAIN RASE

nai era d'où LHRSATA .FSngq

era 173) Èmr?

En substituant ces valeurs, on trouve

FPS , DIS mot TS Fe 2 es

Qu TEL TS LAON ex}, ALU!

A FSnq Re CHERE TS LU r era) 1

Pour cine l'angle 5 correspondant à q, il suffit de faire — hu LA 0; dou

Ai ne 6 ES . rie! —roe i 4 ! or 2 i RS ’ HO RAT CR équation dans laquelle DS + PRESS £ | ; ga \ x rÉ d % + x 1 ] ñ ARS rÉ LS : r CS: W Trio te &2 : » > Tire On a ainsi SAUT" 14e HpE 4 . , PTT te BU L VIDER on Le £ 14 tira

oi — re) Èmr?

Ces deux dernières équations «contiennent la solution du problème cherché. Ces équations, compliquées comme on le voit, contiennent la à résistance totale R, qui entre dans a et par suite dans r, et Ta mais ces relations ne ressortent pas au premier abord. Ona v=

ue F2 S2 n2 Jen mé a? Dm 2712 RDmre — 2 ce 12, Le

2 es TE VE Èmrè T \ , F ri=—a+Va—b pr, =—a— Fe me RE Se PE

he + fs : à A à Il faut does T;tÈm r* pour pouvoir calculer la solution

complète ; le termeF Sn S ’élimine. È:

On a, en effeï

FSr= À Tom

d’où mr? œ I rit rot (Re #2) I 7 t— log nép — ETESTS 5 2 P ri

On voit que, tant que R reste invariable, à est proportionnel à g (à étant toujours petit) : il suffit donc de connaître le facteur de proportionnalité pour chaque valeur de R, si on veut avoir la solution complète du problème qui nous occupe.

Nous allons traiter maintenant le cas où les racines de l’équation caractéristique sont égales. Ce cas est particulièrement intéressant pour les applications, car on trouve des solutions très simples et des calculs faciles à effectuer. La valeur de la résistance totale qui correspond à ce cas limite se trouve d’après la relation

Dans ce cas on a à résoudre l’équation différentielle

, d?6 1 dé su 4 , Dmrster Sn 0 OU HIS Er ou d?8 SH.

d0 HT. Pur Je +247 t00=0 CARS TA

dans laquelle a — b.

Dans le cas d’une impulsion produite par le passage d’une quantité d'électricité g, il faut prendre les équations sans second membre et on a comme précédemment les conditions initiales :

; 6 CON ee SR CUVE RS TU

On en déduit Lg FSn: es 41 —Smr1

Pour trouver l’angle d’impulsion, il faut d’abord faire — —o, ce qui

dt donne :

1—at=0o Lo — a et, comme ET es = T ES T ur SA Et Sn e

Comme on a d’ailleurs,

1 s’en suit :

Tr Li vetr tige gr FE dr de "a Mess it à #5 A:

ne en #44 Eu, phausl x debit di FT CARS Cette dernière D n est très remarquable : nous lemploie: . bientôt pour la détermination du coefficient de self-induction. HES AUD En L'ensemble de ces Pt es relatives au se 2

être vérifiées par es Le on peut se OPUS OT rà à de reconnaître comment le Rene logarithmique dépend de la rés tance extérieure. Ona 2

TMEMIOR Fes ht RAIN T5 2 RS SC NS — I l'he mr É mÿ a? Emrè F au ie

Dans cette formule, R est %e résistance Ne du circuit et T la durée

4 d’une oscillation ‘simple à à cadre ouvert. + É HP F Nous résumons ici dans un tableau les formules relatives à l'angle Et

d’impulsion due au passage dune quantité d'électricité g.

FSn

x Smnr1

circuit ouvert sans amortissement

lartg® Se ru À Se M My nn Sr e q racines imaginaires : CR

Dans ces formules, on a

ce F2S2n? 1 mi «2? m2 Ê CARPE EU EU T2 OUR:

T T b— = — Xmr? T r = — a + Var — 56 ro =—a = Va? —b?

Lorsque, dans les formules précédentes, on fait décroître R depuis linfini jusqu’à sa valeur limite, qui est celle de la résistance du galvanomètre, on voit que, pour la même valeur de g, à décroit jusqu’à une certaine valeur limite. Dès qu’on connaît les constantes du galvanomètre,

on peut effectuer le calcul dans chaque cas. Ces constantes sont au nombre de trois :

1° La durée T d’une oscillation simple à cadre ouvert; œ N : Crete

2° La constante du galvanomètre -, c’est-à-dire la déviation conî

stante « évaluée en valeur circulaire, produite par un courant d’intensité 1. Ordinairement on prend

1 1 micro-ampère = 10 —6 amp. = 10 —7 Unités C. G.S.

3° Le moment d’inertie Zmr? du cadre mobile.

Influence du coefficient de self-induction du cadre mobile.

Nous avons trouvé les deux équations simultanées :

di ; do s LT +FRi+FSn7=0 OUR ES

Dans les cas qui nous occupent, où l’on cherche l’angle d’impulsion dû à une décharge électrique, on a E—o.

En éliminant l'intensité i entre ces deux équations, on trouve l’équation

du 3° degré :

Lip, el , F?S2n 40. Re PET Dmr2 Dmr? ) dt Xmr°

A circuit ouvert, le coefficien ide self-induction L est nul : on a, dans ce cas,

T, durée d’une oscillation simple à circuit ouvert. La déviation constante « est toujours reliée de la même façon aux autres

facteurs, etona

œ 9 - = 2mr?

En substituant ces valeurs dans l’équation précédente, on a :

d30 d2( me Tia é dû m nr

Comme tous les facteurs qui interviennent dans cette équation sont connus, on peut trouver la solution dans chaque cas particulier. Dans notre cas, les constantes doivent être déterminées d’après les conditions initiales :

(a FSn T? &. æ 0 Le ONE 0 |

dt Em 1T 201 dt?

Pour trouver l’impulsion à correspondant au passage ; d’une quantité

ne , é 40-16 d'électricité g, il faudrait chercher le temps # pour lequel de —=0 ét subs-

tituer cette valeur de t dans l’équation qui donne 0. Ainsi, sir,, ra etra sont les racines de l’équation caractéristique

2 4 TH nou

Lrë LRr? + [L ntm

a2 Ve ri Some) +R Ti=° on aura

0=C;erit + Cserit + Cserst

dtf , = Ci ri erit + Co roerit + Cara erst

= Cirierit+ Cri erit + Cr? erst Pour déterminer les constantes, on a :

0 = Ci + Co + C:

-q=Cir + Cor + Core 0= Cri + Co ri + Cari Pour trouver l'impulsion à on aurait :

Ô — C: erit + Co erst + Caerat avec 0 = Cirierit + Co roerit + C3 raerst

Ces équations sont trop compliquées pour pouvoit étre employées

dans la pratique. La deuxième surtout contient l’inconnue t sous une

forme transcendante et qui ne se prête à aucune solution générale.

Nous ne nous occuperons donc pas du cas général, mais nous supposerons que le coefficient de self-induction L soit très petit, et nous ana= lyserons spécialement ce qui arrive lorsque deux racines sont égales.

Supposons donc que l'équation différentielle se réduise à la suivante

d20 ( Tr? rt œ? +) dû T2

R'ISTTE R Jartqt-s

et cherchons quelle est la condition pour que les deux racines soient égales.

On a, pour cela, la condition :

(F L'REà PL Re) T4

RÉTETANETER T4 d’où I T° ao? 1 — DS "2 == R = TS se Dm 3 TE

Ur, nous avons vu qu’en négligeant le coefficient de self-induction L, on avait lorsque les racines étaient égales,

On voit donc que l'induction du cadre sur lui-même, augmente cette valeur de R de la quantité

Les expériences vérifient cette formule, en ce sens que la valeur de R,

donnée par l’expérience est ordinairement supérieure à la valeur calculée d’après la formule :

Pour les galvanomètres que nous avons examinés, la valeur de L est trop petite, pour que l'influence sur R soit sensible, d'autant plus qu’il est difficile de déterminer cette valeur de R avec une grande approximation. En tout cas la faible valeur de L montre qu’on est autorisé à négliger ce terme et à employer léquation du second degré.

Vérifications expérimentales des formules précédentes.

Nous avons employé à cet effet deux galvanomètres Deprez-d’Arsonval de différents modèles. L'un de ces galvanomètres était construit avec des électro-aimants. Ce dernier galvanomètre, à la construction duquel M. Carpentier a apporté une extrême obligeance, permet de vérifier les formules dans une étendue bien plus vaste, car on peut faire varier à volonté, l'intensité du champ magnétique.

Les quantités qui interviennent dans les formules précédentes sont :

1° La durée d'une oscillation simple :

Cette durée se détermine avec une grande exactitude. Avec un compteur à pointage, on compte 50 oscillations. Les expériences montrent que le

résultat est exact à une fraction de seconde près, et que l’erreur relative ne dépasse pas un centième. Il faudrait avoir égard à l'amortissement, car la durée T qui intervient dans les formules, se rapporte au cas où il n'y a pas d'amortissement. |

Ce qu’on observe, en réalité, à cadre ouvert est la durée T'lorsqu’il a un faible amortissement dû à la résistance de l’air. Si À est le décrément logorithmique, on a la relation:

Dans une série d’expériences, on a trouvé que pour 10 oscillations, l'élongation diminue de 8,4 à 6,6, ce qui donne pour le décrément logorithmique

I , 8.4 —— ]0g nép—— 0.02 L 10 BP 66 # .

On voit donc que cette correction n’a aucune influence sensible sur la valeur de T, et il est inutile de s’en occuper. 2° La deuxième constante qu’il faut déterminer est la constante du gal-

vanomètre, 5: Cette déteftermination se fait à la manière ordinaire avec

une grande approximation; il suffit de disposer d’une bonne boîte de résistances et d’une pile dont on connait bien la force électro-motrice. A cet effet, nous avons pris un élément Daniell, dont la force électro-motrice avait été déterminée directement par comparaison à un élément Latimer Clark. Il faut, pour avoir « en mesure circulaire, diviser la déviation obtenue par le double de la distance de l’échelle au miroir mobile. Pour les galvanomètres que nous avons employés, cette constante était d’environ 2 millimètres pour un micro-ampère, l'échelle étant placée à une distance de 940 millimètres.

On a, dans ces conditions :

RU Eee EM >< 040

3° Le moment d'inertie du cadre mobile. C’est l’élément dont la détermination offre le plus de difficulté. La méthode que nous avons employée est la méthode de Gauss. Elle consiste à ajouter au corps dont on cherche le moment d'inertie, d'autres solides dont le moment d’inertie soit bien connu.

Nous avons choisi des anneaux cylindriques, parce que ce sont les corps dont le moment d’inertie, à poids égal, est maximum. Nous avons d’ailleurs vérifié directement, par l’expérience, que le moment du couple de torsion est indépendant du poids suspendu au cadre, conformément à la loi de Coulomb.

Voici les nombres qu’on a trouvés pour le galvanomètre Deprez d’Ar-

sonval à aimants d'acier, galvanomètre dont la résistance était de 222,02 ohms à 16 degrés.

Pour déterminer la durée d’une oscillation simple, on a observé plusieurs séries concordantes ; la moyenne a fourni le nombre T — 0,385 avec une erreur relative ne dépassant pas 1 0/0.

On a trouvé d’ailleurs que, pour de grandes amplitudes, la durée est un peu plus longue que pour des amplitudes très petites. Ainsi, pour de grandes amplitudes, on a trouvé 0,388 et pour de petites 0‘,382.

La constante du galvanomètre a été trouvée 1,93 m.m. pour un courant d’une intensité d’un micro-ampère, l'échelle étant placée à 940 millimètres.

Pour déterminer le moment d'inertie, on a fait osciller le cadre avec quatre anneaux additionnels. Le tableau suivant donne les dimensions des anneaux et les durées d’oscillations : la dernière colonne, contenant le moment d’inertie du cadre, a été calculé d’après la formule

r I Emr?=MR

dans laquelle T — 0°,385.

DURÉE RAYON SEE d'une MOMENT moyen se. .

ANNEAU M a : Æ oscillation d'inertie R simple du cadre T' Not 38r 772 1 362 05 419 11 94 C.GS.

N° 2 4 900 1 370 o 425 MODE N°3 8 450 1 304 Oo 448 TIÉ O2) N°5 9 254 1 302 o 518 SO M)

On voit que les valeurs trouvées pour le moment d'inertie du cadre ne sont pas tout à fait concordantes; cependant l'erreur relative de la moyenne ne dépasse guère 1/50. Cette valeur moyenne est

DATENT CAC ESS C’est cette valeur que nous adopterons dans les calculs suivants.

En calculant, avec les valeurs ainsi trouvées, la valcur de R, d’après

la formule

Of] tTOUVE R—=336 < 10% CG. S: —= 536.9 ohms

Or, la résistance du galvanomètre est de 222 ohms, il reste donc, pour la résistance extérieure 115 ohms. L’expérience a montré qu'avec une résistance extérieure de 120 ohms, l’image dépassait légèrement le zéro,