PA

dQ ER Ge =E

CPP

40 "ds do #

de

er T0 —

- On a donc à résoudre le système d’équations différentielles simultanées : .

2 S2 —mt + à F2S2n +rô= FS ni

SFr

ÉRR i+FSn

L’élimination de i entre ces équations coraiit à une équation linéaire

du 3° degré.

Comme la valeur numérique du coefficient L est très petite, on peut, comme première approximation, négliger ce terme et conserver l'équation

du second degré.

Nous avons donc à considérer l'équation

da? ; Ynrte F2 S2 ne 2 +50 = FSni Ad

dans laquelle

Examinons d’abord le cas où l’on abandonne le cadre à lui-même, c’està-dire où

On a, dans ce cas

era 204 30 = 0

en posant RM reel I RImr Emr°

Cette équation a ceci de particulier, que la réalité des racines dépend de

la valeur de la résistance totale R; on peut, à volonté, en faisant varier

la résistance extérieure, rendre les racines de l’équation caractéristique

imaginaires ou réelles.

Occupons-nous d’abord du cas où les racines sont imaginaires. On a,

dans ce cas, les solutions bien connues :

6=(Mcos Vé—4t+ Nsin Vé—œt)e

On détermine les constantes M et N de telle sorte que pour = 0, on a 0—=0,et 29e o. Cela veut dire que, si l’on écarte le cadre d’un angle 8, dt

et qu’on l’abandonne à lui-même, sans vitesse initiale, on a :

— at

5 = 0, (cs VE —aîit+ sin Vo? — a? ) e

at 2 VE — Po)

2 — at a JP EE et: Ver at dt VB5 — a?

De ces équations on déduit que les oscillations sont isochrones et qu’il yaun rapport constant entre deux valeurs successives de 0. Il suffit, d’ailleurs, d'observer la durée d’une oscillation simple T et le décrément

logarithmique À — log. nép. = pour déduire a et b d’après les formules

As DÉS ESE 4ù ie E ie —

= Ve + 2

Si le circuit du cadre était ouvert, on aurait R—% eta—o, l’influence de Pair étant négligée. Pour évaluer cette influence, nous allons examiner si on a réellement a—o lorsque R— o, c’est-à-dire nous allons déterminer les valeurs de a et de b à circuit couvert.

Le galvanomètre que nous avons employé nous a donné les valeurs suivantes :

M—0°,40 — = 1,009 À= l0g. nép.— —0,0090 1 1 donc on a a=T = 0,029 On en déduit b= 7,9

Cette influence de l’air est donc complétement négligeable. En eftet dans les conditions où nous allons employer le galvanomètre, les racines étant égales ou réelles, et par suite b— 7,0, il en résulte que, devant ces valeurs, 0,023 est une quantité négligeable.

Nous allons maintenant chercher, dans le cas où les racines sont imaginaires, quel est l’angle de déviation permanente « qu’éprouve le cadre sous l’infuence d’un courant constant d'intensité à, et quelle est l’impulsion à sous l'influence du passage d’une quantité d'électricité g.

Dans le premier cas, courant constant, le second membre est

ESA, Emri°

RENE = O € Arte

On trouve, pour la déviation constante, l’expression

et on a pour f—0

RES î

En outre, comme, à cadre ouvert, on a

T mr?

Dmr? ‘T?

il vient -

124 Ut Il est à à remarquer que cette expression ne dépe

Æ do | nn elle est indépendante de la résistance tot le l'amortissement. Le %

Pour chercher l'impulsion ë correspondant à une tricité g, on aura à résoudre l'équation différentielle sans avec les conditions initiales : sa

Dans ces conditions, en supposant 4—0, on a

FSn ‘ er © 9: RATÉ Cr :

VrEmri :

ge, ÿ

En éliminant

= HR Emr ; PPT

il vient

si FSn Et rm Es : hate D 1EUC,

Ére

* Dans le cas général, le coefficient du second terme € de l'équation de érentielle n’est pas nul, etona PSV RE nuit a

"0 D A DR ne dat 0 | Von ? | Re PS RENE ES « Re

> | T est la durée d’une oscillation simple, et, on a la relation

mr, T- . ici =” En ee < RU On déduit des formules précédentes LC SN RAGE os Zartg® , È “S ee se À 1e Œ À Fo 2 VAS : ca T Ft Ron $ LUS} Le At 51.

Nous allons nous occuper maintenant du cas où les” racines de Pé quation caractéristique sont réelles. Ce cas est caractérisé Es da AE

DD. - tion | il Fo Le a>t

726 eE : à .

#. Pour le cas limite, racines égales, on aurait

de a

Fa Or, | #04 ) 2 en ; EF? S378 pe Dim re eniTe

je 7 2RDmr2 M 7 TENTE

T étant ici la durée d’une oscillation simple à cadre ouvert. On en déduit, pour le cas limite des racines égales, la relation

Pour vérifier cette formule expérimentalement, il faut observer la nature du mouvemeut: tant que les racines sont imaginaires, le mouvement est oscillatoire, mais, aussitôt que les racines deviennent réelles, le mouvement est tout à fait apériodique. On peut aisément suivre ces transformations en faisant varier la résistance du circuit extérieur.

Les deux facteurs Ty ©t ; se déterminent sans peine et avec une grande

exactitude. Il n’en est pas ainsi pour le moment d’inertie Emr? du cadre mobile.

Le plus simple est de faire osciller le cadre à circuit ouvert après Paddition d’une masse de cuivre dont or connaît bien la forme géométrique. Nous donnerons, à la suite, la vérification expérimentale de cette formule. |

Lorsque les racines de l’équation caractéristique sont réelles, on a

DETRESE Ê Fa Sen? À + +00 ous —HSn1

AB R ou bien æ0 dés, FSn.

RL TUE A CREER rt avec a > b.

Ce qu’il nous intéresse de rechercher dans ce cas, c’est encore la déviation permanente «, produite par un courant constant d’intensité 2, et l’impulsion 3, due au passage d’une quantité d'électricité g.

L’intensité est toujours reliée à la déviation permanente par la formule