SUR LA
DÉTERMINATION GÉOBIÊTRIQUE
De la troisième courbure.
Considérons une courbe à double courbure S, et soit 1 l'arête de rebroussement de sa surface polaire. Désignons par troisième courbure de la courbe S la limite du rapport de l'angle sous lequel se coupent deux sphères osculatrices infiniment voisines à l'arc de courbe correspondant. Nous
désignerons cette troisième courbure par t-- Soient
a l'arc de la courbe 1 ;
p, et r, ses rayons de première et de deuxième courbure ;
p et r ceux de la courbe S;
R le rayon de la sphère osculairice à S.
Soient, en outre [Jig. i),
A un point de la courbe S ; C le point correspondant de la courbe 2; C un deuxième point de la même courbe infiniment voisin de C.
L'arc ce est, comme l'on sait, tangent à l'axe CO du plan osculateur en A. Le point A est à une dislance infiniment petite de l'intersection des deux sphères oscula-
GÉOMÉTUIE.
trices dont les centres sont en C et C: il est, en effet, sur la sphère C et à une distance infiniment petite du quatrième ordre de la sphère C. Par suite, l'angle C'AC est égal à l'angle dri sous lequel se coupent les deux sphères C et C
De plus, si nous abaissons Cl) perpendiculairement sur C'A, nous aurons
CD zzzf/R et CD = Rf/y].
Posons C0 = /; comme OA = p, nous aurons dl\ R
cosACO /
dn =
Cl) pda pdB. ^
R ~ R= ~ RZ '
on lire de là, pour l'expression de la troisième courbure, /■/) p da __ p dR
dS R'dS R/f/S
Hayon de la sphère osculatrice. — Première méthode.
Soit [fig. i) 0' le centre de courbure correspondant au point M infiniment voisin de A ; nous aurons
dl = da — proj . ( 00' su r OC ) ;
GÉOMÉTRIE. il 5
mais, OC étant perpendiculaire au plan osculaleur en A et les plans osculaieurs infiniment voisins en A et M se coupant suivant la tangente, on a
proj.(00' sur OC) = p — »
et par suite
mais, d'autre part, on a d'où
mais, à cause de l'équation (i),
I{dR = Ida; donc
fda = Idl + ^ rfS = Idl + pdp,
et par suite donc, enfin,
Relations entre les courbures de la courbe proposée et de l'arête de rebroussement de sa surface polaire.
Les axes des plans osculateurs étant les génératrices de la surface polaire, on a (3) ^i^^l^
De plus, les axes des plans osculateurs de 1 étant perpen-
diculaires aux plans normaux à S (qui sont ies plans oscu-
lateurs de 1), on a
- , , da dS
On en déduit d'abord la relation connue
(5) pp, = r/-,
et
da '' = ^dS
j ,> ' . , . da R= ou, comme en vertu de 1 équation ( 2 ) -t-t = -r- 5
ah pA
Celle dernière relation donne le théorème suivant :
Théorème. — Le produit du rayon de troisième courbure d'une courbe par le rayon de deuxième courbure de Varête de rebroussement de la surface polaire est égal au carré du rayon de la sphère osculatrice de la courbe proposée.
Jongle de la tangente avec le plan osculateur infiniment voisin.
Considérons une courbe à double courbure AM el son indicatrice sphérique am. La tangente en M fait avec le plan osculateur en A un angle égal à la distance du point m au grand cercle tangent en «, c'est-à-dire, d'après une propriété connue des courbes sphériques, à
r 2 ' v/8/ r Q. pr
dO désignant l'angle de contingence; l'angle cherché esi
GÉOMÉTUIE. 417
donc égal, en désignant l'arc infiniment petit par s, a
vtpr
Distance d'un point au plan oseulateur infiniment voisin. — Première méthode.
La distance d'un point au plan oseulateur infiniment voisin sera égale à la somme des projections des divers éléments de l'arc AM sur la perpendiculaire au plan oseulateur. Nous aurons donc pour cette distance MP, en négligeant une portion infiniment petite de ce que nous conservons, et nous servant de la valeur précédemment trouvée pour l'angle de la tangente avec le plan oseulateur,
MP= —ds ou MP
Jo 2p/-
6pr
C'est la valeur connue.
Plus courte distance de deux tangentes infiniment voisines. — Première méthode.
On peut trouver la plus courte distance de deux tangentes infiniment voisines par un procédé semblable à celui que nous avons employé dans le problème précédent. Cette plus courte dislance est, en effet, égale à la somme des projections des éléments de l'arc AM sur la perpendiculaire au plan mené par la tangente en A parallèlement à la tangente eu M.
Soient (/^. 2)
acm l'indicatrice de l'arc AM;
ap le grand cercle tangent en a:
am le grand cercle qui joint les points a et m.
L'angle pani est, comme l'on sait, égal à la moitié de
418 (iSUMÉTlilE.
l'angle des plans osculaleurs en A et M, soit, en désignant
l'arc AM par S, égal à — • Si nous considérons un point intermédiaire c sur l'arc acm, et si nous menons cd perpendicu-
laire sur ap, nous aurons, puisque am et ap sont des arcs de grand cercle,
ou, si nous posons AC = 5 (C étant le point de la courbe proposée qui correspond au point c de l'indicatrice),
fd= —'-■■,
mais on a, d'autre part, d'après ce que nous avons vu,
■xor par suite
et la plus courte dislance des deux tangentes sera égale à 2p'Vo 2pr\2 3/
ou enfin
on retrouve ainsi l'expression connue.
GÉOMÉTRIE. il9
Distance d'un point à la sphère osculatrice infiniment voisine. — Première méthode.
Soient
AM un arc infiniment petit de la courbe considérée; C le centre de la sphère osculatrice en A; C le centre de la sphère osculatrice en M.
Joignons le point C au point M ; le plan passant par CM et la tangente en M est perpendiculaire au plan normal en M.
Cherchons à évaluer l'angle de la tangente en M avec la perpendiculaire à CM dans le plan CMÏ. Cet angle est égal à l'angle de CM avec le plan normal en M, c'est-à-dire à la distance du point C au pian normal en M, qui n'est autre que le plan osculateur en C, divisée par le rayon R de la sphère osculatrice. Par suite, si nous désignons l'arc CC par dttj nous aurons pour la valeur de cet angle
{day .
mais, si nous désignons l'arc de la courbe proposée correspondant à da par s, les relations (3), (4), (5) et (6) donneront pour la valeur de cet angle
{daY 1 idaYn /', i ^s' R
6p,/', H 6 \ r, y p, R G p'r'/. p Gprl''
mais la différence entre CM et CA, c'esl-à-dire la distance du point M à la sphère osculatrice en A, est égale à la somme des produits de chaque élément de l'arc AM multiplié par l'angle de cet élément avec le plan perpendiculaire au rayon qui passe par ce point, c'esl-à-dire par l'angle que nous venons d'évaluer.
On a donc, pour celle dislance MQ,
p ,L bp;7.
p ^prV
donc
,,^. R S* MQ= — -.
p 24 pr?>
Uemarquons que la projection de MQ sur le plan osculaleur sera égale à
La valeur trouvée pour la distance d'un point à la sphère osculatrice infinimenl voisine nous montre que :
La distance d'un point d'une courbe à double courbure ù la sphère osculatrice infiniment voisine est toujours du quatrième ordre, à moins que la courbe ne soit tracée sur une sphère, auquel cas elle est rigoureusement nulle.
En effet, pour que MQ fût d'ordre supérieur au quatrième, il faudrait que l'on eût
I 0 da
I ^ ir^ ^ ^ °'
ce qui ne peut avoir lieu que si la courbe est tracée sur une sphère.
Rayon de la sphère osculatrice. — Deuxième méthode.
On peut trouver le rayon de la sphère osculatrice en considérant son centre comme le point de rencontre de l'axe du plan csculateur en un point A [fig. 3) avec le plan normal au point infiniment voisin M.
La tangente en M fait avec le plan osculaleur en A un
angle égal à ;; or cet angle est égal à l'angle de OC (axe
du planosculateur en A) avec le plan normal en M. D'autre part, la trace du plan normal en M est perpendiculaire à la projection de la tangente en M sur le plan osculaleur, c'est-à-dire à la tangente en P à la projection AP de AM ; et, comme Ml' est du troisième ordre, on peut, en ne né-
GÉOiMÉTKIE.
gligeonl que le quatrième ordre, regarder la normale PO en P à AP comme étant la trace du plan normal en M sur
Fig. 3.
le plan osculateur; mais l'arc 00' de la développée de AP
, , dp
est égal à dp, et son rayon de courbure a -r^\ on a, par
suite,
ON
dp 1 '
è' dp d9 S^ dp 1 dS dS" 2p d^'
et, comme OCN = ■, on aura
o.pr
OC = ( = r^ Cl u-=p , . ^^;g
On peut aussi arriver fort simplement aux résultats précédents en se servant des formules de M. Serrel, qui permettent d'exprimer les dérivées successives prises par rapport à l'arc en fonction des rayons de courbure de la courbe et de leurs dérivées.
On obtient, au moyen de ces formules, si l'on prend pour axe des x la tangente, pour axe des / la normale principale, pour axe des z une perpendiculaire au plan osculateur dans un sens convenable, pour les coordonnées d'un
poini de la courbe les valeurs suivantes :
6p' t/S "^ 24p [ p' V(/sj ~ p^ ~ 7^ "~ p ^J'
ip
6pr 24p/' \p dS ' r dS
Distance d'un point nu plan osculateur infiniment voisin. — Deuxième méthode.
La valeur de z nous donne immédialemenl pour l'expression de la dislance d'un point au plan osculateur infiniment voisin
6pr
Plus courte distance de deux tani^entes injîniment voisines. — Deuxième méthode.
Nous allons faire voir que la plus courte dislance des deux langenles infiniment voisines est la moitié de la dislance du point de contact de l'une au plan osculateur au point de contact de l'autre.
Soient [Jig. 4)
Fig. 4.
AM un arc infiniment petit d'une courbe à double courbure ;
GÉOMÈTKIE. 423
AP sa projeciion sur le plan osculalcur en A;
AT la tangente en ce point;
MT' la tangente en M;
ÏP la tangente en P à AP;
Q le point de rencontre de MT' et TP.
On a
