SUR

LA FONCTION EXPONENTIELLE.

I. Étant donné un nombre quelconque de quantités numériques a,, «avî a„, on sait qu'on peut en approcher simultanément par des fractions de même dénominateur, de telle sorte qu'on ait

5,, $2vî ^n "G pouvant dépasser une limite qui dépend seulement de 7i. C'est, comme on voit, une extension du mode d'approximation résultant de la théorie des fractions continues, qui correspondrait au cas le plus simple de « = I . Or on peut se proposer une généralisation semblable de la théorie des fractions continues algébriques, en cherchant les expressions approchées de tz fonctions, «p, [x), ^^ (^)f'y 9n{^) P^^ des fractions rationnelles

XT-T' ^/ V >•••? — —îde manière que les développements en série suivant

*(jr) *(.r} ^[x) ^ ' ^

les puissances croissantes de la variable coïncident jusqu'à une puissance déterminée ^". Voici d'abord à cet égard un premier résultat qui s'offre immédiatement. Supposons que les fonctions (35^(x), (p2{x),..., (pn{x) soient toutes développables en séries de la forme a + |3a? -h yx^ -h . . . et faisons

$(0?) = Ax'"+ B.r'«-' -h . . . + Ko- + L.

On pourra en général disposer des coefficients A, B,..., L de manière à annuler dans les n produits <p,(x)0(j:), les termes en

^M ™M— I ^M— [JL, + J

«^> ^ tX/ • ■ * • ^ «X/ •

^i étant un nombre entier arbitraire. INous poserons ainsi un nombre d'équations homogènes de premier degré égal précisément à p.j, et l'on aura

£,, Sa,." étant des constantes, ^i{x) un polynôme entier de degré M — p.,-. Or cette relation donnant

on voit que les développements en série de la fraction rationnelle et de la fonction seront en effet les mêmes jusqu'aux termes en x^^ et, comme le nombre total des équations posées est pi, + /Xg 4- ••• -f- f «? il suffit d'assujettir à la seule condition

les entiers jui/ restés jusqu'ici absolument arbitraires. C'est celte considération si simple qui a servi de point de départ à l'étude de la fonction exponentielle que je vais exposer, me proposant d'en faire l'application aux quantités (pi{x) =e"^, ?2{^) = e*'^v> 'P«(-^) = c''"^*

IL Soit pour abréger M — m = [x'j je compose, avec les constantes rt, /?,..., h, le polynôme

( 3) de degré p. + (j., 4- ... 4- fx„ = M, et j'envisage les 7i intégrales définies

re-^'=Y{z)dz, f e-'^F(z)f/z,..., f'e-"¥{z)dz,

qu'il est facile d'obtenir sous forme explicite. Faisant, en effet.

nous aurons

Ce-'''F{z) dz = -e ^-^^(z), et, par conséquent,

j^"e-^^F(z)c/z = ^(o)-e-''^^(a), T e-'''F{z)dz=.^{o) - e'^^ ^{b),....

Or l'expression de ^(z) donne immédiatement, sous forme de polynômes ordonnés suivant les puissances croissantes de -i les diverses quantités ^(o), ^(fl), ^{b), . . . , et si l'on observe qu'on a

puis successivement

F(rt)==o, F'(rt)=:o,..., F^v-'i\a) = o, F{b) = o, F{b) = o,..., ¥^^^~'\b) = o,

nous en conclurons les résultats suivants :

où le polynôme entier 0(x) est du degré M — ,«. = /w, et les autres $, ( x),

$2(^).-..,^«(.r), des degrés M - ,a,, M - /jij,..., M - p,„. Cela posé, nous

écrirons

or les intégralesdéfiniessedéveloppantensériesdelaformeaH-jSjTH-yj: on voit que les conditions précédemment posées comme définitions du nouveau mode d'approximation des fonctions se trouvent entièrement remplies. Nous avons ainsi obtenu, dans toute sa généralité, le système des fractions

rationnelles -rr^-» ~^r^s'>""> ^7^' ^^ même dénominateur, représentant les fonctions e^^, e*"^,. . . , e^"^, aux termes près de Tordre x^'^\

III. Soit, comme application, /z= i, et supposons de plus jui = p., = m ce qui donnera M = 2/??, F(z) = z'"(z — i)'"; les dérivées de F(z) pour z = o se tirent sur-le-champ du développement par la formule du binôme

F(z) = z^"" - '"-z^'"-* 4- '"^"'~'^ z^'"-^-...-\-{~-iy"z'\

et l'on obtient

d'où, par suite,

- — Y = im{im — \)...[m + i) — [im — i)[im — i)...{m -\-i)~ x

» Pour avoir, en second lieu, les valeurs des dérivées quand on suppose 2 = 1, nous poserons z-=\-\- h, afin de développer suivant les puissances

(5) de h le polynôme F(n- /i) = A'"(^ -m)'". Or les coefficients précédemment obtenus se reproduisant, sauf le signe, on voit qu'on aura

a),(ar) = $( — x).

Ces résultats conduisent à introduire, au lieu de 0(a:) et 4>, (x), les

polynômes II (x) = — A— — •> n,(jc) = !~ — , dont les coefficients

sont des nombres entiers; on aura ainsi

e^n (x) — n, (jt) = -— —^ -^^ e*' / e '"" z'" (z — i)'" dz

~înH-l /* '

et Ton met en évidence que le premier membre peut devenir, pour une valeur suffisamment grande de m, plus petit que toute quantité donnée.

Nous savons effectivement que le facteur — —^ a zéro pour limite, etil

en est de même de l'intégrale, la quantité z'"(i — z)'" étant toujours inférieure à son maximum f - J qui décroît indéfiniment quand m augmente.

Il résulte de là qu'en supposant x un nombre entier, l'exponentielle e^ ne peut avoir une valeur commensurable; car si l'on fait e* =: -. on parvient, après avoir chassé le dénominateur, à l'égalité

hïi(x) - al\,[x) =^ [- i)"" ~^^ / é'^'-'^z'^ix-zrdz,

dont le second membre peut devenir moindre que toute grandeur donnée, et sans jamais s'évanouir, tandis que le premier est un nombre entier. Lambert, à qui l'on doit cette proposition, ainsi que la seule démonstration jusqu'à ce jour obtenue de l'irrationnalitédu rapport de la circonférence au diamètre et de son carré, a tiré ces importants résultats de la fraction continue

(6) à laquelle nous parviendrons plus tard. Laissant entièrement de côté le rapport de la circonférence au diamètre, je vais maintenant tenter d'aller plus loin à l'égard du nombre e, en établissant l'impossibilité d'une relation de la forme

N + e^N, + e^Na -4-. . .+ e^N„= o, ' a, ^,.*-i f^ étant des nombres entiers, ainsi que les coefficients N,N<,....N„^

IV. Je considère à cet effet, parmi les divers systèmes de fractions rationnelles ~-T' -^— /'•••' -T—T' celui qu'on obtient lorsqu'on suppose p. = p., =...= p.„, ce qui donne

m=:nii, M = (?2-hi)/j, et Y{z)—f^[z),

en faisant f {z) = z{z — a) [z — b), .., (z— h). Soit alors, comme tout à l'heure,

ces nouveaux polynômes auront encore, pour leurs coefficients, des nombres entiers, et conduiront aux relations suivantes :

en écrivant, pour abréger,