I.2.0...pJo ^ ^ Jo 1.2.3. ..p
Cela posé, j'observe en premier lieu que 8,, £2,... deviennent, pour une
( 7 ) valeur suffisamment grande de ]ji, plus petits que toute quantité donnée; car, le polynomey^(z) ne dépassant jamais une certaine limite X dans l'in-
tervalle parcouru par la variable, le facteur — ^-^ — z , qui multiplie
Texponentielle sous le signe d'intégration, est constamment inférieur à la
quantité ^ » qui a zéro pour limite.
Je suppose maintenant x = i dans les équations (A), et désignant alors par P^ la valeur correspondante de ïli{x) qui sera un nombre entier dans l'hypothèse admise à l'égard de «, b,..., A, elles deviendront
e^P~P„ = £„, et la relation supposée
N + e«IN\ -h e^ISa -I-. . .+ e''N„ = o donnera facilement celle-ci :
NP + N, P, -f-...4-N„P„=:- (N, £, -t-No£, -f-...+ N„£„),
dont le premier membre est essentiellement entier, le second, d'après ce qui a été établi relativement à e,, £2,... pouvant, lorsque |x augmente, devenir plus petit que toute grandeur donnée. On aura donc nécessairement, à partir d'une certaine valeur de |ut, et pour toutes les valeurs plus grandes,
NP + N,P, +...-f- N„P„r=o.
Supposons, en conséquence, que |x devenant successivement ju. -+- i |UL 4- 2, . . . , ,a 4- «, Pj- se change en P^ Pj , . . . , P-"\ on aura de même
NF •4-N,P'„ +...-+- N„P'„ -o,
NP" H-N, p; h-...-hN„p:: =0,
Np;«) 4 N, P-") H- . . . 4- N„ Pi."^ = o.
( 8 ) Ces relations entraînent la condition suivante
pCn)
En pronsant donc que ce déterminant est différent de zéro, on démontrera l'impossibilité de la relation admise
J'observerai dans ce but qu'on peut substituer aux termes d'une même ligne horizontale des combinaisons linéaires semblables pour toutes ces lignes, et que j'indiquerai en considérant, par exemple, la première. Elle consiste à remplacer respectivement P, P,, Pa,..., P«j, P«, par P — e-'^P,, e-'^P, — e-^Pa,..., e-'^P«, — e-^P«, e-^P„; il est alors aisé de voir que, si l'on multiplie toutes ces quantités par i . 2 . 3 . . . p., elles deviennent précisément les intégrales
re~'f^[z)dz, f e-^f^{z)dz,..., C ' e-'J>'^z) dz, H e~\f^[z)dz.
Maintenant les autres lignes se déduisent de celle-là par le changement de [j. en fj- + I , p. + 2, . . . , [j. H- «, et le déterminant transformé sur lequel nous allons raisonner est le suivant :
re-'p{z)dz, f e-\f^{z)dz,..., H e-'f^{z)dz,
e-'p^'{z)dz, / e-y>-^'(z)^z,..., / e~'/^^* {z) dz,
Jr*a nb /» 00
e-^J'^-^"[z)dz, / e-y>+«(r.)f/z,..., / e-^j^^'\z)dz.
V. Nous devons supposer, comme on l'a vu précédemment, que \i. est un grand nombre; c'est ce qui conduit à déterminer, au moyen de la belle mé-
(9) ihode donnée [)ar Laplace [De l'intégration par approximation des différentielles qui renferment des facteurs élevés à de grandes puissances dans la Théorie analytique des Probabilités, p. 88)], l'expression asymptotique des intégrales
r'e-'J^iz) dz, Ç'e-'f^z) clz,..., i'%-'f^{z) dz,
afin d'en conclure pour A une valeur approchée, dont le rapport à la valeur exacte soit l'unité pour \l infini. Admettant, à cet effet, que les nombres entiers rt, b,..., h soient tous positifs et rangés par ordre croissant de grandeur, de sorte que, dans chaque intégrale, la fonction e~'j'^{z)^ qui s'annule aux limites, ne présente, dans l'intervalle, qu'un seul maximum, je considérerai en premier lieu l'équation
dont dépendent tous ces maxima. Or on sait que ses racines sont réelles et comprises, la première 2, entre zéro et «, la seconde z^ entre a et Z>, et ainsi de suite, la plus grande z,^^^ étant supérieure à h. Envisagées comme fonctions de jut,, il est aisé de voir qu'elles croissent lorsque [j. augmente, et qu'en désignant par^, </,.••? -^Ics racines de l'équation dérivéey^'(z)=o,
rangées par ordre croissant de grandeur, on aura, si l'on néglige —■>
et en dernier lieu z„+4 = (« -f- 1) /x H '^-^ » une approximation plus
grande n'étant pas alors nécessaire. Cela posé, si l'on écrit pour un instant
les valeurs cherchées seront
y/îfe-V(2.)?(ï.), y^e-vWfWv. v/7«"''*'/'(^-)î(s„.,);
mais ces quantités se simplifient, comme on va le voir.
( >o ) Considérant la première pour fixer les idées, j'observe que nous avons
I fip)
où p satisfait à la condition f\p) = o; on en concluty(x,) =f[p), en négligeant seulement — • Par conséquent, si l'on pose
puis d'une manière analogue
on aura d'abord
fnz,)=f^p){i + ~+..), et l'on en lire aisément
Ainsi, en négligeant seulement des quantités infiniment petites par rapport au terme conservé, nous pouvons écrire
et l'on aura de même
j\-'f^{z)dz^\J^-^ e-'f^s) y (.).
ue
f e~^J^{z)dz est d'une forme analytiq
différente, en raison de la valeur z„+f = (« -+- 1) p, qui devient infinie avecjtx. Pour y parvenir, je développerai, suivant les puissances descendantes de la variable, l'expression
log[e-yt^(2)<p(z)].
en négligeant les termes en -5 —»••■> ce qui permet d'écrire
logy W ={n-hi) logz, log<pz = log
= log
et, par suite,
]og[e-'fv-{z)(p{z)] = {nii-h ix-h- i)logz -z- i-log(/ï 4- 1).
Après avoir substitué la valeur de 2„+,, une réduction facile nous donnera, en faisant, pour abréger,
6(11) = (tz/x -f- p. -h 1) log {n-+-i)ix-{n-hi)ii- ilog(« -h i),
cette expression semblable à celle des intégrales eulériennes de première espèce
f'e-'J^{z)dz = ^fe^m.
Maintenant on va voir comment les résultats ainsi obtenus conduisent aisément à la valeur du déterminant A.
VI. J'effectuerai d'abord une première simplification en supprimant, dans les termes de la ligne horizontale de rang f, le facteur i/ — —.^ puis
une seconde, en divisant tous les termes d'une même colonne verticale par le premier d'entre eux. Le nouveau déterminant ainsi obtenu, si l'on fait, pour abréger,
sera évidemment
p Q S e6(ii+<)-ew
pa Q2 g2 g6(IA+2)-6(lJl)
Or on voit que y. ne figure plus que dans une colonne, dont les termes
croissent d'une telle manière que le dernier e^(i^+«)-6(W est inBniment plus grand que tous les autres. Nous avons en effet
et par conséquent, si l'on néglige -•> —•>
d'où
0(p. + /) — ^(p.) = i{n ■+- i) logfTz + i)p.,
En ne conservant donc dans le déterminant que le terme en /j, de l'ordre le plus élevé, il se réduit simplement à cette expression
[{n+ i)/jl]«(«-^'J
Il en résulte qu'on ne peut, en général, admettre que le déterminant proposé A s'annule, car les quantités V =f{p), Q=y(ç),..,, fonctions entières semblables des racines p, g,..., de l'équation dérivée/' (jî?) = o seront comme ces racines différentes entre elles. C'est ce qu'il fallait établir pour démontrer l'impossibilité de toute relation de la forme
N H- e'^Nt-h e''N2-\-..--h e'^N^rr o,
et arriver ainsi à prouver que le nombre e ne peut être racine d'une équation algébrique de degré quelconque à coefficients entiers.
Mais une autre voie conduira à une seconde démonstration plus rigoureuse; on peut en effet, comme on va le voir, étendre aux fractions rationnelles
( i3) le mode de formation des réduites donné par la théorie des fractions continues, et par là mettre plus complètement en évidence le caractère arithmétique d'une irrationnelle non algébrique. Dans cet ordre d'idées, M. Liouville a déjà obtenu un théorème remarquable qui est l'objet de son travail intitulé : Sur des classes très-étendues de quantités dont la valeur n*est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques (*), et je rappellerai aussi que l'illustre géomètre a démontré le premier la proposition qui est le sujet de ces recherches pour les cas de l'équalion du second degré et de l'équation bicarrée [Journal de Mathématiques [Note sur l'irrationnalité du nombre e, t. V, p. 192)]. Sous le point de vue auquel je me suis placé, voici la première proposition à établir.
VII. Soient : F(z), F, (z ),..,, F„+,(z) les polynômes déduits de l'expression
z^(z ~ rt)(^.(2 - b)^K.. [z - hy%
lorsqu'on attribue aux exposants /x, pn,-"> i^«, « + 2 systèmes différents de valeurs entières et positives. En représentant, en général, par -j~ les
fractions convergentes vers les exponentielles, qui correspondent à l'un quelconque d'entre eux F;^(z), on pourra toujours déterminer les quantités A, B, C,..., L par les équations suivantes :
AO) {x)-h B^*(jc) -hC^^x) -H...-hL<E>"-^'(a?) = o, A^,{x)-+-B^^l{jc] -^Ca);(x) H-...-HL$'î-^*(x)r=o, • • • • •»
AO„(.r)+ BO„'(.r) ■+- C^^{jc) +. . . + L^r^x) =0.
Mais, au lieu de conclure de telles relations des polynômes $f (jr) supposés connus, notre objet est de les obtenir directement et a priori; je vais établir pour cela qu'il existe, entre les intégrales indéfinies
Je-'-F{z)dz, je-"¥,[z)dz,..., je-'-l\^,[z)dz,
une équation de la forme
jio re-^^F(z)rfz-HiPo Te-^^F, (z)t/z + ...4- W^e-^^F^^, (2.) ^2 = e-^^0(s),
(•) Comptes renduSf t. XVIII, p. 883 et 910.
les coefficients x, ift»,.--? 4^ étant indépendants de z, et 0(z) un polynôme entier divisible pary(z). Si l'on fait, en effet,
on aura
= — e-^^ [cl.#(z) -f- ift)^<(z) -l-...-f-^4+,(z)], .
et il est clair que les rapports — » -7-''"' q pourront être déterminés, et d'une seule manière, par la condition supposée que le polynôme
0(z) = — [x^(z)-h afi>.f, (z)-l-...-f-<4+i(z)]
contienne comme facteur f[z) = z[z — a) (z — b)...[z — h). Nous conclurons de là en prenant les intégrales entre les limites z ■= o eiz=za, par exemple
ju f e-^^F(jz)fi?z+'ift, f e-^^F, (z)c/z-f-...+ 4^r'*e-^^F„^,(z)c^z = o,
Maintenant les relations
donneront, en égalant séparément à zéro le terme algébrique et le coefficient de l'exponentielle e''^, si l'on fait, pour abréger.
les égalités suivantes :
AO(x) -h Ba)'(x)-f-...+ L0''-^<(a7) = o,
( '5) Or on aura de même, en prenant pour limites supérieures des intégrales z = b^ Cf..., h,
A<^^(x)-hR<^l(x) -h... -h L<I>r'(^) = o, •• 1
A^„(x) + mi{jc) +...-4-L$r'W = o,
et il est aisé de voir que les coefficients A, B,..., L pourront être supposés
des polynômes entiers en x. L'intégrale / e~^^z'" (z — i)"^dz, qui figure dans la relation précédemment considérée (page 5),
e^ri(^) - n, (x)= ., / e-^^z'^fz- i)'"r/z,
^ ' ' V / I .2.3.. .m Jq ^ ''
nous servira d'abord d'exemple.
