XII. J'applique à cet effet la formule générale

en supposant

FW = ^^,

c'est-à-dire

■^Pi

Il est aisé de voir alors que ^(2) devient une expression entière en z et Ç, entièrement semblable à 0(2, Ç), de sorte que, si on la désigne par $(js, Ç), on a

^,(Ç) étant un polynôme en Ç de degré ?', dans lequel le coefficient de Ç' est l'unité. Ainsi l'on obtient, en particulier,

<P«(Ç)=^ Ç -"r Pk -+-«,

et l'analogie de forme avec 0(z, Ç) montre que le déterminant

a>(Zo, Z.) 0(Z,,Z,)... 0(z«, Z,)

est encore égal à à^. Cela posé, nous tirons de la relation

en supposant Ç -- z,., la valeur cherchée

£{ = e-''>(^{z„ Zi) - e--^$^Z, Zf).

Or voici les expressions des quantités £'„ qui en résultent.

Soient

ju = AoO(Z, Zo)-^ A,0(Z, z,)4-...+ A„0(Z, z„), ift, = Bo$(Z, ;z;„)-hB,0(Z, z,) -^•••+ B„$(Z, z„),

4 == r.oOiZ, zj + L, 4>(Z, z.) H- ... --h L„$(Z, z„),

et convenons de représenter par <A>o, ilbovj -Co '^s valeurs obtenues pour Z = Zq, on aura

4^ e"^» 111,0 - e"^Dl,,

C=e-^°-Co -e -C-

Dans ces formules, Z désigne l'une quelconque des quantités z,, Za, ...,Zn; maintenant, si nous voulons mettre en évidence le résultat correspondant à Z = z^, nous conviendrons en outre de représenter, d'une part, par JU^, ifl>Av'> 0> ^^ ^® l'autre par yj*, y)\,..., vjJI les valeurs que prennent, dans ce cas, les coefBcients Ji>, aft),..., ^et les quantités £°,,

( 28) £^,..., e^. On obtient ainsi les équations

qui vont nous conduire à la seconde démonstration que j'ai annoncée de l'impossibilité d'une relation de la forme

e'^» No 4- e^' N, + . . . -h e*» N„ = o,

les exposants z^, Zj,.'» ^n étant supposés entiers, ainsi que les coefficients

No, N,,..., N„.

XIII. Je dis en premier lieu que e|„ peut devenir plus petit que toute quantité donnée, pour une valeur suffisamment grande de m. Effectivement, l'exponentielle e^^ étant toujours positive, on a, comme on sait,

F(z) étant une fonction quelconque et | une quantité comprise entre les limites Zq et Z de l'intégrale. Or, en supposant

F(.) = ^', on aura cette expression

qui met en évidence la propriété énoncée. Cela posé, je tire des équations

(»9) la relation suivante :

— (rXjNi + crtoaNa-H ...-+- X„N„).

Si l'on introduit la condition

elle devient

e-'vjîN, + e^'yj«N, + ... + e^«>î«N„,

Or, en supposant que Zo, ;3<, . . ., z„ soient entiers, il en est de même des quantités 0(2/, Zk), $(z/, z-a), et, par conséquent, de Jl-o) <vl>n..., Xn- Nous avons donc un nombre entier

qui décroît indéfiniment avec y?", vj}, . . . vj" , lorsque m augmente; il en résulte que, à partir d'une certaine valeur de ?/ï, et pour toutes les valeurs plus grandes, on aura

oi,o No -+- =ii>, N^ -^ . , . 4- x„ N„ = o, et, comme on obtient pareillement les conditions

Ul'o No -Ir olb, N, + . . . -h !)$,« N„ = O, •• < >

4LoNo-f-4:.N, -l-...4-4L«-N« = o.

la relation

e-''No -\- e'^'N, +.. .-f- e^"N„ = o

( 3o ) a pour conséquence que le déterminant

■Co •C<

doit nécessairement être nul. Mais, d'après les expressions des quantités Xa, oP^aj • • • j -Ca» ^ ^^^ ^® produit de ces deux autres déterminants

Aq Af ... A„ Bo B, ... B„

Lo L| . • Ijn

et

$(2o, ^vO 0(z-n2«)--- ^(^«>Z„)

dont le premier a pour valeur §2(/n-i)^ gj j^ second c?*. On a donc A = $^'", et il est ainsi démontré, d'une manière entièrement rigoureuse, que la relation supposée est impossible, et que, par suile, le nombre e n'est point compris dans les irriitionnelies algébriques.

XIV. Il ne sera pas inutile de donner quelques exemples du mode d'approximation des quantités auquel nous avons été conduits, et je considérerai d'abord le cas le plus simple, où l'on ne considère que la seule exponentielle e^. En faisant alorsy(z) = 2(2 — x), nous aurons

--^ î f"" e-^z'^'iz — xY

dz

et

£« = f^^e-'z'"-' (z — x)"" dz,

"^ 1 . 2 ... m — I Jq ^ ^

Or on obtient immédiatement d'où

0(o, x) — 2W -f- 1, 0(jf, a?) = aw H- I -h j:,

et, par conséquent, ces relations

J'observerai maintenant qu'il vient, en retranchant membre à membre,

de sorte que, ayant

on en conclut

Joignons à cette équation la suivante :

nous en déduirons les valeurs

1 êfli+i + .TSm 0 . ^m+l — ■'^Sw

et, si l'on y change m en în — iy une simple substitution, par exemple, dans la relation

eI^, = {2fn+i- x) 4 + (a/w + i) £)„, donnera le résultat précédemment obtenu (p. i6),

^m+^ — (^in-\- 2) £,„ + ^'^ £;„,.

( 3=2 ) M Soient, en second lien, 72 = 2, Zj^ ~ o, Zf = i, jz^ ~ 2, d'où

/"(z) = z(z — i) (z — 2) -- z' — 3z^ H- 2Z, on trouvera

0 (z, Ç) = z^ + (Ç - 1) z -I- (Ç - i)^ + 37n(z H- Ç + i) H- 9^2, et, par conséquent,

0(o,o) = 9/?iM-3An 4 I, 0(O,l) = 9ffJ='-i- 6//Î, 0(o,2)=r9/«'+ g/^ + i,

0(l,o)=r9/«='-4-6w4- I, @{l,l)=^/n^-h 9W-f-I, 0(l,2)zir9//i2-l- l2/7i 4^ 3,

En particulier, pour 772 = 1, nous aurons

sj-^ i3e«H-iGe; 62 = iSsj 4- 19s'

d'ailleurs il vient facilement

ce qui donne

on en conclut

De là résulte que

£2 = £2 + e2+'2 = iM-e'''(i83Z='4-3oZ4-i24)î

et si l'on fait successivement Z=: i , Z = 2, l'expression de £< fournil les va

leurs approchées

( 33 ) et l'expression de e^ les suivantes :

où l'erreur ne porte que sur les dix-millièmes. En supposant ensuite m= 2, ce qui donnera

g^=:55£o^63£.^-H75s^, nous obtiendrons

£« = 6272 — e-^( 9259Z='-m5i8Z + 6272), 6j = 7032 — e"^(io38iZ*4-i702Z+ 7032), £| = 8 1 40 — e~^ ( 1 20 ! 7 Z'* + 1 970 Z + 8 1 4o) ,

d'où

et, par suite,

l'erreur portant sur les millionièmes.

GACTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE DES COMPTES RENDUS DES SEANCES DE L ACADBMIE DES SCIENCES.

892 Paris. — Quai des Augustins, 55.