RELATIVE A L'OBJET DU MÉMOIRE

Je me suis occupé à plusieurs reprises, dans les Annales de ta Sociélé scientifique de Bruxelles, de la théorie des nombres premiers.

La fonction de ^ (s) de Riemann joue dans cette théorie un rôle fondamental. J'ai démontré, pour la première fois, dans mes Recherches sur la théorie des nombres premiers (**), que la fonction Ç(5) n'a pas de racines de la forme 1 -+- pi. M. Hadamard a également, avant d'avoir eu connaissance de mes recherches, trouvé le même théorème par une voie plus simple. L'importance de ce théorème est considérable, par le nombre des conséquences asymptotiques que l'on peut en déduire.

(*) Voir le rapport de M. Mansion sur ce Mémoire (Bulletin de l'Académie royale de Belgique, juillet 1898). — Depuis que ce Mémoire a été soumis à l'appréciation de TAcadémie, nous avons refait tous les calculs numériques en y apportant plus de précision. Nous avons aussi perfectionné notre travail sur plusieurs points de détail, et nous avons tenu compte des conseils de M. Mansion. C'est ce qui explique les légères divergences que Ton remarquera entre le présent Mémoire et l'analyse que M. Mansion en a faite.

(♦*) Annales de la Société scientifique de Bruxelles^ 1896.

Celle qui a peut-être le plus d'intérêt par le nombre considérable de travaux auxquels elle a donné lieu, s'exprime par le théorème suivant :

Le nombre des nombres premiers inférieurs à x a pour expression asymptotique, lorsque x est grand ,

avec une erreur qui devient infiniment petite par rapport à Li (x) quand x tend vers l'infini.

La démonstration de ce théorème a été publiée pour la première fois dans un article de M. von Hangoldt (*).

On trouve aussi dans cet article des renseignements historiques qu'il est intéressant de reproduire (**).

Le pressentiment du théorème précédent a été d'abord exprimé par Dirichlet en 1838 (***), puis par Gauss en 1849 (iv). C'est Tchebychev qui a le premier donné deux limites certaines où Ton peut renfermer le nombre des nombres premiers (v). Mais cet intervalle, quand x croît indéfiniment, n'est pas une firaction infiniment petite de sa limite supérieure, car il reste égal au -j^ ^^ moins de cette limite. Sylvester, dans

{*} Ueber eine Anwendung der Riemann^sche Formel filr die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze, (Journ. f. d. reine u. angew. Math., Bd 119.)

(**/ On lira aussi avec intérêt, à ce point de vue, le savant rapport de M. llansion sur notre Mémoire.

(***/ Lejeune-Dirichlbt. Werke^ Bd I, 2« note, p. 378.

(IV) Lettre à Encke. Werke, Bd II, pp. 444447.

(V) Journal de mathématiques, t. XVII, 1852, p. 389.

son article sur le travail de Tchebychev (*) n'a pas réussi à pousser plus loin l'approximation. On voyait donc bien que Lt (x) représentait approximativement le nombre des nombres premiers <x, mais on n'avait pas encore pu démontrer que l'approximation surpassât ^^' Le travail de Riemann, qui devaitfinalementconduireàlasolutiondu problème, était resté, jusque dans ces derniers temps, compliqué de difficultés qu'on ne savait surmonter. C'est la résolution au moins partielle de ces difficultés qui a permis d'établir le théorème rappelé ci-dessus et dont l'importance ne peut échapper, puisqu'il exprime que le logarithme intégral est, au sens mathématique du mot, l'expression asymptotique du nombre des nombres premiers < a:, c'est-à-dire que l'erreur commise est infiniment petite par rapport à lui.

Lorsque l'on cherche à exprimer Li(x) sous forme finie, on trouve une suite de termes de la forme

Ix (/xj* (Ixf (Ix)'

Le premier terme est la valeur principale de Li(x) et fournit donc aussi une expression asymptotique du nombre des nombres premiers < x. C'est ce que j'ai montré directement dans une note à la fin de l'article de M. von Mangoldt cité plus haut.

Le seul fait que Ç(s) n'a pas de racines de la forme \ -*- ^i

tx

ne permet pas de décider laquelle des deux expressions — ou Li(x) est l'expression asymptotique la plus exacte.

(♦) On Tchehycheffs' theorem vf the totalyty of the primnumbers cornprised within given limits. (American journal of Mathkmatics, vol. IV, 1881, pp. 230-247.)

Pour pouvoir trancher la question, il faut savoir trouver une limite supérieure < 1 des parties'réelles a des racines imaginaires a -t- ^i de î^(s). C'est ce qui n'était fait ni dans mon Mémoire ni dans celui de M. Hadamard. C'est ce qui est fait dans celui-ci, où nous donnons une limite inférieure de 1 — a. Cette limite fournie par le théorème du n° 30 est très petite, il est vrai, dépend de fS et tend vers zéro quand p augmente. Elle n'en a pas moins une très grande valeur. Elle nous permettra de démontrer que Li(x) représente le nombre F{x) des nombres premiers < x avec une erreur qui ne peut surpasser une quantité de la forme.

oh a et b sont des nombres fixes, et que, par conséquent, le logarithme intégral est une expression asymptolique de Y(x) plus exacte que toutes ses expressions possibles sous forme finie.

La méthode que nous allons suivre s'étend d'elle-même aux nombres premiers de la progression arithmétique. Nous y reviendrons plus tard.

SUR

LA FONCTION « w DE EIEMANN

ET LE

A UNE LIMITE DONNEE