La fonction ^ {s) a des zéros sur l'axe réel qui sont les

pôles de r [1 -t- 1], mais elle a en outre une infinité de racines

imaginaires dont la partie réelle est comprise entre Oet 1. Nous désignerons, en général, ces racines imaginaires par

p = a -4- pt (0 < a < 1).

(*) Voir mes Recherches sur la théorie des nombres premiers, 1" partie.

3. Ces racines jouissent des propriétés suivantes : l"* Elles sont conjuguées deux à deux;

2* A toute racine p correspond une racine 1 — p ;

3® Si la partie réelle a de p n'est pas i, les racines p et 1 -* p forment avec leurs conjuguées un système de quatre racines distinctes :

a -♦- pi a — pi

1 — a -4- pt i — a — pi.

4^ M. Van Mangoldt a démontré que la valeur absolue de ^ est toujours supérieure à 12 (*).