TO

On peut sommer toutes les inégalités analogues pour toutes les racines a -t- pi où a^ g*, soient 2' une somme étendue à ces racines particulières et S une somme étendue à toutes les racines sans distinction; on aura a fortiori (l'inégalité ayant lieu entre les parties réelles des deux membres)

8 — p ^^ y' -^ ti — p

Ajoutons à cette inégalité celle qui s'en déduit par le changement de t en 2/ et, par suite (n® 18), de s en 5'; il vient

^ s—p fk^ s—p L^ti-*-/i — p

^Ls^ 1.

Comme on supposera dorénavant que s a la même partie imaginaire ti = pi que l'une des racines p, on peut encore ajouter au second membre la différence des deux membres de (4) pour cette racine, savoir

U — a Lu — a U — l-i-aj

Cette différence, où u' = 1 -h -?= et où nous ferons u — ^ '^'ïl » surpasse la quantité

Nous trouvons donc, sous ces conditions, l'inégalité

qui correspond à la relation (42) du n® 25.

75. Inégalité relative aux sommes S" (voir n* 26). Désignons par S" une somme étendue aux racines p, où a > g. On aura S" B=. S — I'; par suite, en vertu de la relation (5),

Comme on Ta expliqué au n® 26, on peut remplacer respectivement ces deux crochets par leurs limites supérieures tirées de la relation (28) au n<» 19. Ceci donne la formule

\^ s—p 4-^ s—p \4 n 4Çtt

^- ^(u, -i- (3-^il/2) U^-P(M', -H 2 I - -

qui correspond à la relation (44) au n® 26.

On voit, par le raisonnement de ce même numéro, que Ton a

\ijt 81

de telle sorte qu'on a la formule, analogue à (45),

^ s—p 4^ « — p 4ti— 1 en posant, en abrégé,

76. Évaluation dv. m. Dans cette valeur de m, nous supposerons M — 1 ^jg, par conséquent (n« 14)

On a ensuite

tU"-^ >0,42U4 22.

4 Ku

car, M' - 1 étant égal à ^l = ^Mmm^ ,^ formule (16) du n* 12 donne

Ji. -I- 1/2 < 0,57721 366 — 0,09575 456 »/2

d'où — |jr > 0,94798 28...

Enfin, comme on a

on voit, par la substitution de ces diverses valeurs dans (9), que Ton peut poser a fortiori dans (7)

^ ' St

77. Limite inférieure de 1 — a. On peut maintenant donner à A et à m les valeurs (8) et (10) ci-dessus dans les formules (49) et (80) du n<» 29, savoir

i — a > -—. et M — 1 =

4(fclog? — m) 4(Alogp— m)

Celles-ci donnent ainsi les relations

(H) I— «> ' et u — i =

logp— - logp — -^

où l'on a

Pour que la formule (11) soit applicable, il faut que P soit assez grand pour que m — 1 soit > ^' On voit que cette condition aura lieu, si

*og P > -r -*■ ^^9 ^^ > 6,5579..., h

et, a fortiori, si p > 705.

On a, dans ce cas,

- > 3,868829 « log (47.886 ..) h

et l'on peut énoncer le théorème suivant, que l'on peut substituer à celui du n* 31 :

78. Théorëne. a partir rfc p 5 70o, on a, entre les parités réelles et imaginaires d'une racine a -^ ^ï de Ç(s), la relation

/p —In

ot< p e^ n ont les valeurs déterminées *

Pour p < 705, la valeur de i — a sera supérieure à la limite 0,0128 que donne cette formule pour p = 705.

79. Remarque, Les valeurs précédentes de p et de 71 sont aussi applicables dans toutes les formules et dans tous les théorèmes de la seconde partie du Mémoire. Il n'y a d'exception que pour les formules du n° 39 (parce que l'on n'y suppose pas p > 705).

♦ Cette valeur de p (sauf une erreur de calcul sur la 5® décimale) se trouvait déjà dans le manuscrit soumis à l'examen de M. Mansion, et on la trouvera dans son rapport, mais avec une valeur beaucoup moins élevée de n.